Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Zad.1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wykazać, że pole wektorowe ~

F = [z2 cos x − 4y , 2 + 4z3 , 2z sin x − 6z2 ] jest potencjalne dla x > 0, y > 0, z ∈ R.

x3

x2

y3

y2

Wyznaczyć potencja l tego pola a nast¸epnie obliczyć ca lk¸e R (z2 cosx − 4y)dx + ( 2 + 4z3)dy + (2zsinx − 6z2)dz.

x3

x2

y3

y2

L

gdzie luk L : {y = x, z = (1 − x)(2 − x)} dla x ∈ [1, 2].

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć moment bezw ladności wzgl¸edem osi OY jednorodnego luku L : {y = ln x} dla x ∈ [1, 2].

Zad.3. [2p+5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Sformu lować twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć ca lk¸e R (x − 4y)dx+ (6x + 2y)dy ,

L

√

gdzie luk L jest lukiem zamkni¸etym zorientowanym ujemnie, z lożonym z wykresów funkcji y = 0, y =

−2x − x2.

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczyć równanie prostej stycznej i p laszczyzny ściśle stycznej do krzywej ~r(t) = [1 + 1 , 1 − 1 , 1 ] w punkcie t

t

t2

odpowiadaj¸acym t0 = 1.

Zad.5. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Wyznaczyć punkty krzywej L : ~r(t) = [ 2 , ln t, −t2], w których prosta binormalna do tej krzywej jest równoleg la t

do p laszczyzny x − y + 8z + 2 = 0.