Matemat

yk

a

dyskretna

materiaªy

¢wiczenio

w

e

Studia

dzienne

PJWSTK

SPRA

WDZIAN

I

Imi¦

i

nazwisk

o:

Nr

indeksu:

Nr

grup

y:

Uw

aga!

Spra

wdzian

jest

testem

wielokrotnego

wyb

oru,

gdzie

wszystkie

mo»liw

e

k

om

binacje

o

dp

o

wiedzi

s¡

dopuszczalne

(tj.

zaró

wno

wszystkie

o

dp

o

wiedzi

p

opra

wne,

cz¦±¢

o

dp

o

wiedzi

p

opra

wna

jak

i

brak

o

dp

o

wiedzi

p

opra

wn

yc

h).

P

opra

wne

o

dp

o

wiedzi

nale»y

zaznaczy¢,

z

lew

ej

stron

y

k

artki,

sym

b

olem

+.

Natomiast

sym

b

ol

-

jak

i

brak

sym

b

olu

przy

o

dp

o

wiedzi

oznacza

o

dp

o

wied¹

niep

opra

wn¡.

Pytanie

jest

uznane

za

p

opra

wnie

rozwi¡zane

(tj.

+1pkt)

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

gdy

wszystkie

jego

o

dp

o

wiedzi

zaznaczone

s¡

p

opra

wnie.

›yczym

y

p

o

w

o

dzenia

...

A = ∅ B = {∅}

C = {∅, {∅} , 1, 2}

1.

Niec

h

,

oraz

,

st¡d:

|A ∩ B| = 1

(a)

[]

,

|B ∩ C| = 1

(b)

[+]

,

|(C \ B) \ A| = |(C ∪ B) ∪ A|

(c)

[]

.

Σ = {a}

X = {w ∈ Σ∗ : |w| ≤ 3}

2.

Niec

h

oraz

,

wtedy:

P (X) = {a, aa, aaa}

(a)

[]

,

|P (X)| = 16

(b)

[+]

,

Σ ∈ P (X)

(c)

[+]

.

3.

Które

z

p

oni»szyc

h

zda«

jest

pra

wdziw

e:

[2, 3] ∪ N = N

(a)

[]

,

(2, 3) ⊕ N = N \ {2, 3}

(b)

[]

,

{2, 3} \ N = (2, 3)

(c)

[]

?

A B

C

A ∩ B 6= ∅ A ∩ C = ∅ (A ∩ B) \ C = ∅

4.

Czy

istniej¡

zbiory

,

oraz

takie,

»e

,

i

?

A B

C

(a)

[]

T

ak,

dla

do

w

oln

yc

h

zbioró

w

,

i

.

A B

C

(b)

[]

T

ak,

dla

p

ewn

yc

h

zbioró

w

,

i

.

(c)

[+]

Nie.

A B

C

5.

Niec

h

,

oraz

b

¦d¡

zbiorami

niepust

ymi,

wtedy:

A ⊕ B ⊕ C ⊂ A ∪ B ∪ C

(a)

[+]

,

(A ∩ B) ⊂ C0 ∪ (A ∩ B)

(b)

[]

,

C0 \ (A ∪ B) = ∅

(c)

[]

.

A = {1, 2, 3}

B = {x : x

}

6.

Niec

h

oraz

jest

liczb¡

pierwsz¡

,

wtedy:

A × B = B × A

(a)

[]

,

|A × B| = |B × A|

(b)

[+]

,

({2, 3} × {2, 3}) ⊂ A × B

(c)

[+]

.

At = {x ∈ N : t|x}

7.

Niec

h

,

wtedy:

\

T = {2, 3, 5}

At = {x ∈ N : (2 · 3 · 5) |x}

(a)

[+]

je»eli

,

to

,

t∈T

[

T = {2, 3, 5}

At = {x ∈ N : (2 · 3 · 5) |x}

(b)

[]

je»eli

,

to

,

t∈T

\

T = {2, 3}

At \ [ At = ∅

(c)

[+]

je»eli

,

to

.

t∈T

t∈T

1

P

a

w

eª

Remb

elski

Matemat

yk

a

dyskretna

materiaªy

¢wiczenio

w

e

Studia

dzienne

PJWSTK

A

t = 0, 1

8.

