Zestaw IV. Zadania przykładowe
1. Serwomechanizm ze sprz
ężeniem pozycyjno-prędkościowym ma schemat jak na rysunku.
a) Okre
ślić wrażliwość transmitancji układu zamknietego względem K, p,
α
dla danych
nominalnych K=10, p=2,
α
=0
.14 .
b) Okre
ślić zmianę błędu ustalonego dla wymuszenia liniowego w(t)=t
⋅1
(t), przy 5%-wej
zmianie K, p,
α
.
W
e
K
s(s+p)
1+
α
s
Y
_
Rozwi
ązanie:
Oznaczenia: G s
H s
( ) =
K
s(s+ p)
, ( ) = 1+ s
α
a) S
K
G
dK
dG
K
K
s s p
s s p
K
G
= ⋅
=
+
⋅
+
=
(
)
(
)
1
1
Podobnie: S
K
G
dG
dp
p
s p
S
H
dH
d
s
s
p
G
= ⋅
= −
+
= ⋅
=
+
,
H
α
α
α
α
α
1
Wyra
żenia pomocnicze:
1
1 + GH
GH
1 + GH
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
p
s
p
K
s
K
s
s s
p
K
s
1
1
1
α
α
α
Układ zamkni
ęty:
S
GH
S
s s p
s s p
K
s
s s
s
s
K
zam
K
G
=
+
⋅ =
+
+ +
+
⋅ =
+
+
+
1
1
1
1
2
2
3 4
10
(
)
(
)
(
)
(
)
.
α
S
GH
S
s
s
s
p
zam
p
G
=
+
⋅ = −
+
+
1
1
2
2
3 4
10
.
S
GH
GH
s
s
s
a
zam
= −
+
⋅ = −
+
+
1
1 4
2
3 4
10
S
H
α
.
.
b) e
y
y
y
y
G
w
zam
= w - y , = y
, y = w , e = -
,
+
=
⋅
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
G
G
S
, G
zam
zam
zam
zam
=
⋅
⋅
=
+
=
+ +
+
α
α
α
G
GH
K
s s p
K
s
1
1
(
)
(
)
Bł
ąd ustalony:
∆
∆
∆
∆
e
a
= −
→ ∞ = −
⋅
= −
⋅
⋅
⋅
→
→
y t
s
y s
s G
S
s
s
s
zam
zam
(
)
lim
( )
lim
0
0
2
1
α
α
K e
(-1% )
K
:
lim
.
.
.
.
∆ = −
⋅
⋅
⋅
⋅ = −
+
+
+
⋅
= −
→
=
s
zam
K
zam
s G
S
s
s
s
s
s
0
2
2
0 05
1
2
3 9
10
0 05
0 01
0
Podobnie:
p
(1% ) ,
(-0.7% )
→
=
→
=
∆
∆
e
e
p
0 01
0 007
.
.
,%
α
α
2. Na rysunku podano schemat układu stabilizacji pr
ę
dko
ś
ci samochodu.
a) Jaka jest pr
ę
dko
ść
ustalona je
ś
li w(t)=60 km/h, K=100, K
v
=1, z=0 ?
b) Podaj wzór na wra
ż
liwo
ść
transmitancji Y(s)/W(s) wzgl
ę
dem parametrˇw K, K
v
.
c) O ile zmieni si
ę
pr
ę
dko
ść
samochodu, je
ż
eli K lub K
v
zmieni
ą
si
ę
o 5% ?
_
W
z
Y
K
V
K
20s+1
Samochód
Silnik
Pr
ędkościomierz
12
3s+1
Rozwi
ą
zanie:
G
zam
=
+
+ + ⋅ ⋅
=
⋅
+
+ + ⋅
12
3
1 20
1
12
12 100
3
1 20
1
12 100
K
s
s
K K
s
s
V
(
)(
)
(
)(
)
a) y( t
)
lim
km
h
s
0
→ ∞ =
⋅
⋅
=
⋅
+ ⋅
⋅ =
→
s G
s
zam
60
12 100
1 12 100
60 59 95
.
b) układ: tor główny
G
12 K
(3s+ 1)(20s+ 1)
S
K
G
=
⋅
= ⋅
=
K
G
dG
dK
1
sprz
ęż
enie H=K
V
S
60s2
K
zam
=
+
⋅ =
+
+
+
+ + ⋅ ⋅
=
+
+
+
+
1
1
3
1 20
1
3
1 20
1
12
60 2
23
1
23
1201
GH
S
s
s
s
s
K K
s
s
s
K
G
V
(
)(
)
(
)(
)
wra
ż
liwo
ść
wzgl
ę
dem K
V
:
S
S
S
K
V
K
V
K
V
H
zam
H
V
V
HG
HG
K K
s
s
K K
s
s
=
= −
+
⋅
= −
⋅ ⋅
+
+ + ⋅ ⋅
= −
+
+
1
1
12
3
1 20
1
12
1200
60
23
1201
2
(
)(
)
c
s
G
W s
h
K
zam
)
( )
.
.
K: y( t
)
lim
km
( bardzo nieznaczna zmiana)
s
∆
∆
→ ∞ =
⋅
⋅
=
⋅
+ ⋅
⋅
⋅
⋅ =
→
0
12 100
1 12 100
1
1201
0 05 60
0 0025
K : y( t
)
lim
km
h
( znaczna zmiana
2.995
59.95
V
s
∆
∆
→ ∞ =
⋅
⋅
= −
⋅
+ ⋅
⋅
⋅
+ ⋅
⋅
⋅ =
= −
⋅
=
→
0
12 100
1 12 100
12 100
1 12 100
0 05 60
2 995
100
4 996
s
G
W s
K
V
zam
( )
.
.
%
.
% )
3. Dany jest układ jak na rysunku.
_
W
Y
e
K(s+2)
s (s+4)
2
a) Bior
ą
c K=8, okre
ś
l bł
ą
d ustalony dla w(t)=4-t-2t2.
b) O ile zmieni si
ę
bł
ą
d ustakony, je
ś
li K zmieniło si
ę
o 5%.
c) O ile zmieni si
ę
bł
ą
d ustalony, je
ś
li pierwiastek licznika transmitancji, tj. s=-2, zmienił si
ę
o
5%.
