Zadania na kolokwium
Zadanie 1.
a)
n
n
x − x
w ( x)=∑ f α ( x) , α ( x)=∏
j
i
i
i
i
x − x
=0
j=0
i
j
j≠ i
x =1 x =3
x =4
x =5
0
1
2
3
} n+1 p. węzłowych ( x ,f )
y =1 y =9 y =16 y =25
i
i
0
1
2
3
( x− x
( x−3)( x−4)( x−5)
1
α ( x)=
1)( x − x 2 )( x− x 3) =
=−
( x −3)( x −4)( x −5) 0
( x − x )( x − x )( x − x ) (−2)(−3)(−4)
24
0
1
0
2
0
3
1
1
=−
( x 2−4 x−3 x+12)( x−5)=−
( x 3−7 x 2+12 x−5 x 2+35 x −60) 24
24
1
=−
( x 3−12 x 2+47 x−60) 24
( x − x
( x−1)( x−4)( x−5) α ( x )=
0)( x− x 2 )( x− x 3) =
1
( x − x )( x − x )( x − x ) 2(−1)(−2)
1
0
1
2
1
3
1
1
= ( x 2−4 x− x+4)( x−5)= ( x 3−5 x 2+4 x −5 x 2+25 x−20) 4
4
1
= ( x 3−10 x 2+29 x−20) 4
( x− x
( x −1)( x−3)( x −5) α ( x )=
0)( x− x 1 )( x− x 3) =
2
( x − x )( x − x )( x − x ) 3⋅1(−1)
2
0
2
1
2
3
1
1
=− ( x 2−3 x− x+3)( x −5)=− ( x 3−4 x 2+20 x +3 x−5 x 2−15) 3
3
1
=− ( x 3−9 x 2+23 x−15) 3
( x− x
( x−1)( x−3)( x−4) α ( x)=
0)( x − x 1 )( x− x 2) =
3
( x − x )( x − x )( x − x ) 4⋅2⋅1
3
0
3
1
3
2
1
1
= ( x 2−3 x− x+3)( x−4)= ( x 3−4 x 2+3 x −4 x 2+16 x−12) 8
8
1
= ( x 3−8 x 2+19 x−12) 8
1
1
9
w ( x)=−
( x 3−12 x 2+47 x−60)+ ( x 3−10 x 2+29 x−20) 24
4
16
25
−
( x 3−9 x 2+23 x −15)+
( x 3−8 x 2+19 x−12) 3
8
24 w ( x)=− x 3+12 x 2−47 x +60+54 x 3−540 x 2+1566 x−1080−128 x 3
+1152 x 2−6016 x+1920+75 x 3−600 x 2+1425 x−900=150 x 3+24 x 2−3072 x 150
25
w ( x)=
x 3+ x 2−128=
x 3+ x 2−128
24
4
Zadanie 2.
f ( n)(ξ)( b− a)2
n!
n+1=12, n=11
sinh(11)( x )=cosh( x )
Zadanie 3.
I. Rozwiązanie główne
[wykres przedstawiający dwie krzywe funkcji: s 0( t) , s 1( t) ]
s ' ' 0(0)= s' ' 1(4)=0
s ' 0(1)= s 1(1)
s ' ' 0(1)= s' ' 1(1)
s 0(0)=20
s 0(1)=7
s 1(1)=7
s 1(4)=25
{ s (1)= a + a t+ a t 2+ a t 3
0
0
1
2
3
s (1)= b + b t+ b t 2+ b t 3
1
0
1
2
3
II. Rozwiązanie alternatywne
{ s' (1)= a +2 a t+3 a t 0
1
2
3
s ' (1)= b +2 b t+3 b t 1
1
2
3
{ s'' (1)=2 a +3 a
0
2
3
s' ' (1)=2 b +3 b
1
2
3
a =20
0
2
1
2
3
a +2 a +3 a =0
1
2
3
{2 a +3 a =0
2
3
a +2 a =13
2
3
{ 2 a +3 a =0
2
3
−2 a −4 a =−26
2
3
− a =−26 ⇒ a =26
3
3
a =13−2 a =13−52=−39
2
3
a =−13− a − a =−13+39−26=0
1
2
3
s 0( t)=26 t 3=39 t 2+20
{ b 0+ b 1+ b 2+ b 3=7
b +4 b +16 b +64 b =25
0
1
2
3
b +2 b +3 b =0
1
2
3
2 b +3 b =0
2
3
{ b+ b+ b=7
0
2
3
b +16 b +64 b =25
0
2
3
2 b +3 b =0
2
3
{15 b 2+63 b =18
3
2 b 2+3 b 3=0
{15 b 2+63 b 3=18
45
15 b 2+
b
2 3=0
81
36 4
b =18 ⇒ b =
=
2 3
3
81 9
2 b =−3 b
2
3
3
3 4
2
b =− b =− ⋅ =−
2
2 3
2 9
3
2
4
6 4
2
b =7− b − b =7+ − =7+ − =7
0
2
3
3
9
9 9
9
65
b =
0
9
65
2
4
s ( t)=
+(− t 2)+ t 3
1
9
3
9
4
2
65
s ( t)= t 3− t 2+
1
9
3
9
3
„odpuszczamy!”
