Egzamin poprawkowy z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Cz¸

eść zadaniowa

Zad.Z1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Dane jest pole wektorowe ~

F (x, y, z) = [yz, −xz, xy].

a) Sprawdzić, czy pole wektorowe ~

F jest bezźród lowe i bezwirowe?

b) Obliczyć ca lk¸e

R

~

F ◦ d~r = R yzdx − xzdy + xydz,

L

L

jeżeli krzywa L : {x = et, y = e3t, z = e t

− , 0 ≤ t ≤ 1} ma parametryzacj¸

e zgodn¸a z orientacj¸a.

Zad.Z2. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć mas¸e luku krzywej L : {x2 + y2 = 2x, z = 2}, której g¸estość wyraża si¸e wzorem ρ(x, y, z) = z(x2 + 2y2).

Zad.Z3. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Wykazać, że krzywa ~r(t) = [−t2 + t + 3, t2 − 2t + 7, 3t + 1] jest p laska. Napisać równanie p laszczyzny, w której leży krzywa ~r(t).

Zad.Z4. [10p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Funkcj¸e f (x) = 4 sin( x2 ) rozwin¸ać w szereg Maclaurina, a nast¸epnie korzystaj¸ac z tego rozwini¸ecia obliczyć: x2

4

1

a) f (44)(0), b) R f (x)dx z dok ladności¸a do 0.01.

0

Zad.Z5. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dla jakich wartości parametru C funkcja





Cx2 + 1

|x| < 1

f (x) =



0

|x| ≥ 1

jest g¸estości¸a zmiennej losowej X typu ci¸ag lego? Wyznaczyć dystrybuant¸e zmiennej losowej X. Za pomoc¸a dys-trybuanty oraz za pomoc¸a g¸estości obliczyć prawdopodobieństwo P (|X + 1| ≤ 1). Obliczyć wartość oczekiwan¸a zmiennej losowej X.