Rozwi
ą
zanie:
a
E s
G s
W s
e t
s E s
s
s s
s s
K s
s
s
s
K
s
s
)
( )
( )
( )
(
)
lim
( )
lim
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
e
u
=
+
=
→ ∞ =
⋅
=
⋅
+
+ +
+
⋅
− −
=
⋅
⋅ − = −
→
→
1
1
4
4
2
1
4
4
4
2
4
1
0
0
2
2
3
2
b
S
K
K
W
K
G
dG
dK
K
zam
) e = w - y
e = - y , y = G
Uk ad otwarty: S
zam
K
G
ł
→
⋅
⋅
⋅
= ⋅
=
∆
∆
∆
∆
1
c
s
G
dG
d
s
g
s s
s s
s
s
)
(
)
(
)
(
)
(
)
G =
8(s+ 2)
s
, nominalne = 2
S
, S
S
2
G
zam
G
+
= ⋅
=
+
=
+
⋅
=
+
+ +
+
⋅
+
4
2
2
1
1
4
4
8
2
2
2
2
2
α
α
α
α
α
α
y( t
) = lim
S
e
u
(5% )
s
0
zam
∆
∆
∆
→ ∞
⋅
⋅
⋅
⋅
= −
=
→
s G
W s
zam
α
α
α
( )
.
.
0 05
0 05
4. Transmitancja pewnego układu stabilizacji poło
ż
enia ma posta
ć
G s
K s
s
s
p s
s
( )
(
)(
)
(
)(
)
=
+
+
+
+ +
1
4
6
25
2
, gdzie parametry K, z, p, s
ą
nastawialne. Czy mo
ż
na je wybra
ć
tak, aby układ miał zerowe błedy ustalone odpowiedzi na wymuszenie skokowe, liniowe i
paraboliczne? Je
ś
li tak, to jaki b
ę
dzie wówczas bład ustalony
dla wymuszenia t3 ?
Rozwi
ą
zanie:
E(s) = [1 - G(s)] W(s) =
(s + p)(s
2
⋅
+ +
−
+
+
+
+ +
6
25
4
6
25
2
s
K s
z s
s
p s
s
W s
)
(
)(
)
(
)(
)
( )
Licznik po uporz
ą
dkowaniu:
s
3
+
+ −
+
+
−
−
+
−
s
p
K
s
p
K
Kz
p
Kz
2
6
25
6
4
25
4
(
)
(
)
(
)
Je
ś
li w(t) jest wymuszeniem parabolicznym, to mianownik jego transformaty zawiera s3.
Poniewa
ż
e
s E s
u
s
=
⋅
→
lim
( )
0
, wi
ę
c zerowy uchyb ustalonyn uzyska si
ę
, gdy spełniony b
ę
dzie
układ równa
ń
.
G + p - K = 0
25 + 6p - 4 K - Kz
ą
sie
K =
106
17
, z =
25
106
, p =
4
17
=
−
=
R
S
|
T
|
→
0
25
4
0
p
Kz
rozwi zujac
otrzymuje
( Bior
ą
c K
Z
jako now
ą
zmienn
ą
mamy układ)
w ( t ) = t
W(s) =
6
s
e
3
4
u
⋅
→
=
⋅
=
⋅
+
+ +
⋅
=
=
→
→
1
4
17
6
25
6
102
100
1 02
0
0
3
2
4
( )
lim
( )
lim
(
)(
)
.
t
s E s
s
s
s
s
s
s
s
s
5. Regulator PI steruje programowo ci
ś
nieniem prasy hydraulicznej. Pocz
ą
tkowo ci
ś
nienie
narasta liniowo, pó
ż
niej jest utrzymywane na stałej warto
ś
ci, by wreszcie zmale
ć
liniowo do
zera. Wyznaczy
ć
bł
ę
dy ustalone w ka
ż
dej fazie, naszkicowa
ć
spodziewan
ą
odpowied
ź
.
_
W
Y
4(1+ )
1
18s
1
(15s+1)(8s+1)
Prasa
Regulator
1
2
3
50
0
100
200
250
t
W
[bar]
Rozwi
ą
zanie:
•
= ⋅
+
⋅
+
+
= ⋅ ⋅
+
+
+
G
otw
( )
(
)(
)
(
)(
)
s
s
s
s
s
s
s
s
s
4
18
1
18
1
15
1 8
1
1 4
18
18
1
15
1 8
1
•
=
= ∞
=
⋅
=
=
⋅
=
→
→
→
sta e K K K K
K
K
ł
p
v
a
p
v
a
,
,
:
lim ( )
lim
( )
lim
( )
s
otw
s
otw
s
G s
s G s
s G s
0
0
0
2
4
18
0
•
→
wymuszenia w fazach 1, 2,3 ( pocz tek
t = 0 w ka dej)
1) w( t ) = 0.5t
2) w( t ) = 50
3) w ( t ) = -1t
ą
ż
0
•
Bł
ę
dy:
1) e =
1
K
0.5 =
9
4
= 2.25
2) e =
1
1+ K
50 = 0
u
v
u
p
⋅
⋅
3) e =
1
K
= -
18
4
= -4.5
u
v
⋅ −
(
)
1
50
0
100
200
250
t
W,Y
W
2.25
4.5
Y
Uwaga: Bł
ę
dy ustalone mo
ż
na by równie
ż
obliczy
ć
z definicji:
e = lims
1
1+ G
W(s)
u
s
0
otw
→
⋅
⋅
( )
s
,
jednak pro
ś
ciej jest skorzysta
ć
ze wzorów na K
p
i K
V
.
6. Prosty serwomechanizm z silnikiem pr
ą
du stałego, z magnesem trwałym, ma schemat jak
na rysunku. Pr
ę
dko
ść
obrotowa dla U=10V wynosi 1000obr/min, stała czasowa 0.5sek.
Oczekuje si
ę
, aby x narosło liniowo o 10cm w ci
ą
gu 15sek. Jaki b
ę
dzie faktyczny przebieg?
