LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

Wyznaczenie energii mechanicznej w ruchu płaskim

6

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie energii mechanicznej krążka poruszającego się

po krzywoliniowym torze.

Literatura

1. Z. Engel, J. Giergiel Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. 10 i 11.

2. J. Misiak, Mechanika Ogólna , tom II, rozdz. 22.

Zagadnienia kontrolne

1. Pole zachowawcze sił

2. Przykłady sił zachowawczych

3. Praca siły

4. Energia potencjalna

5. Energia kinetyczna

6. Energia mechaniczna

7. Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim

8. Zasada zachowania energii

9. Zasada zachowania energii mechanicznej

10. Praca sił zewnętrznych

11. Moment bezwładności tarczy kołowej

12. Ruch płaski bryły sztywnej

Uwaga. W opracowaniu podano tylko wybrane zagadnienia związane bezpośrednio z

ćwiczeniem. Aby wyczerpać temat w zakresie podanych zagadnień kontrolnych

należy sięgnąć do podanej literatury lub innych książek dotyczących dynamiki.

Podstawy teoretyczne dotyczące bezpośrednio ćwiczenia

Zasada zachowania całkowitej energii układu mówi, że zmiana całkowitej

energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej.

Jeśli żadna energia nie zostanie do układu dostarczona ani od niego odebrana, to całkowita energia układu musi pozostać niezmienna.

Jeżeli nad układem wykonana zostanie praca sił zewnętrznych, to zasadę

zachowania energii można opisać równaniem:

W = E

∆

+ E

∆

+ E

∆

mech

term

wewn

gdzie: W – praca sił zewnętrznych, E

∆

- zmiana energii mechanicznej układu,

mech

E

∆

- zmiana energii termicznej,

E

∆

- zmiana innych rodzajów energii

term

wewn

wewnętrznej układu.

Powyższa zasada nie została wyprowadzona z podstawowych aksjomatów i praw

fizyki, ale wynika ona z niezliczonych doświadczeń.

Jeżeli układ jest izolowany i energia nie może zostać do niego dostarczona w żadnej

formie to możemy zapisać:

∆ E

E

E

mech + ∆

term + ∆

wewn = 0

E

∆

= E

− E

wskaźniki 1 i 2 odnoszą się do dwóch rozpatrywanych

gdzie:

mech

mech 2

mec 1

h ,

chwil czasowych, np. przed i po zajściu jakiegoś procesu.

Choć wewnątrz układu izolowanego może zachodzić wiele zmian energii (np. z potencjalnej na kinetyczną, z kinetycznej na termiczną itp.), to jednak suma wszystkich rodzajów energii musi pozostać stała.

Powyższe możemy zapisać jako:

E

E

E

E

mech

− mech + ∆ term + ∆ wewn = 0

2

1

Stąd:

E

2 = E

1 −

E

∆

− E

∆

mech

mech

term

wewn

Dla układu izolowanego możemy więc wyznaczyć energię w określonej chwili znając

energię w innej chwili, bez znajomości energii w chwilach pośrednich.

Jeżeli w izolowanym układzie zaniedbamy siły niezachowawcze (np. tarcie) i zmiany

innych rodzajów energii, to możemy napisać:

E

= E

mech 2

mec 1

h

albo:

∆ Emech = 0

Ponieważ energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej

(którą możemy zdefiniować dla sił zachowawczych) możemy zapisać:

∆ E

E

E

mech = ∆

k + ∆

p = 0

gdzie: E

∆ jest zmianą energii kinetycznej, ∆ E zmianą energii potencjalnej.

k

p

Po prostym przekształceniu możemy zapisać:

E

+ E = E + E

k 2

p 2

k 1

1

p

gdzie: indeksy 1 i 2 odnoszą się do dwóch stanów układu w różnych chwilach

czasowych.

Jest to znana zasada zachowania energii mechanicznej.

Podczas realizacji ćwiczenia modelowany jest ruch w jednej płaszczyźnie (ruch płaski) tarczy poruszającej się po torze krzywoliniowym pod wpływem siły ciężkości (siły zachowawczej). W ruchu płaskim złożonym z ruchu postępowego i obrotowego

energię kinetyczną ciała oblicza się wg. wzoru Koeniga:

1

1

2

2

E =

Mv +

I ω

k

2

s

2 s s

r

gdzie: M – masa ciała, v - jest prędkością środka masy, I

s

S – moment bezwładności

ciała względem osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny

ruchu, a ωr prędkością kątową ciała.

s

Zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej układu „Ziemia-badana tarcza” w pobliżu powierzchni Ziemi możemy zapisać jako:

