Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Cz¸

eść zadaniowa

Zad.Z1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wiedz¸ac, że f (x, y, z) = x2yz − 1 jest potencja lem pola wektorowego ~

F wyznaczyć pole ~

F , sprawdzić, czy jest

ono bezźród lowe oraz obliczyć R ~

F ◦ d~r, gdzie L jest lukiem kawa lkami g ladkim o pocz¸atku w punkcie A(1, −1, 1) L

i końcu w punkcie B(2, 1, 3). Obliczyć f ′ (1, −1, 1), jeżeli ~a = [1, −1, 1].

~

a

Zad.Z2. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć ca lk¸e R x2ydx − xy2dy, gdzie L jest okr¸egiem x2 + y2 = R2 zorien-L

towanym ujemnie wzgl¸edem swojego wn¸etrza.

Zad.Z3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Wyznaczyć równanie p laszczyzny ściśle stycznej oraz obliczyć krzywizn¸e stycznej krzywej o równaniu x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t), z(t) = 4a cos t , a > 0

2

w punkcie P (0, 0, 4a). Czy punkt P jest punktem wyprostowania krzywej?

Zad.Z4. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Rozwin¸ać w szereg Maclaurina funkcje: f ′(x) i f (x), gdzie f (x) = arcctg(3x2). Obliczyć f (63)(0).

Zad.Z5. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dana jest g¸estość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu ci¸ag lego





0

x ≤ −1













1 + x

−1 < x ≤ 0

f (x) =



1 − x

0 < x < 1













0

x ≥ 1

Obliczyć:

a) P (|X| ≥ 1 ),

2

b) wartość oczekiwan¸a EX,

c) wariancj¸e D2X,

d) wyznaczyć dystrybuant¸e zmiennej losowej X.