Niec

h

t

,

wtedy:

∞

[ At = [0, ∞)

(a)

[]

,

t=1

∞

[ At = [0, 1)

(b)

[]

,

t=1

∞

\ At = {0}

(c)

[+]

,

t=1

¬p → q

9.

Je»eli

zdanie

jest

faªszyw

e,

to:

¬p ← q

(a)

[+]

zdanie

jest

pra

wdziw

e,

p ∨ ¬q

(b)

[+]

zdanie

jest

pra

wdziw

e,

p ↔ q

(c)

[]

zdanie

jest

faªszyw

e.

10.

Dla

którego

z

p

oni»szyc

h

st

wierdze«

istnieje

k

on

trprzykªad:

a ∈ N b ∈ Z

a · |b| < c

c

(a)

[+]

je»eli

i

,

to

,

gdzie

do

w

oln¡

liczb¡

naturaln¡,

a ∈ N b ∈ Z

a · |b| ≥ c

c

(b)

[]

je»eli

i

,

to

,

gdzie

do

w

oln¡

liczb¡

caªk

o

wit¡

ujemn¡,

√x = z

z ≥ 0

x, z ∈ R

(c)

[]

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

,

gdzie

.

11.

Które

z

p

oni»szyc

h

st

wierdze«

jest

tautologi¡

rac

h

unku

zda«:

(p ∧ ¬p) ∨ (q ⊕ ¬q)

(a)

[+]

,

¬ (p ∧ ¬q) ↔ ¬p ∨ q

(b)

[+]

,

(p → q) ↔ ((p ∧ ¬q) → p) (c)

[]

?

p ↔ q

q → r r

12.

Niec

h

oraz

i

b

¦d¡

zbiorem

przesªanek,

wtedy:

(a)

[+]

zbiór

ten

jest

niesprzeczn

y

,

p ∧ q

(b)

[]

wnioskiem

ze

zbioru

przesªanek

jest

st

wierdzenie

,

r → p

(c)

[]

wnioskiem

ze

zbioru

przesªanek

jest

st

wierdzenie

.

13.

Które

z

p

oni»szyc

h

wyra»e«

jest

pra

wdziw

e:

∀x ∈ R∃y ∈ Q(x = y)

(a)

[]

,

∀x ∈ Q∃y ∈ R(x = y)

(b)

[+]

,

∃x ∈ Z∀y ∈ N((x < y − 1) ∨ (x ≥ y − 1)) (c)

[+]

?

∀x∃y∀z (p (x, y, z))

14.

Zdanie

jest

ró

wno

w

a»ne

zdaniu:

∃y∀x∀z (p (x, y, z))

(a)

[]

,

∀x∃y¬∃z (¬p (x, y, z))

(b)

[+]

,

¬∃x∀y∃z (¬p (x, y, z))

(c)

[+]

.

15.

Które

z

p

oni»szyc

h

wyra»e«

jest

tautologi¡

rac

h

unku

kw

an

t

yk

atoró

w:

∀x∃y (p (x, y)) → ∃x∀y (p (x, y)) (a)

[]

,

∀x∃y (p (x, y)) ← ∃x∀y (p (x, y)) (b)

[]

,

∃x∃y∀z (p (x, y, z)) → ∀z∃x∃y (p (x, y, z)) (c)

[+]

?

16.

Pro

w

adz¡cy

za

j¦cia

¢wiczenio

w

e

z

MAD

jest:

(a)

lew

or¦czn

y

,

(b)

pra

w

or¦czn

y

,

(c)

nie

wiem,

ale

je»eli

jest

lew

or¦czn

y

,

to

nie

jest

pra

w

or¦czn

y

.

2

P

a

w

eª

Remb

elski