Zadanie 5.
[wykres przedstawiający trzy krzywe funkcji: s 0( x) , s 1( x) , s 2( x) ]
{ s (1)= s (1)
0
1
s (2)= s (2)
1
2
{ s' (1)= s' (1)
0
1
s ' (2)= s ' (2)
1
2
{ s'' (1)= s'' (1)
0
1
s ' ' (2)= s ' ' (2)
1
2
{ s 0(1)=1 s(1)=113 s(2)=123 s(2)=22
{ s' ( x)=1
0
s' ( x)= t (2− x) 1
s' ( x)=0
2
{ s' (1)=1= s' (1)
0
1
s ' (2)=0= s ' (2)=0
1
2
s' ' 0( x)=0
s ' ' ( x)=−1 NIE JEST
1
s' ' ( x)=0
2
4
[wykres przedstawiający krzywe trzech funkcji: s s
s ]
0,
1,
2
s 0(0)=1, s 0(1)=1, s 1(1)=1
s 1(2)=0, s 2(2)=0, s 2(3)=1
s 2(3)=−8 NIE JEST
Gdyby się zgadzało, to:
s ' =1−2 x
0
s ' =...
1
s ' =...
2
jak wcześniej, pierwsze i drugie pochodne muszą się zgadzać!
5
[wykres przedstawiający trzy krzywe: s s
s ]
0,
1,
2
{ s (1)= s (1)
0
1
s (3)= s (3)
1
2
{ s' (1)= s' (1)
0
1
s ' (3)= s ' (3)
1
2
{ s'' (1)= s'' (1)
0
1
s ' ' (3)= s ' ' (3)
1
2
s 1(1)= a(1−2)2= c (1−2)2
a= c
s 1(3)= c (3−2)2= s 2(3)= d (3−2)2
a= c= d
s ' 0( x )=2( x−2)+3 b ( x−1)2
s ' 1( x)=2 c( x−2) s ' 2( x)=2 d ( x−2)+3 e( x−3)2
s(3)( x)=6 b
s ' '
0
0 ( x )=2 a+ 6 b( x−1) s(3)( x)=0
s ' '
1
1 ( x)=2 c
s(3)( x)=6 e
s ' '
2
2 ( x)=2 d+6 e ( x−3) s(3)(1)= s(3)(1)
0
1
} ⇒ b= e=0
s(3)(3)= s (3)(3)
1
2
{ a= c= d
b= e=0
Funkcja s :ℝ to funkcja sklejana rzędu r , jeśli: 1. jest wielomianem stopnia co najwyżej 2 r – 1 na każdym przedziale 2. jest (2 r – 2)-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły na całej prostej 6
[wykres przedstawiający dwie krzywe: s s ]
0,
1
{ s (1)= s (1)
0
1
s ' (1)= s ' (1)
0
1
s ' ' (1)= s ' ' (1)
0
1
s ' 0( x)=1−18 x
s ' ' 0( x )=−18
s ' ' 0= s' ' 1(2)=0 NIE MA ROZWIĄZANIA!
Zadanie 9.
BKi
c t c t c ... c
0
1
lim t =∞
1
t → ∞
lim t =−∞
1
t →−∞
sup BK 2=( t 2, t 2+ K+1) k >0
sup B 53=( t 3, t 3+5+1)=( t 3,(9)) 7
B 21 k ( t 2, t 3)
[wykres przedstawiający krzywe dwóch funkcji: B 0, 0
]
1
B 2
Bk+1
k+1
k
k+1
k
i
= V i Bi +(1− V i ) B
+1
i+1
B 1
1
0
1
0
i = V i = Bi +(1− V i
) B
+1
i+1
[wykres przedstawiający krzywe dwóch funkcji: B
, B ]
i – 1
i
V k=
dt
t – ti
i
ti+ k− ti
t∈( ti−1 , ti+1)
t− t
B 1=
i
1 jeśli t∈( t ,t )
i
t
i
i+1
i+1− t 1
t∈( ti+1 , ti+2)
B 1
1
i =(1− V i
) jeśli t∈( t
+1
i+1 , ti+2)
t− t
t − t
1− V
=1−
i+1 = i+2
i+1
ti
t
+2− t i+1
i+2 − ti+1
B 2
2
1
2
1
i = V i Bi +(1− V i
) B
+1
i+1
t∈( t 2, t 3)
i=2 ?
B 2
2
1
2
1
1= V 1 B 1+(1− V 2) B 2
[wykres przedstawiający krzywe dwóch funkcji: B
B ]
1,
2
t− t t − t
t− t
t− t
B 2=
1
3
+
2
2
1
(1− )⋅
t − t t − t
t − t
t − t
3
1 3
2
4
2
3
2
8
Rozwiązanie znajduje się w zadaniu 10.