+
_
W
R
R
R
U
0.1U
S N
S
Y
x
10V
R
25cm-skala
pr
ęt nagwintowany z
nakr
ętką 1mm/obrót
potencjometr suwakowy
10V-25cm
wtórnik
Rozwi
ą
zanie:
Silnik: U = 10V
=
1000
60
(s)
U(s)
Potencjometr: 10V
25cm czyli 1cm
0.4V
→
=
+
→
→
L
N
M
M
M
O
Q
P
P
P
ω
obr
sek
s
obr
sek
V
Ω
100
60
0 5
1
.
w
[V]
10
sum./wzm.
[V]
100/
ε
0
0.5s+1
ω
[ ]
obr
sek
φ
1
s
[obrót]
1
[mm]
0.1
[cm]
x
0.4
[cm]
[V]
potencj.
silnik
pr
ęt z
nakr
ętką
przeliczenie
długo
ści
[z mm na cm]
_
Transmitancja układu zamkni
ę
tego:
X(s)
W(s)
lub
X(s)
X
w
= ⋅
+
+
=
⋅ ⋅
+
+
5
2
4
3
2
4
3
0 4
5
2
1
4
3
2
4
3
2
2
s
s
cm
V
s
s
s
cm
cm
( )
.
1 2 3
Bł
ą
d:
1cm
10cm
ok.15sek.
E ( s) = X
X
const .
s
lub
10
15
s
w
w
2
− =
+
+ +
⋅
A
F
H
G
I
K
J
X
s
s
s
s
s
2
2
2
2
4
3
( )
e
, e
, P
=
2
4
3
10
15
= 1. 0cm
u
s
0
u,const
,
=
⋅
=
⋅
→
lim
( )
s E s
0
7. Serwomechanizm z silnkiem pr
ą
du stałego ma schemat jak na rysunku. Dane s
ą
nast
ę
puj
ą
ce: (1) silnik: P
N
=100W, U
N
=24V,
ω
=3000obr/min, J=5*10-
5
kg*m
2
, (2)
x
w
10cm
15sek
t
tachogenerator: 3000obr/min
→
5V, (3) polaryzacja: U
p
=5V, (4) przekładnia:
α
=0.1, (5)
potencjometr: 1-obrotowy (360o).
w
TG
S
I
+U
p
r
N
S
+
_
+
_
_
+
α
β
a) Sporz
ą
dzi
ć
schemat blokowy układu.
b) Dobra
ć
tak r i
β
, aby układ zamkni
ę
ty miał transmitancj
ę
1/((Ts+1)
2
) gdzie T=0.2sek.
c) Ile wynosi wra
ż
liwo
ść
S
J
zam
dla
ω
=0, 0.1/T, 1/T ?
d) J zmieniło si
ę
o 10%. Jak zmieni si
ę
odpowied
ź
układu na skok jednostkowy ?
Rozwi
ą
zanie:
ad a ) silnik: P
P
N
N
=
→
=
=
=
⋅
→
=
⋅
⋅
=
= ⋅
→
=
=
i U
i
A
M
M
Nm
M
k i
k
Nm
A
N
N
N
em N
N
em N
em N
s
N
s
100
24
4 167
100
3000
1
60
2
0 318
0 318
4 167
0 0763
.
.
.
.
.
,
,
,
ω
π
tachogenerator: k
potencjometr:
U
TG
p
M
=
⋅
=
=
⋅
5
3000
1
60
2
0 0159
5
1 2
π
π
.
V
rd
s
V
rd
Θ
w
Y
[V]
k
s
1
Is
1
s
_
_
[n]
β
α
θ
M
U
p
1
r
k
TS
w
Y
_
A
B
1+
C
B
R
O
H
ad b) G
gdzie zachodzi:
;
zam
=
⋅
+ ⋅ ⋅
=
+
+
=
+
+
=
+
=
⋅
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
R O
R O M
AB
AB AC
s
s
s
k
J r
U
k
k
J r
n
n
n
n
n
s
p
M
n
s
TG
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
ω
ξω
ω
ω
ω
α
ξ
ω
β
ξ
(
)
Θ
Tutaj
= 1 . Czyli r =
k
J
( 20% nastawa )
s
ω
ξ
ω
α
π
β
ξω
n
n
p
M
n
s
TG
T
U
Jr
k k
= ⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅ =
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
=
−
−
1
1
0 2
5
0 0763
5 10
5
0 01 5
2
0 485
2
2 1 5
5 10
0 485
0 0763 0 0159
0 2
2
5
2
5
.
.
.
.
.
.
.
.
Θ
Ω
ad c) G = AB = G ( J ) =
1
s
S
S
2
J
J
zam
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
= −
=
+
⋅ =
+
⋅ +
⋅ − = −
+
+
= −
+
k
U
J r
J
G
dG
dJ
GH
S
AB
C
B
s
s
s
s
s
s
p
M
J
n
n
n
α
ξω
ω
ω
Θ
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
S( j )
S
dla
= 0
0. 01 dla
= 0.5
0.5 dla
= 5
2
2
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
−
+
=
−
+
→
=
R
S
|
T
|
=
n
n
j
j
n
2
2
5
2
2
25
10
0
Wniosek: Wra
ż
liwo
ść
ro
ś
nie ze wzrostem cz
ę
stotliwo
ś
ci (niekorzystnie).
w
_
H
G
ad d ) y = G
zam
∆
∆
⋅
⋅
A
⋅
A
= −
+
⋅ +
⋅
S
W s
J
J
s
s
s
s
J
zam
s
n
n
( )
.
(
)
(
)
. (
%)
1
0 1 10
2
2
2
0 1
1
1
1
ω
ω
8. Rezystor R stabilizuje temperatur
ę
τ
w bojlerze elektrycznym, wł
ą
czaj
ą
c stycznik podaj
ą
cy
napi
ę
cie U
M
=220V na 10-cio spiralowy grzejnik. Wł
ą
czenie nast
ę
puje z cyklem T
c
(np. 5
min.), a regulator w ka
ż
dym cyklu wyznacza czas T
c
u(t), u
∈
〈
0,1
〉
, na ktˇry stycznik jest
wł
ą
czany. Mamy wi
ę
c do czynienia z modulacj
ą
szeroo
ś
ci impulsów.
