RP WNE 2008/2009, zadania na siódm¡ kartkówk¦
1. Zmienne X1, X2, . . . s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad geometryczny
z parametrem 1/3. Zbada¢ zbie»no±¢, w sensie zbie»no±ci prawie na
pewno, ci¡gu
X2X
X
X2
1
2 + X 2
2
3 + . . . + X 2
n
n+1 ,
n = 1, 2, . . . .
5n
2. Zmienne X1, X2, . . ., Y1, Y2, . . . s¡ niezale»ne, przy czym dla
n ≥ 1 zmienna Xn ma rozkªad wykªadniczy z parametrem 3, a Yn
ma rozkªad Γ(4, 1). Zbada¢ zbie»no±¢, w sensie zbie»no±ci prawie na
pewno, ci¡gu
X1 + X2 + . . . + Xn ,
n = 1, 2, . . . .
Y1 + Y2 + . . . + Yn
3. Zmienne X1, X2, . . . s¡ niezale»ne, przy czym dla n ≥ 1, Xn ma
rozkªad jednostajny na przedziale [−1 + 1 , 3 + 1 ]. Zbada¢ zbie»no±¢,
n
n
w sensie zbie»no±ci prawie na pewno, ci¡gu
X1 + X2 + . . . + Xn ,
n = 1, 2, . . . .
n
4. Dany jest ci¡g (Zn) (niekoniecznie niezale»nych) zmiennych lo-
sowych, przy czym dla n ≥ 1, zmienna Zn ma rozkªad Bernoulliego
z parametrami n, 1/5. Zbada¢ zbie»no±¢, w sensie zbie»no±ci wedªug
prawdopodobie«stwa, ci¡gu (Zn )∞ .
n
n=1
5. Rzucamy 1600 razy monet¡. Wyznaczy¢ przybli»one prawdopo-
dobie«stwo tego, »e liczba wyrzuconych orªów b¦dzie o co najmniej 100
wi¦ksza ni» liczba wyrzuconych reszek.
6. Rzucamy sprawiedliw¡ monet¡ a» do momentu wyrzucenia 1300
orªów (ª¡cznie, niekoniecznie pod rz¡d). Jakie jest przybli»one praw-
dopodobie«stwo tego, »e rzucimy wi¦cej ni» 2500 razy?
7. Testujemy ±redni¡ »ywotno±¢ 900 »arówek. Czasy »ycia »arówek
s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad wykªadniczy z parametrem 1000. Wyzna-
czy¢ mo»liwie krótki przedziaª, do którego z prawdopodobie«stwem 0, 9
b¦dzie nale»aªa ±rednia »ycia tych »arówek.
8. Osoba A ma do rozdania 1000 gazet. Wiadomo, »e ±rednio 1/3
przechodniów nie jest zainteresowanych, 1/2 bierze jedn¡ gazet¦, a 1/6
bierze dwie gazety. Jakie jest przybli»one prawdopodobie«stwo tego,
»e po przej±ciu 1320 osób wszystkie gazety zostan¡ rozdane?
1
9. Zmienne X1, X2, . . ., s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad z g¦sto±ci¡
1
g(x) =
1
(x).
2x ( 1 ,e)
e
Obliczy¢ granic¦
lim P(X1X2 . . . Xn ≤ 1).
n→∞
10. Na podstawie losowej próby szacujemy ile procent ludzi ma
dyslekcj¦. Wiadomo, i» jest to mniej ni» 3%. Jak liczna powinna
by¢ próba, je±li chcemy uzyska¢ przybli»enie z dokªadno±ci¡ do 1% z
prawdopodobie«stwem ≥ 0, 9?
Odpowiedzi:
1. Mamy zbie»no±¢ p.n. do zmiennej staªej równej 9.
2. Mamy zbie»no±¢ p.n. do zmiennej staªej równej 3/4.
3. Mamy zbie»no±¢ p.n. do zmiennej staªej równej 1. Wskazówka:
trzeba co± zrobi¢ ze zmiennymi w liczniku tak, by miaªy ten sam roz-
kªad: co± odj¡¢ i doda¢.
4. Mamy zbie»no±¢ wedªug prawdopodobie«stwa do 1/5.
5. 1 − Φ(5/2).
6. Φ(2).
7. [−100Φ−1(0, 95), 100Φ−1(0, 95)].
3
3
√
8. Φ(10 30
√
).
451
9. 1. Wskazówka: zlogarytmowa¢ nierówno±¢ wewn¡trz prawdo-
2
podobie«stwa i zaj¡¢ si¦ zmiennymi lnX1, lnX2, . . ..
10. Próba powinna mie¢ co najmniej 291[Φ−1(0, 95)]2 elementów.