Egzamin poprawkowy z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011
Cz¸
eść zadaniowa
Zad.Z1. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Dane jest pole wektorowe ~
F (x, y, z) = [yz, −xz, xy].
a) Sprawdzić, czy pole wektorowe ~
F jest bezźród lowe i bezwirowe?
b) Obliczyć ca lk¸e
R
~
F ◦ d~r = R yzdx − xzdy + xydz,
L
L
jeżeli krzywa L : {x = et, y = e3t, z = e t
− , 0 ≤ t ≤ 1} ma parametryzacj¸
e zgodn¸a z orientacj¸a.
Zad.Z2. [7p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Obliczyć mas¸e luku krzywej L : {x2 + y2 = 2x, z = 2}, której g¸estość wyraża si¸e wzorem ρ(x, y, z) = z(x2 + 2y2).
Zad.Z3. [7p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Wykazać, że krzywa ~r(t) = [−t2 + t + 3, t2 − 2t + 7, 3t + 1] jest p laska. Napisać równanie p laszczyzny, w której leży krzywa ~r(t).
Zad.Z4. [10p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Funkcj¸e f (x) = 4 sin( x2 ) rozwin¸ać w szereg Maclaurina, a nast¸epnie korzystaj¸ac z tego rozwini¸ecia obliczyć: x2
4
1
a) f (44)(0), b) R f (x)dx z dok ladności¸a do 0.01.
0
Zad.Z5. [8p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 5 ]
Dla jakich wartości parametru C funkcja
Cx2 + 1
|x| < 1
f (x) =
0
|x| ≥ 1
jest g¸estości¸a zmiennej losowej X typu ci¸ag lego? Wyznaczyć dystrybuant¸e zmiennej losowej X. Za pomoc¸a dys-trybuanty oraz za pomoc¸a g¸estości obliczyć prawdopodobieństwo P (|X + 1| ≤ 1). Obliczyć wartość oczekiwan¸a zmiennej losowej X.