Nazwisko
0
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 5, 8.11.2011, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 9. (5 punktów) W każdym z ośmiu poniższych zadań podaj wartość granicy (liczba rzeczywista) lub granicy niewłaściwej (+ ∞ lub −∞).
Wpisz literkę R, jeśli granica nie istnieje (tzn. gdy ciąg występujący pod znakiem granicy jest rozbieżny, ale nie jest to rozbieżność do + ∞ ani do −∞).
Za udzielenie poprawnych odpowiedzi w n zadaniach otrzymasz max(0 , n − 3) punktów.
2 n 2 + 3
2
9.1
lim
=
n→∞ 5 n 2 + 7
5
2 n + 3
9.2
lim
= 0
n→∞ 5 n + 7
√ 4 n 2+9
9.3
lim
= 0
n→∞ 25 n 2 + 49
√ 4 · 9 n+25
2
9.4
lim
=
n→∞ 25 · 3 n + 49
25
4 + 7 n
7
9.5
lim
=
n→∞ 2 + 5 n
5
4 + 7 n
1 !
7
9.6
lim
+
=
n→∞
2 + 5 n
n
5
4 + 7 n
n 2 + 1
9.7
lim
+
=
+ ∞
n→∞
2 + 5 n
n
4 + 7 n
!
9.8
lim
+ ( − 1) n = R
n→∞
2 + 5 n
Zadanie 10. (5 punktów) Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica
√n 14+9 n 9+1 −n 7
lim
n→∞
nk
istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów przepisujemy występujące pod znakiem granicy wyrażenie w postaci niezawierającej w liczniku różnicy wyrażeń zbliżonej wielkości, a następnie dzielimy licznik i mianownik przez n 9:
√n 14+9 n 9+1 −n 7
9 n 9 + 1
lim
= lim
√
=
n→∞
nk
n→∞
nk ·
n 14 + 9 n 9 + 1 + n 7
9 + n− 9
= lim
√
.
n→∞
nk− 2 ·
1 + 9 n− 5 + n− 14 + 1
Dla k = 2 otrzymujemy 9 + n− 9
9 + 0
9
lim √
= √
=
.
n→∞
1 + 9 n− 5 + n− 14 + 1
1 + 0 + 0 + 1
2
Odpowiedź: Przy k = 2 granica jest równa 9 / 2.
Uwaga: Liczba k = 2 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania. Jednak zgodnie z poleceniem wystarczyło wskazać k, bez konieczności uzasadnienia, że takie k jest tylko jedno.