Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011
Cz¸
eść zadaniowa
Zad.Z1. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Wiedz¸ac, że f (x, y, z) = x2yz − 1 jest potencja lem pola wektorowego ~
F wyznaczyć pole ~
F , sprawdzić, czy jest
ono bezźród lowe oraz obliczyć R ~
F ◦ d~r, gdzie L jest lukiem kawa lkami g ladkim o pocz¸atku w punkcie A(1, −1, 1) L
i końcu w punkcie B(2, 1, 3). Obliczyć f ′ (1, −1, 1), jeżeli ~a = [1, −1, 1].
~
a
Zad.Z2. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczyć ca lk¸e R x2ydx − xy2dy, gdzie L jest okr¸egiem x2 + y2 = R2 zorien-L
towanym ujemnie wzgl¸edem swojego wn¸etrza.
Zad.Z3. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Wyznaczyć równanie p laszczyzny ściśle stycznej oraz obliczyć krzywizn¸e stycznej krzywej o równaniu x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t), z(t) = 4a cos t , a > 0
2
w punkcie P (0, 0, 4a). Czy punkt P jest punktem wyprostowania krzywej?
Zad.Z4. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Rozwin¸ać w szereg Maclaurina funkcje: f ′(x) i f (x), gdzie f (x) = arcctg(3x2). Obliczyć f (63)(0).
Zad.Z5. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 5 ]
Dana jest g¸estość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu ci¸ag lego
0
x ≤ −1
1 + x
−1 < x ≤ 0
f (x) =
1 − x
0 < x < 1
0
x ≥ 1
Obliczyć:
a) P (|X| ≥ 1 ),
2
b) wartość oczekiwan¸a EX,
c) wariancj¸e D2X,
d) wyznaczyć dystrybuant¸e zmiennej losowej X.