Zadania na kolokwium nr.2
10 czerwca 2010r.
Zadanie 1
Znajdź ekstrema funkcji
$$f\left( x,y \right) = x + \ 8y + \ \frac{1}{\text{xy}}$$
Zadanie 2
Znajdź ekstrema funkcji
$$f\left( x,y \right) = xy + \ \frac{1}{x} + \ \frac{8}{y}$$
Zadanie 3
Znajdź ekstrema funkcji
f(x,y) = x3 + xy + 8y3
Zadanie 4
Oblicz masę trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0), (0, 2)
i gęstosci zadanej wzorem g(x,y) = 2y − x
Zadanie 5
Oblicz masę trójkąta o wierzchołkach (0,0), (-2,-2), (-2,1)
i gęstosci zadanej wzorem g(x, y) = y2 − x .
Zadanie 6
Oblicz masę trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (−1, 1), (4, 1)
i gęstosci zadanej wzorem g(x, y) = y + x2
Zadanie 7
Oblicz masę bryły B = {(x, y, z): 0 < x < 3z < 2y < 3 }
o gęsrości opisanej wzorem f(x, y, z) = y .
Zadanie 8
Funkcję $f\left( x \right) = \frac{2}{3x\ + 5}$
rozwiń w szereg potęgowy o środku 1 .
Podaj wzór na współczynnik a(n) .
Zadanie 9
Funkcję $f(x)\ = \ \frac{x}{x^{2}\ + 3\ }$
rozwiń w szereg potęgowy o środku 0 .
Podaj wzór na współczynnik a(n) .
Odpowiedzi
1: min w (2,1/4)
2: min w (1/2,4)
3: max w (-1/6,-1/12)
4: 5/3
5: 11/2
6: 85/12
7: 27/32
8: f(x) = (1/4)*( 1 + ((-3/8)*(x-1)) + ((-3/8)*(x-1))^2 + ((-3/8)*(x-1))^3 + ... ),
a(n) = (1/4)*(-3/8)^n
9: f(x) = (x/3)*( 1 + (-(x^2)/3) + (-(x^2)/3)^2 + (-(x^2)/3)^3 + ... ),
a( 2*k ) = 0, a( 2*k +1 ) = (1/3)*(-1/9)^k