PRZYGOTOWANIE DO KOLOKWIUM ZALICZENIOWEGO
dr Adam Marczak
20.06.2013
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P 1 2 3 4 5 pkt
imię i nazwisko
nr albumu
Zadanie 1.
Zdefiniować pojęcie ciała K, przestrzeni liniowej V nad ciałem K, liniowej niezależności wektorów oraz bazy i wymiaru przestrzeni V . Określić ilość rozwiązań układu równań
x − my + mz = m − 1
x +
y − mz = 0
mx −
y + mz = 0
w zależności od rzeczywistego parametru m. W przypadku gdy zbiór rozwiązań układu tworzy przestrzeń liniową, podać jej wymiar i wskazać dowolną bazę.
Zadanie 2.
Endomomorfizm ϕ : R3 → R3 dany jest wzorem ϕ(( x, y, z)) = (3 x, x + 2 y, x + y + z). Podać macierz Aϕ tego endomorfizmu w bazie standardowej. Wyznaczyć wszystkie wartości własne λ
endomomorfizmu ϕ i związane z nimi przestrzenie wektorów własnych Wλ. Zbadać, czy istnieje baza przestrzeni R3 złożona z wektorów własnych przekształcenia ϕ. Jeśli ona istnieje, wskazać dowolną taką bazę oraz wyznaczyć macierz A? endomomorfizmu ϕ w tej bazie.
ϕ
Zadanie 3.
Podać definicję homomorfizmu przestrzeni liniowych, jego obrazu i jądra. Wyznaczyć Ker ( ϕ) i Im ( ϕ) dla homomorfizmu będącego rzutem prostokątnym przestrzeni R3 na płaszczyznę x + y + z = 0. Sprawdzić, czy liczba dim Ker ( ϕ) + dim Im ( ϕ) jest równa wymiarowi przestrzeni wyjściowej.
Zadanie 4.
Zdefiniować pojęcie iloczynu skalarnego oraz normy wektora przestrzeni liniowej V nad ciałem K z zadanym iloczynem skalarnym. Wyznaczyć normy wektorów f ( x) = 1 oraz g( x) = ln( x) x
e
Z
indukowane przez iloczyn skalarny
( f, g) =
f ( x) g( x) dx
w przestrzeni C([1 , e]) funkcji
1
ciągłych na odcinku [1 , e]. Obliczyć ( f, g).
Zadanie 5.
Zdefiniować pojęcie ortogonalności oraz ortonormalności wektorów przestrzeni liniowej V nad ciałem K z zadanym iloczynem skalarnym. Zortonormalizować wektory x = (1 , 0 , 0) ,
y = (1 , 1 , 0) ,
z = (1 , 1 , 1)
przestrzeni E3. W tym celu zastosować:
•
macierzową metodę ortogonalizacji;
•
procedurę ortogonalizacji Grama–Schmidta.
Czy można zortogonalizować wektory
x = (1 , 0 , 0) ,
y 0 = (0 , 1 , 1) ,
z = (1 , 1 , 1)?