∆ E = mg h

∆

p

gdzie:

h

∆ jest zmianą położenia pionowego osi tarczy względem poziomu

odniesienia

Przebieg ćwiczenia

Z podanych wyżej wzorów wynika, że aby wyznaczyć w każdej chwili czasu

energię mechaniczną tarczy należy w każdym położeniu znać prędkość środka masy

Vs, prędkość kątową ωs tarczy oraz położenie środka ciężkości osi tarczy. Wielkości

te można wyznaczyć z pomiarów położeń środka masy w poszczególnych chwilach czasowych przy założeniu, że tarcza porusza się bez poślizgu. Pomiar

współrzędnych położenia środka masy odbywa się w oparciu o kamerę do szybkich

zdjęć i oprogramowanie pozwalające na każdej klatce filmu wyznaczyć współrzędne

tego punktu i zapisać te wartości w arkuszu kalkulacyjnym.

Dodatkowo należy wyznaczyć teoretycznie prędkość środka masy tarczy

(szpulki) we wskazanych przez prowadzącego punktach. W tym celu należy

wykorzystać zasadę zachowania energii.

Wszystkie pomiary należy wykonywać zgodnie z krokami wymienionymi w

arkuszu sprawozdania.

Rejestracja ruchu

W celu dokonania rejestracji obrazu z kamery należy włączyć oświetlenie stanowiska

i uruchomić program PCV.

Następnie w zakładce programu „Camera” wybrać sposób wyświetlania: ”Display

/Live”. Ustawić za pomocą regulacji przy obiektywie kamery ostrość obrazu tak, aby

wyraźnie widoczny był namalowany punkt na osi tarczy.

Następnie wybrać przycisk „Frame Rate” i ustawić ilość rejestrowanych klatek w ciągu sekundy: 125 klatek/ sek.

W kolejnym kroku wybrać rozdzielczość obrazu (przycisk „Resolution”): 1024 x 512.

Dalej należy nacisnąć przycisk „Record” i puścić swobodnie tarczę tak, aby rozpoczął

się jej ruch. Rozpocząć rejestrację poprzez naciśniecie przycisku „Trigger In”, który pojawi się w miejsce przycisku „Record”.

Zakończyć rejestrację przyciskiem „Rec Done” w momencie, gdy tarcza osiągnie punkt wskazany przez prowadzącego.

Zapis rejestracji

Przejść do zakładki „Data Save” i wpisać w polu „File Name” nazwę

zapisywanego pliku.

Można wybrać fragment filmu, który ma znaleźć się w pliku. W tym celu należy przesunąć za pomocą myszy wskaźnik początku i końca nagrania u dołu zakładki (strzałki na pasku ilustrującym całe nagranie).

Następnie nacisnąć przycisk „Save”, aby zapisać wynik rejestracji.

Analiza obrazu

W celu wykonania analizy obrazu należy uruchomić program „Motion Tools”.

Z menu głównego wybrać opcję „File” i dalej „Open File”. W okienku dialogowym wybrać uprzednio zapisany plik.

Przejść do zakładki „Analysis” i nacisnąć przycisk na belce narzędziowej „Strat

Analysis for Current Video” (przycisk na środku belki oznaczony kolorowymi kółkami).

Nacisnąć przycisk „Meter” w prawej części belki narzędziowej. Spowoduje to

otwarcie okna „Calibration”. Poprzez kliknięcie lewym przyciskiem myszy zaznaczyć

na pierwszej klatce filmu początek wzorca długości narysowanego na stanowisku.

Wrócić do otwartego okna dialogowego „Calibration” i kliknąć „SetPoint# 1”. Z kolei tej samej klatce filmu zaznaczyć koniec tego wzorca, a w oknie „Calibration” wybrać

„SetPoint #2”. Następnie w oknie „Calibration” należy wpisać w polu „Dimension”

rzeczywistą długość wzorca w wybranej jednostce (sąsiednie okienko). Nacisnąć

klawisz „Apply”, a następnie „Close” zamykając okno dialogowe. W wyniku przeprowadzonej kalibracji wymiar obrazu w pikselach przeliczany jest na wymiar rzeczywisty i wyniki analizy (położenie śledzonego punktu) podane będą w wybranej

realnej jednostce miary długości.

Następnie wybrać z listy „Auto Track” numer kolejny znacznika np. 1. Kliknąć

na belce narzędziowej „Draw a region for selection ” (ikona ze szkłem

powiększającym). Za pomocą myszy i techniki przeciągania zaznaczyć na obrazie prostokątny obszar, którego środek ma być śledzony. Obszar ten powinien objąć oś

tarczy wraz z niewielkim fragmentem jej otoczenia. Pozwoli to programowi

jednoznacznie odróżnić wskazany obszar na każdej klatce filmu i śledzić ruch jego środka.