Ś
rednia warto
ść
napi
ę
cia grzejnego na cykl wynosi U
M
u(t) i ona stanowi sterowanie. Dane s
ą
nast
ę
puj
ą
ce:
q'=10-
5
m
3
/s, V=50*10-
3
m
3
,
τ
o=20
oC,
τ
'=80 oC, U'=160V,
ρ
=103 kg/m
3
, c=4,19*10
3
J/kg
(woda). Czujnik termorezystancyjny zmienia oporno
ść
od 100
Ω
do 110
Ω
(zakres -Z
R
=10
Ω
)
przy wzro
ś
cie temperatury od 0oC do 200oC (Z
τ
=200oC ).
220V~
R
T
c
[
]
Ω
[
C]
U[V]
R
V
q
q
τ
τ
0
τ
t
T
c
220V~
a) Ile wynosi oporno
ść
grzejnika R ? Poda
ć
transmitancj
ę
obiektu.
b) Jak wygl
ą
da schemat blokowy układu ?
c) Przyjmuj
ą
c,
ż
e regulator jest typu P dobra
ć
k
p
tak, aby stała czasowa układu zamkni
ę
tego
była 10-krotnie mniejsza ni
ż
stała czasowa obiektu.
d) Jedna ze spiral przepaliła si
ę
. Jak wpłynie to na temperatur
ę
ustalon
ą
? Jaki b
ę
dzie przebieg
przej
ś
ciowy ?
e) Powtórzy
ć
punkty c, d bior
ą
c regulator PI i dobieraj
ą
c T
i
metod
ą
eliminacji stałej czasowej.
Rozwi
ą
zanie:
ad a) (zobacz zadanie przykładowe 4/II)
[V]
[ C]
-
k
Ts+1
R =
U
, T =
V
q
, k =
2
2
0
10
5000
1 39
0 765
q c
sek
godz
q cR
C
V
o
ρ τ τ
π
ρ
(
)
.
.
.
−
=
=
=
=
Ω
ad b)
w
Y
[V]
_
P/PI
U
M
u
-
k
Ts+1
Z
R
Z
τ [Ω]
1
Ζ
R
[ C]
[-]
[-]
+
0...1.0
(Przyj
ę
to,
ż
e regulator wykonuje obliczenia na liczbach < 0.0 , 1.0 > <0 , 100%>
ad c)
, G
k
Ts + 1
, k
otw
p
otw
p
otw
p
P
k
k U k
z
z
z
k
k
p
p
M
R
R
p
p
→
= −
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
τ
1
220 0 765
1
200
0 84
.
.
G
G
1+ G
k
k
k
k
k
k
zam
p
otw
p
otw
p
otw
p
otw
p
otw
p
otw
p
otw
p
p
= −
=
−
+
+
+
→
+
=
→
=
→
=
=
1
1
1
1
1
10
9
9
0 84
10 7
T
s
T
T
.
.
ad d)
_
+
G
otw
P
k
k
otw
p
otw
p
gdzie
R
k U
z
q c R
p
M
=
=
⋅
⋅
(
)
1
2
1
τ
π
ρ
S
( sprawdzić) , S
k
k
R
R
zam,p
otw
p
otw
p
=
⋅
= −
=
−
⋅
=
+
⋅
+
+
+
⋅ −
R
G
dG
dR
G
S
Ts
T
s
otw
p
otw
p
R
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
y
y
( 0. 9% )
p
∆
∆
∆
=
⋅ = −
⋅
⋅
+
+
⋅
→
→ ∞ = −
G
S
R
R
s
s
s
s
t
zam
p
R
1
9
10
1
10
1 39
1
0 139
1
0 1
0 009
2
.
( .
)
.
(
)
.
ad
Ts
godz
k
Ts
k
k U
z
k
T
k
s
i
otw
PI
otw
PI
p
M
i
otw
PI
e) PI
k
, T
G
,
, G
p
i
otw
PI
zam
PI
→
+
=
= −
+
=
=
+
(
)
.
.
1
1
1 39
1
1
1
1
τ
k
, y
p
PI
k
t
otw
PI
=
→
=
→ ∞ =
10
11 9
0
.
(
)
∆
(Pomimo uszkodzenia regulator utrzyma temperatur
ę
.)
Zestaw IV. Zadania domowe
1. W układzie regulacji z nominalnymi warto
ś
ciami K=10,
β
=1, wzmocnienie K uległo z
czasem zmianie o 10%, a współczynnik
β
charakteryzuj
ą
cy przetwornik pomiarowy o 1%.
Jak
ą
ustalon
ą
zmian
ę
y to spowodowało ? [ w(t)=1(t) ].
w
Y
_
β
s(s+2)
e
K
Odp.
∆
y
u,k
=0 ,
∆
y
u,
β
=-0,01 (-1%)
2. Układ z rozrusznikiem serca ma schemat jak na rysunku.
w
Y
_
K
s
H(s)
400
s+20
Rozrusznik Serce
a) Okre
ś
li
ć
wra
ż
liwo
ść
układu zamkni
ę
tego wzgl
ę
dem K dla nominalnej warto
ś
ci K=1, przy
H(s)=1 i w(t)=72 uderzenia na minut
ę
(72/60Hz) .
b) Powtórzy
ć
obliczenia dla H(s)=1+0.1s .
Odp. a) S
K
zam
=(s
2
+20s)/(s
2
+20s+400) ,
S
K
zam
(j2
π
*(72/60))=0.023+0.4293j=0.43e
j86.9
°
,
b) S
K
zam
=(s
2
+20s)/(s
2
+60s+400) ,
S
K
zam
(j2
π
*(72/60))=0.1511+0.2403j=0.2838e
j57.8
°
.
3. Układ regulacji temperatury ma posta
ć
jak na rysunku.
