Zastosowanie całki oznaczonej 4
3
2
1. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) := x − 2x − x + 2x
osią OX oraz prostymi x =-2, x = 3
Rozwiązanie
a) wykres funkcji
20
20
lub
10
10
f(x)
f(x)
2
0
2
2
0
2
x
x
0
1
b) punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX
f (x) solve , x → 2
1
−
c) szukane pole składa się z 5 części (dwie części położone są pod osią OX)
− 1
0
1
2
3
⌠
⌠
⌠
⌠
⌠
P1 :=
f (x) dx
P2 :=
−
f (x) dx
P3 := f (x) dx
P4 :=
−
f (x) dx
P5 := f (x) dx
⌡
⌡
⌡
⌡
⌡
− 2
− 1
0
1
2
P := P1 + P2 + P3 + P4 + P5
Odp .
551
P →
= 18.367
30
π
2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f (x) := sin(x)
g(x) := cos(x)
≤
5
x ≤
π
4
4
Rozwiązanie
a) wykres funkcji f(x) oraz g(x) 1
f(x)
g(x)
1
2
3
1
x
5 π
⌠ 4
b) Szukane pole wyraża się całką P :=
f (x) − g(x) dx
⌡π
4
Odp.
P → 2⋅ 2 = 2.828
Przykładowe zadania - sprawdzian 1
oprac. A. Pankowski
Zastosowanie całki oznaczonej 3. Obliczyć średnią wartość funkcji f (x) := ln(x)
dla
1 ≤ x ≤ e
Rozwiązanie
e
1
⌠
a) szukana wartość wyraża się wzorem fc :=
⋅ f(x) dx
e − 1 ⌡1
Odp.
1
fc →
= 0.582
(exp(1) − 1)
1
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) :=
oraz osią OX dla
0 ≤ x ≤ 9
3 x − 1
Rozwiązanie
a) Wykres funkcji f(x)
5
5
f(x)
lub
f(x)
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
5
5
5
x
x
b) szukane pole składa się z dóch części, dla x=1 funkcja podcałkowa nie jest określona. Całka niewłaściwa.
(P1 - pole położone pod osią OX ,P2 - pole położone nad osią OX) P = P1 + P2
b
⌠
9
⌠
P1 = − lim
f (x) dx
=
lim
−
P2
f (x) dx
⌡
+ ⌡
b → 1
0
a → 1
a
Odp.
P = 7.5
1
5. Wyznaczyć długość łuku krzywej 2
f (x) :=
⋅x
dla
0 ≤ x ≤ 3
2
Rozwiązanie
6
a) wykres funkcji f(x)
4
f(x)
2
0
1
2
3
x
b) pochodna funkcji f(x) wyra d
ża sie wzorem:
f (x) → x
dx
3
⌠
2
c) długo
d
ść szukanego łuku wyraża sie wzorem l :=
1 +
f(x) dx
dx
⌡0
Odp.
3
l →
⋅
1
10 −
⋅ln( 3
− + 10) = 5.653
2
2
Przykładowe zadania - sprawdzian 1
oprac. A. Pankowski
Zastosowanie całki oznaczonej 6. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót krzywej f (x) := 2⋅ x dla 0 ≤ x ≤ 2
dookoła osi OX
Rozwiązanie
a) wykres funkcji f(x)
f(x)
− f(x)
0
1
2
x
2
⌠
b) szukana objętość wyraża się wzorem 2
V := π⋅ f (x) dx
⌡0
1
c) pochodna funkcji f(x) wyra d
ża się wzorem
f (x) →
dx
1
2
x
2
⌠
2
d) pole powierzchni bocznej wyra d
ża się wzorem
P := 2⋅π⋅
f (x)⋅ 1 +
f (x) dx
dx
⌡0
Odp.
V → 8⋅π
P → 2⋅π⋅4⋅
4
3 −
= 35.154
3
7. Obliczyć objętość i powierzchnię boczną bryły powsatłej przez obrót prostej y = x dookoła osi OY dla 2 ≤ y ≤ 4
Rozwiązanie
Niech
g(y) := y
dla
2 ≤ y ≤ 4
4
a) rysunek
2
0
2
⌠
b) szukana objętość wyraża się wzorem 2
V := π⋅ g(y) dy
⌡0
c) pochodna funkcji g(y) wyra d
ża się wzorem
g(y) → 1
dy
4
⌠
2
d) pole powierzchni bocznej wyra d
ża się wzorem
P := 2⋅π⋅
g(y)⋅ 1 +
g(y) dy
dy
⌡2
Odp.
8
V →
⋅π
P → 12⋅π⋅ 2 = 53.315
3
Przykładowe zadania - sprawdzian 1
oprac. A. Pankowski