W kolejnym kroku można uruchomić przycisk „Auto Track the current Region”

(przycisk z czerwoną strzałką na belce narzędziowej). Program będzie śledził

automatycznie ruch środka zaznaczonego obszaru. Zapis współrzędnych położenia

śledzonego środka obszaru i chwil czasu dla każdej klatki odbywa się po naciśnięciu

przycisku „Export the Feature Positions” po prawej stronie belki narzędziowej. Po tej operacji dane zostają zapisane w arkuszu programu Excel, który należy

przekopiować w celu wykonania dalszych obliczeń.

Analiza pomiarów

Celem tej analizy jest wyznaczenie energii mechanicznej badanego układu.

Niezbędne do tego jest wyznaczenie prędkości liniowej środka masy tarczy. Aby tego

dokonać na podstawie zarejestrowanych współrzędnych x i y należy osobno

rozpatrzyć odpowiednie rzuty szukanej prędkości na kierunki osi układu

współrzędnych.

Aby bardziej obiektywnie wyznaczyć składowe prędkości należy zastosować

numeryczne oszacowanie pierwszej pochodnej w postaci (dla każdych 4 kolejnych punktów) [1]:

v t

x t

x t

x t

x t

x ( i )

1

=

(−11 ( ) i +18 ( )

i

− 9 ( )

t

+ 2 ( )

1

+

+2

i+3 )

6 h

v t

x t

x t

x t

x t

x ( i

=

−

i

−

i

+

i

−

1

+ )

1 ( 2 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( )

1

+

+2

i+3 )

6 h

(1)

v t

x t

x t

x t

x t

x ( i

=

i

−

i

+

i

+

+2 )

1 ( ( ) 6 ( ) 3 ( ) 2 ( )

1

+

+2

i+3 )

6 h

v t

x t

x t

x t

x t

x ( i

=

−

i

+

i

−

i

+

+3 )

1 ( 2 ( ) 9 ( ) 18 ( ) 11 ( )

1

+

+2

i+3 )

6 h

gdzie: h jest odstępem czasowym pomiędzy kolejnymi klatkami zarejestrowanego filmu, v ( t ) , jest składową x prędkości środka masy tarczy w ruchu postępowym dla x

i

chwili czasowej ti ( i=1,2... N), x( t jest współrzędną środka masy tarczy w tej chwili.

i )

Następnie należy dokonać wygładzenia zależności vx(t) wykorzystując metodę

uśredniania bieżącego w postaci [2]:

i + q −1

~

v ( t

v t

(2)

x

i

= 1

)

∑ ( )

x

j

q j= i

gdzie: v~ – element uśrednionego szeregu, v – element pierwotnego szeregu x

x

obliczonych prędkości.

Parametr q można przyjąć na poziomie od 10 do 20 w zależności od potrzeb.

Ponieważ końcowe dane nie będą właściwie uśrednione nie uwzględnia się ich w dalszych obliczeniach i rysunkach. Należy odrzucić więcej niż q końcowych wartości,

jeśli istotnie odbiegają one od ogólnej tendencji zmian danej wielkości.

Podobnie należy wyznaczyć składową y prędkości. W kolejnym kroku należy

wyznaczyć moduł wektora prędkości środka masy tarczy:

2

2

~

~

v = v + v

(3)

s

x

y

Prędkość kątową należy wyznaczyć przyjmując, że tarcza toczy się bez

poślizgu. Przy takim założeniu:

(4)

ω

=

s ( ti )

vs ( ti )

r

gdzie: ωs(ti) – prędkość kątowa w chwili ti, r – promień osi toczącej się po torze, na której zamocowano tarczę.

Śledząc położenie w osi y środka masy można oszacować energię

potencjalną względem przyjętego położenia odniesienia. Należy jednak wyznaczyć wygładzone y

~ korzystając z metody (2) i tego samego q co w przypadku prędkości.

Podobnie jak poprzednio odrzuca się końcowe pomiary.

Ostatecznie należy sprawdzić czy zmiany całkowitej energii mechanicznej (dla każdego z uśrednionych pomiarów) wynoszą zero.

Wyniki należy zilustrować odpowiednimi wykresami zgodnie z poleceniami zawartymi

w arkuszu sprawozdania.

UWAGA. W związku z występowaniem poślizgów podczas ruchu tarczy po torze jak i

występowania tarcia, może okazać się, że wyliczona energia mechaniczna nie pozostanie stała.

Należy zdać sobie z tego sprawę podczas interpretacji wyników eksperymentu.

Literatura

[1] Otto E. Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, tom 3, rozdz.

XVI, §111, PWN, Warszawa

[2] Jóźwiak J., Podgórski J., Statystyka od podstaw, rozdz. 16, PWE, Warszawa