Y
_
K
p
K
s+0.1
β
Regulator
Piec
Pomiar
Nominalne warto
ś
ci wynosz
ą
: K=5,
β
=0.5 . Podaj wzory na S
Kp
zam
, S
β
zam
w funkcji K
p
.
a) Ile wynosz
ą
ustalone warto
ś
ci tych wra
ż
liwo
ś
ci dla K
p
=1 i K
p
=10 ?
b) Parametr K zmienił si
ę
o 10%, a
β
o 1%. O ile zmieni si
ę
wyj
ś
cie (ustalone) ? [ K
p
=1 ;
w(t)=1(t) ]
Odp. a) K
p
=1 ; S
Kp
zam
=0.386 , S
β
zam
=-0.714
K
p
=10 ; S
Kp
zam
=0.0385 , S
β
zam
=-0.961
b)
∆
y
u,k
=0.408 ,
∆
y
u,
β
=-0.102
4. W podanym układzie wyznaczy
ć
wra
ż
liwo
ść
S
K
zam
, S
α
zam
, S
β
zam
.
a) Wyznaczy
ć
ich warto
ś
ci dla stanu ustalonego.
b) Wyznaczy
ć
warto
ś
ci dla cz
ę
stotliwo
ś
ci 10Hz, [ K=3,
α
=2,
β
=1 ].
_
β
20K
s+1+
α
K=3,
α
=2, =1
β
Odp. a) S
K
zam
=3/63 , S
α
zam
=-(2/63) , S
β
zam
=-(60/63)
b) S
K
zam
=0.707e
j42,3
°
, S
α
zam
=0.0225e
j135
°
, S
β
zam
=0.67433e
j135.1
°
5. Serwomechanizm poddano wymuszeniom w(t)=1(t), t, t
2
. Podaj warto
ść
bł
ę
du ustalonego
w ka
ż
dym przypadku. Czy jest sens stosowa
ć
wymuszenia paraboliczne i ew. wy
ż
szych
rz
ę
dów ?
_
w
e 50(1+5s)
2
s(10s+1)
Y
Odp. 0, 0.01,
∞
.
6. Serwomechanizm z silnikiem sterowanym napi
ę
ciowo oraz sprz
ęż
eniami zwrotnymi
pozycyjnym i tachometrycznym ma schemat jak na rysunku. Okre
ś
li
ć
K,
α
, aby bł
ą
d ustalony
dla wymuszenia liniowego w(t)=t
⋅
1(t) wynosił 0.1, za
ś
współczynnik tłumienia
ξ
był rˇwny
0.5 .
_
w
e
Y
K
s(s+2)
1+ s
α
Odp. U=100 ,
α
=0.08
7. Transmitancja pewnego serwomechanizmu ma posta
ć
G(s)=(K(s+2))/(s
2
+8s+65) [jest to
transmitancja układu zamkni
ę
tego]. Wyznacz warto
ś
ci nastawialnych parametrów K, z, tak
aby bł
ą
d ustalony odpowiedzi na wymuszenie liniowe w(t)=t
⋅
1(t) wynosił zero. Jaki
b
ę
dzie wtedy bł
ą
d na wymuszenie paraboliczne w(t)=(t
2
/2)
⋅
1(t) ?
Odp. K=8 , z=65/8 , e
u
=1/K
a
=1/65
8. Układ stabilizacji poło
ż
enia został wyposa
ż
ony w silnik pr
ą
du stałego sterowany
napi
ę
ciowo. Istnieje sprz
ęż
enie pozycyjne i tachometryczne (1+
α
s na rysunku). Zaproponuj
transmitancj
ę
najprostszego regulatora, który zapewni zerowy bł
ą
d ustalony przy
wymuszeniach i zakłóceniach liniowych.
_
w
Y
K
1+ s
α
R(s)
s(Ts+1)
z
Odp. R(s)=k
p
(1+
β
s)/(s
2
)
[ mianownik układu zamkni
ę
tego jest pełny ]
9. Układ stabilizacji pr
ę
dko
ś
ci samochodu ma posta
ć
jak na rysunku, gdzie z oznacza
zakłócenie (np. podjazd). Ile wynosi y je
ś
li z jest stałe lub liniowe ? Podaj wyra
ż
enia na stałe
bł
ę
du K
p
, K
v
, K
a
.
w
Y
s
_
_
z
m
k
1
2
3
s
k
k
k
1
Odp. K
p
=
∞ ,
K
v
=(k
1
k
2
)/k
3
, K
a
=
∞
10. Dany jest układ regulacji programowej jak na rysunku. Ile wynosi bł
ą
d ustalony w ka
ż
dej
z trzech faz ? Naszkicuj spodziewan
ą
odpowied
ź
. (Uwaga: e
-0.15
ls=0
=1)
_
e
-0.1s
s+1
5(1+ )
1
2s
10
25
40
t
w
10
1
2
3
11. Serwomechanizm o schemacie jak na rysunku poddano wymuszeniu trójk
ą
tnemu.
a) Ile wynosz
ą
bł
ę
dy ustalone ? Naszkicuj odpowied
ź
.
b) Ile wynosiłyby bł
ę
dy dla wymuszenia parabolicznego ?
_
s+1
40
t
w
10
1
27 (s+1)
2
4
s
1
s
2
w
0
20
[cm]
trójk
ąt
parabola
Odp. a)
±
0.5 b)
∞
12. Jaki regulator zaproponowałby
ś
do uzupełnienia układu podanego na rysunku, je
ż
eli
w(t)=t
3
i z(t)=t ? (wymagany "pełny" mianownik)
_
1
s
2
t
t
3
?
1+0.1s
Odp. R(s)=(k*(-s
2
+
α
s+
β
))/(s
2
)
13. Wyznaczy
ć
wzmocnienie K, aby układ 100-krotnie tłumił zakłócenie z (tzn. z=1(t)
→
y
z
=0.01 w stanie ustalonym).
_
w
K
10
2
s+2
s+2
0.4
z
0.5s
_
+ +
Y
Odp. k=1.9
Zestaw V. Zadania przyk³adowe.
1. Serwomechanizm ma postaæ jak na rysunku. Silnik jest sterowany napiêciowo.
a) Okreœliæ p
%
, t
r
dla a=0 ( od³¹czenie toru sprzê¿enia tachometrycznego ). Ile wyniesie
wtedy e
u
dla wymuszenia liniowego w(t)=t*1(t) ? [t
r
±2% ]
b) Powtórz obliczenia dla a=2.
c) dobierz a tak, aby x wzros³o do 0.6. Ile wyniesie p
%
, t
r
? Jaki bêdzie b³¹d dla wymuszenia
liniowego ?