Uzupełnienie:
t− t
t
− t
− t+ t
t
− t
1− V k =1−
i+1
= i+ k+1
i+1
i+1 = i+ k+1
i+1
ti
t
t
+ k+1− t i+1
i+ k+1 − ti+1
i+ k+1− t i+1
Zadanie 12.
Rozwiązanie znajduje się w zadaniu 10.
Zadanie 13.
B 3 i
sup B 3 i=( t 1, ti+3+1)=( ti , ti+4)
[wykres]
sup B 3 i∩( t 2, t 3)=∅ , gdy i≥3
sup B 3 i∩( t 2, t 3)=∅ , gdy ( ti ,ti+4)∩( t 2, t 3)=∅
i+4≤2
i≤−2
i≤−2∨ i≥3
B 3 , B 3 , B 3 , B 1
−1
0
1
2
Zadanie 14.
sup B 2 j=( t j, t j+2+1)=( t j , t j+3) sup B 2 j∩( t 2, t 4)=∅ gdy j≥2
sup B 2 j∩( t 2, t 4)=∅ gdy ( t j, t j+3)∩( t 2, t 4)=∅
j+3≤2
j≤−1
j≤−1∨ j≥2
B 2
2
0 , B 1
9
d ∞
∞
c − c
∑ c BK( t)= K ∑ i i−1 BK−1( t ) dt
i
i
i
i
t
=−∞
i =−∞
i+ K − t i
d
∞
c − c
∞
c − c
f ( x )= K ∑ i
i−1 BK−1( x)= K ∑ j j−1 BK−1( x)
dt
2
j
i
t
t
=−∞
i+ K− t i
j =−∞
j+ K − t j
ci={ 0, j≤ i
j− i, j> i
∞
c − c
∞
c − c
= K ∑ j
j −1 BK−1+ K ∑ j j−1 BK−1
j
j
j
t
t
=−∞
j+ K− t j
j= i+1
j+ K − t j
Zadanie 16.
∞
∞
∑ Bk=1 , ∑ B 0=1
j
j
j=−∞
j=−∞
Dowód indukcyjny
∞
∞
Założmy, że ∑ Bk=1 ⇒ ∑ Bk+1=1 .
j
j
j=−∞
j=−∞
∞
∞
∑ Bk+1= ∑ [ Vk+1 Bk+(1− Vk+1) Bk ]
j
j
j
j+1
j+1
j=−∞
j=−∞
∞
∞
= ∑ V k+1 Bk+ ∑ (1− V k+1) Bk j
j
j+1
j+1
j=−∞
j=−∞
∞
∞
= ∑ V k+1 Bk+ ∑ (1− V k+1) Bk j
j
j
j
j=−∞
j=−∞
∞
= ∑ [ V k+1+(1− V k+1)] Bk j
j
j
j=−∞
∞
= ∑ Bk =
zakład
1
j
j=−∞
10
B 3
3
2 , B 3
k >0
sup Bki=( ti , ti+ k+1) sup B 32=( t 2, t 2+3+1)=( t 2, t 6) sup B 33=( t 3, t 7)
[oś liczbowa przedstawiające przedziały B 3, 3
]
2
B 3
sup B 3 3
2⋅ B 3=( t 3, t 6) Zadanie 18.
Rozwiązanie znajduje się w zadaniu 17.
Zadanie 19.
Po x(1− t)2+2 t (1− t ) P 1 x + t 2(1− t)0 P 2 x= P 0 x (1− t)2+ P 1 x 2 t (1− t )+ P 2 x t 2
Px( t )=(1− t)2+3⋅2 t (1− t)+2 t 2=(1− t)2+6 t−6 t 2+2 t 2
=(1− t)2+6 t−4 t 2=1−2 t+ t 2+6 t−4 t 2
=−3 t 2+4 t+1
Py( t)=(1− t)2+4⋅2 t (1− t)+2 t 2=1−2 t+ t 2+8 t−8 t 2+2 t 2
=−5 t 2+6 t+1
11
2
p( t)=∑ l ( t) , t ∈〈0,1〉
i
̄
pi
i=0 1
t =0, t = ,t =1
0
1
2 2
l 0( t) ̄
p 0+ l 1( t) ̄ p 1+ l 2( t) ̄
p 2
1
t ( t− )( t−1)
2
n
∏ ( t− t ) j
j=0
l ( t)= j≠ i
i
n
∏ ( ti− t j)
j=0
j≠ i
1
( t− )( t−1)
2
l ( t)=
0
1
(0− )(0−1)
2
( t)( t−1)
l ( t)=
1
1 1
( )( −1)
2 21
t ( t− )
2
l ( t)=
2
1
1(1− )
2
Zadanie 21.
„Zadania tego nie będzie.”
Zadanie 22.
„Zadania tego nie będzie.”
12