Rozwi¹zanie:
a) Uk³ad
G(s) =
12
s
2
+ +
s 12
ω
ξω
ξ
n
n
%
, 2
p = 63.24%
=
=
→
=
=
→
12
1
1
2 12
0 144
.
t
t
sek
r
n
r
=
→
=
4
8
ξω
G
s
s s
s G
s
otw
s
otw
( )
(
)
lim
( )
.
=
+
=
⋅
=
=
=
→
12
1
12
1
12
0 0833
0
, K
, e
V
u
b) Pêtla wewnêtrzna
⇒
=
1
s(s + 3)
Y s
U s
( )
( )
Uk³ad
G s
s
s
( )
=
+ +
12
3
12
2
ω
ξ
n
=
=
12
0 433
=
3
2 12
.
p
%
=22.1 , tr=8/3=2.67 , kV=12/3=4 , eu=1/4=0.25
c)
G s
s
s
( )
(
)
.
=
+ +
+
→
=
= ⋅
⋅
= +
12
1
12
12
2 0 6
12
1
2
α
ω
ξω
α
, 2
n
n
α
α
=
= + =
3 157
1
12
0 3464
.
.
, e
u
2. W uk³adzie o schemacie jak na rys. dobraæ K, z, p, aby przeregulowanie wynosi³o 5%, a
czas regulacji 4/3 sek. (±2%).
Rozwi¹zanie:
Transmitancja uk³adu zamkniêtego jest III rzêdu:
G s
K s
z
s s
s
p
K s
z
( )
(
)
(
)(
)
(
)
=
+
+
+
+
+
3
W celu spe³nienia wymagañ zadania powinno siê sprowadziæ uk³ad do formy II rzêdu.
S³u¿y do tego metoda eliminacji zer i biegunów.
Niech wiêc z=3
Wtedy mamy :
G s
K
s
ps
K
( )
=
+
+
2
p%=5 ®
ξ
π
=
+
=
ln(
)
[ln(
)]
.
100
100
0 69
2
2
p
p
t
r
n
=
→
=
⋅
=
4
4
4
3
0 69
4 348
ξω
ω
n
.
.
K
n
=
=
=
ω
ξω
2
18 9
6
. , p = 2
n
3. Czy w uk³adzie (rysunek) mo¿na jednoczeœnie uzyskaæ b³¹d ustalony e
u
=0.02 dla w(t)=1(t)
oraz p
%
=16.3 ?
Rozwi¹zanie:
G
s
k
s
G
s
k
K
k
otw
s
otw
p
( )
(
)
lim
( )
=
+
=
=
=
+
=
+
→
1
1
1
1
1
2
0
, K
, e
p
u
e
u
≤
→
≥
0 02
.
k
49 Niech k= 49 (granica)
Wtedy
G
s
s
s
zam
( )
.
=
+
+
→
=
=
49
2
50
50
0 141
2
, =
1
50
n
ω
ξ
p
%
»(1-x/0.6)×100=76.4% , czyli nie mo¿na uzyskaæ takiego e
u
i p
%
.
4. Schemat blokowy uk³adu stabilizacji ramienia robota ma postaæ jak na rysunku.
Wykazaæ ¿e transmitancja uk³adu zamkniêtego ma postaæ:
G s
s
s
k
k
U
J r
k
U
J r
n
n
n
TG
M
s
p
S
p
M
( )
=
+
+
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
⋅ ⋅
ω
ξω
ω
ξ
β
α
ω
α
2
2
2
, gdzie =
1
2
,
n
Θ
Θ
Dane s¹ nastêpuj¹ce: a) silnik - P
N
=50W , w
N
=25p rad/sek (750 obr/min),
U
N
=24V, J=0.0005 kg/m
2 ,
b) tachogenerator - 5V dla 750 obr/min ,
c) przek³adnia a=1:20 ,
d) nadajnik potencjometr. - Q
M
=p (180°) , U
P
=10V
Dobraæ r, b tak, aby przebiegi mia³y charakter aperiodyczny krytyczny, a czas regulacji
wynosi³ 0.5 sek. [ t
r
±2% ]
Rozwi¹zanie:
Dane silnika:
P
M
M
P
P
U
i
i
P
U
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
=
⋅
→
=
=
⋅
→
=
ω
ω
,
M
k
i
k
M
i
U
N
S
N
S
N
N
N
N
=
⋅
→
=
=
=
=
ω
π
24
25
0 3056
.
Tachogenerator:
k
TG
=
=
5
25
0 0637
π
.
]
[
V
rad
sek
Warunki projektowania:
ξ =
=
1
0 5
, t
r
.
t
J r
k
U
r
n
M
S
p
=
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
→
4
4
0 5
ξω
α
Θ
Ω
.
r = 1.52
ξ
β
α
β
=
→
⋅
⋅ ⋅
⋅
→
1
=
2
k
= 0.625
TG
U
J r
k
p
M
M
Θ
5. Dla uk³adu a³tomatyki (rysunek) wyznaczyæ obszar stabilnoœci na p³aszczyŸnie k
p
, T
i
.
Rozwi¹zanie:
Mianownik transmitancji uk³adu zamkniêtego:
100
20
1
2
2
3
2
T s
T s
T
k
s
k
i
i
i
p
p
+
+
+
+
(
)
Hurwitz: 20T
i
×T
i
(1+2k
p
) > 2k
p
×100T
i
T
k
k
i
p
p
>
+
10
1
2
6. Stosuj¹c kryterium Routha wyznaczyæ przedzia³ k, w którym uk³ad (rysunek) jest stabilny.
Ile wynosz¹ pierwiastki dla k=7.5 ?
Rozwi¹zanie:
Mianownik transmitancji uk³adu zamkniêtego:
s
s
k
s
k
3
2
5
6
+
+
−
+
(
)
Tablica Routha:
1 k - 6
5 k
4k - 30
5
0
k >
30
4
k 0
k > 0
s
s
s
s
3
2
1
0
7 5
:
:
:
.
:
→
=
→
k
=
→
→
→
±
7 5
.
wielk. pom.
s : 5s + 7.5
s
=
j
7.5
5
2
2
1,2
7. Sterownik osi robotów IR
P
ma schomat jak na rys. 1. Wykazaæ, ¿e dla
k
V
/k
P
=T
I
=1/a uk³ad przekszta³ca siê do postaci z rys. 2. ( regulator PID z podwójnym zerem).
Dla jakich k
P
, k
V
, k
I
uk³ad jest stabilny ?
Rozwi¹zanie:
Mianownik transmitancji uk³adu zamkniêtego (bez s/a+1) :
s
k s
s
s k
k
s
k
3
2
3
2
2
2
+
+
= +
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
(
)
α
α
α
Hurwitz: 2k
2
a>ka
2
k>×a/2 ® k
P
k
I
>J/2 gdzie k
V
=k
P
/a
8. Zbadaæ stabilnoœæ wielomianu:
s
5
+2s
4
+3s
3
+6s
2
+10s+15
[ Sprawdziæ Matlabem ]
Rozwi¹zanie:
s
s
s
s
s
s
5
4
3
2
1
0
12
10
:
:
:
:
:
:
1 3 10
2 6 15
5
2
6 -
5
15
30 - 25 - 30
15
2
ε
ε
ε
ε −
Uwaga: Przy wielomianach z "e" mo¿na w tablicy Routha pozostawiæ od razu dominuj¹ce
sk³adniki. Upraszcza to zapis. Tutaj:
s
s
s
s
s
s
5
4
3
2
1
0
:
:
:
:
:
:
1 3 10
6 15
5
2
5
15
5
2
15
ε
ε
Odp. 2 pierwiastki w lewej pó³p³aszczyŸnie (dwie zmiany znaku).
MATLAB: roots([1 2 3 6 10 15 ])
0.82±j1.8, -1.8, -0.9±j1.36
9. Zbadaæ stabilnoœæ wielomianu: s
6
+4s
5
+12s
4
+16s
3
+41s
2
+36s+72 [sprawdziæ
MATLABem]
Rozwi¹zanie:
s
s
s
s
s
s
s
s
6
5
4
2
3
3
2
1
0
32
72
:
:
:
:
:
:
:
:
1 12 41 72
4 16 36
s 8 32 72
8s
0 0
32 64
16 72
- 80
72
4
→
+
+
Badanie pomocniczego wielomianu:
8
4
9
8
2
3
2
3
2
2
10
2
2
2
10
2
4
2
2
2
1 2
3 4
(
)
(
)(
)
s
s
s
s
s
s
s
j
s
j
+
+
=
+
⋅ +
−
⋅ +
→
= −
±
=
±
,
,
Odp. Dwa pierwiastki w prawej pó³p³aszczyŸnie (dwie zmiany znaku). Pierwiastkami
tymi s¹
2
2
10
2
±
j
10. Uk³ad ma postaæ jak na rysunku.
a) Dla jakich K bedzie on stabilny ?
b) Dla jakich K czas regulacji bêdzie mniejszy od 8 sek. ?
Rozwi¹zanie: Mianownik uk³adu zamkniêtego: s
3
+5s
2
+(K+6)s+K ,
a) Hurwitz: 5(K+6)>K
K>-(30/4) (dopuszcza siê nie za silne dodatnie
sprzê¿enie zwrotne)
b) t
r
»4/s
s=0.5
s=p-s=p-0.5
(p-0.5)
3
+5(p-0.5)
2
+(k+6)(p-0.5)+k=
=p
3
+3.5p
2
+(1.75+k)p+0.5k-1.875
0.5k-1.875>0
k>3.75
Hurwitz: 3.5(1.75+k)>0.5k-1.875
k>-1.791 (s³abszy warunek)
Odp. a) k>-30/4 , b) k>3.75
11. Zbadzæ stabilnoœæ wielomianu a(s)=s
4
+4 .
Rozwi¹zanie:
s
s
s
s
s
s
s
s
4
4
3
3
3
2
1
0
4
0
4
:
:
:
:
:
:
1 0 4
a
pierwiastki
0
4 0
da
ds
4
-16
4
pom
pom
→
= +
→
B
←
=
ε
ε
Odp. Dwa pierwiastki w prawej pó³p³aszczyŸnie ( s
3,4
=1±j1 )
Zestaw V. Zadania domowe.
1. Uk³ad automatyki ma postaæ jak na rysunku.
a) Czy mo¿na jednoczeœnie uzyskaæ przeregulawanie 10% i czas regulacji mniejszy ni¿ 1
sekunda ? (t
r
±2
%)
b) Jeœli nie, to podaj wartoœæ k, która czyni zadoœæ pierwszemu warunkowi (10%). Jaki
bêdzie teraz czas regulacji ? W jakim momencie czasu wyst¹pi przeregulowanie ?
Odp. a) nie mo¿na, b) k=1.43, t
r
=4, t
1
=2.23
2. Dobraæ wzmocnienie k i wspó³czynnik sprzê¿enia tachometrycznego
a,
tak aby przy
przebiegach aperiodycznych krytycznych i wymuszeniu liniowym b³¹d ustalony nie
przekracza³ 0.1.
Odp. k=400,
a
=39
3. Regulator PI o rozdzielonych torach P i I steruje obiektem niestabilnym (rys.). Dobraæ
nastawy k
p
,
k
i
tak aby przebiegi przejœciowe mialy przeregulowanie 16.3% , a czas regulacji
nie przekracza³ 1 (
±
2%).
4. Uk³ad sterowania wysokoœci¹ lotu pocisku manewruj¹cego ma schemat jak na rysunku.
ZnaleŸæ k
1
, k
2
, tak aby czêstatliwoœæ
w
n
wynosi³a 10 rad/sek, a wspó³czynnik t³umienia
x
by³ równy 0.5. Jaki czas regulacji t
r
i przeregulowanie p% wtedy wyst¹pi ?
Odp. k
1
=10.4 , k
2
=1 , t
r
=0.8 , p%=16.5
5. Uproœciæ transmitancjê do postaci I lub II rzêdu. Porównaæ odpowiedzi skokowe
(Matlab).
G s
s
s
s
s
1
2
2
1
40
1
4
4
1
( )
(
) [( )
]
=
+
+ ⋅
+ +
G
s
s
s
s
s
s
2
2
1
2
2
0 8
1 1
3
( )
(
)(
.
)(
)
=
+
+
+
+
+
Odp.
G
s
s
s
G
s
s
s
1
2
2
2
2
1
4
4
1
1
2
0 8
1
≈
+
+ +
≈
+
+
+
( )
(
)(
.
)
6. Dana jest transmitancja
G s
s
s
s
s
( )
=
+
+
+
+
4
6
11
6
3
2
Zaaproksymowaæ j¹ transmitancj¹ II rzêdu. Porównaæ odpowiedzi skokowe (Matlab).
Odp.
4
3
1
2
(
)(
)
s
s
+
+
7. Serwomechanizm z silnikiem sterowanym pr¹dowo ma schemat jak na rysunku.
Ile wynosz¹ bieguny uk³adu zamkniêtego dla k=27/4 ? Zaaproksymowaæ transmitancjê
uk³adu zamkniêtego transmitancj¹ I rzêdu postaci
k
T s
T s
z
1
2
1
1
+
+
(dominuj¹cy biegun i zero).
Porównaæ odpowiedzi skokowe (Matlab).
Odp.
G
s
s
zam
≈ +
+
1
7
1
8. Co mo¿na powiedzieæ o stabilnoœci i ewentualnie o pierwiastakach wielomianów:
1
2
3
6
10
15
) s
s
s
s
5
4
3
2
+
+
+
+
+
s
2
6
15
30
44
24
) s
s
s
s
5
4
3
2
+
+
+
+
+
s
SprawdŸ Matlabem [ roots( ) ].
Odp. 1) niestabilne, 2) granica stabilnoœci .
9. Uk³ad zamkniêty ma transmitancjê
G s
s
s
( )
=
+
+
+
20
2
11
20
3
s
2
Czy bieguny le¿¹ na lewo od linii s=-0.1 ? Ile ewentualnie nie le¿y ? SprawdŸ Matlabem
Odp. Dwa bieguny nie le¿¹.
10. Czy stabilny jest wielomian
s
s
s
s
5
4
3
2
+
+
+
+
+
2
4
8
16
32
s
?
Jakie wartoœci przyjmuje cztery z jego pierwiastków ? (ew. Matlab)
Wskazówka (obliczenia rêczne):
Jeœli z=R+jI , to z=r+j*i oblicza siê z równania ( z)
2
=z
tzn.
(
)
r
j i
R
j I
i
R
r i
I
+ ⋅
= + ⋅
→
− =
⋅ ⋅ =
R
S
T
2
2
2
r
2
[ ew. Matlab ]
Odp. 1
±
j
3
, -3 , -1
±
j
3
11. Co mo¿na powiedzieæ o stabilnoœci i ewentualnie o pierwiastakach wielomianów:
1
5
7
5
6
) s
s
s
4
3
2
+
+
+ +
s
2
6
12
12
11
6
) s
s
s
s
5
4
3
2
+
+
+
+
+
s
[ SprawdŸ Matlabem ]
Odp. 1) granica stabilnoœci 2) stabilny
12. Dla jakich wartoœci k pierwiastki nastêpuj¹cego wielomianu :
s
s
s
s
5
4
3
2
+
+
+
+ +
5
10
10
5s
k
le¿¹ w lewej pó³p³aszczyŸnie ? ( sprawdŸ Matlabem )
Odp. K>3.9
13. Dany jest uk³ad ze sprzê¿eniem zwrotnym (rys.).
Wyznacz zakres wzmocnienia sk³adowej ca³kuj¹cej k
i
, aby uk³ad by³ stabilny.
Odp. k
i
<3.
14. Dany jest uk³ad jak na rysunku.
W celu eliminacji sta³ej czasowej Obiektu przyjêto T
i
º
T. Stosuj¹c najprostsz¹ aproksymacjê
Pade
e
s
s
s
−
≅
−
+
τ
τ
τ
1
2
1
2
wyznaczyæ k
p
w zale¿noœci od T i
t
, tak aby:
1) uk³ad by³ stabilny
2) przebiegi by³y aperiodyczne krytyczne.
Odp. 1) k
p
< 2T/
t
2) k
p
=(6-4 2)T/
t
15. Dla jakich k uk³ad (rys.) jest stabilny ?
Ile wynosz¹ wartoœci biegunów uk³adu zamkniêtego dla a) k=60 b) k=-6 [ granica
stabilnoœci, zerowy wiersz w tablicy Routha ], sprawdziæ Matlabem
Odp. a) s=
±
j
11
, b) s=0
16. W uk³adzie (rys.) czas regulacji t
r
nie powinien przekraczaæ 20 sekund.
Czy jest mo¿liwe spe³nienie tego warunku ? Dlaczego ?
Wskazówka: t
r
»
4/
d
, s=p-
d
Wspó³czynnik potêg (p-0.2)
4
, (p-0.2)
3
mo¿na wyznaczyæ
Matlabem stosuj¹c funkcjê conv( ).
Odp. nie
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Automatyka i Robotyka przykładowe zadania z rozwiązaniami
przykładowe zadania i rozwiazania
przykład zadania rozwiązanego -funkcja linowa, ekonomia
przykladowe zadania rozwiazania 1
Przykladowe zadania z rozwiązaniami z statystyki
przykładowe zadania z rozwiązaniami (3)
Przykładowe zadania i rozwiązania (teksty literackie)
automatyka i robotyka-rozwiazania, Politechnika Wrocławska - Materiały, podstawy automatyki i roboty
Zadania Ciągi liczbowe Politechnika Poznańska PP, Automatyka i Robotyka, Analiza matematyczna
Przykladowe zadania wraz z rozwiazaniami - finanse przedsiebiorstwa, WSFIZ pawia
MatLab ROZWIĄZANA lista na koło, Automatyka i robotyka air pwr, IV SEMESTR, MATLAB, Matlab zagadnien
Zadania rachunek różniczkowy Polutechnika Poznańska PP, Automatyka i Robotyka, Analiza matematyczna
ZADANIA WERSJA POPRAWIONA, Automatyka i Robotyka, SEMESTR 5, NEMAR, Nemar stary, nemar, nemar DUŻO,
2009 przykładowe zadanie z Kol 2 rozwiązanie zad 3
zadania 17.02, Energetyka, sem5, sem5, automaty, podstawy automatyki i robotyki
więcej podobnych podstron