W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 1
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski, Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Poznań 2002/2003
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 15
Teoria nośności granicznej
Rozpatrujemy ciała idealnie plastyczne. Do opisu zachowania się materiału plastycznego wprowadza się naprężenia oraz prędkości przemieszczeń i odkształceń. Podstawową własnością procesów plastycznego płynięcia jest dysypacja energii odkształceń plastycznych (rozproszenie energii np. w wyniku zamiany na ciepło). Zakłada się, że rozpraszana moc musi być nieujemna.
Moc dysypowana wynosi:
•
•
l
(15.1)
w = σ ε
Jednostkowa moc:
•
•
•
•
Lw = ∫ lw dA = ∫σ ⋅ y ⋅κ dA = κ⋅ M 0
(15.2)
A
A
gdzie:κ-promień kszywizny (κ=1/ρ)
M0-moment plastyczny
Nośność graniczna jest to stan w którym konstrukcja traci zdolność przenoszenia obciążenia (inaczej maksymalne obciążenie jakie może przenieść). Zastosowanie teorii nośności w praktyce pozwala na pełniejsze wykorzystanie konstrukcji, przy zachowaniu granic bezpieczeństwa.
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 2
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
Przegub plastyczny
Rozważania ograniczmy do zginania prętów sprężysto-plastycznych.
Pręty pod wpływem narastających naprężeń osiągają stan plastyczności (po osiągnięcu σ=σ0 ). Towarzyszy temu deformacja belki-występuje obrót sąsiednich części pręta względem osi obojętnej przekroju. W
przekroju krytycznym (maksymalna wartość momentu zginającego) następuje bardzo duża koncentracja odkształceń na małym obszarze.
Przyjmuje się, że w przekroju krytycznym powstał przegub plastyczny.
Charakteryzuje się możliwością obrotu oraz tym, że przenosi moment zginający równy momentowi plastycznemu M0.
θ
•
M ⋅θ ≥ 0
0
Przeguby plastyczne powstają w liczbie n+1 (n-stopień statycznej niewyznaczalności układu)
Określenie obciążenia granicznego Do określenia obciążeń granicznych służą dwa podejścia:
• Podejście statyczne- spełnione muszą być następujące warunki:
-warunek równowagi wewnętrznej i zewnętrznej
-w żadnym przekroju nie może być przekroczony warunek granicznego naprężenia: -M0≤M(x)≤+M0
• Podejście kinematyczne
-nie interesują nas warunki równowagi lecz przyjęcie przez układ dopuszczalnego pola przemieszczeń (powstanie mechanizmu) –
niezerowe krzywizny i kąty obrotu w przegubie plastycznym
-musi istnieć dodatnia moc obciążeń zewnętrznych Kompletne rozwiązanie polega na spełnieniu obu warunków: statycznego i kinematycznego
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 3
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
Zadanie 1
Rozpatrujemy belkę z materiału sprężysto-idealnie plastycznego,obciążoną siłą skupioną P w środku swojej rozpiętości.
Znana jest wartość naprężenia plastycznego σ0.
l/2
l/2
Wartość momentu plastycznego wynosi: M = σ W
0
0
pl
(15.3)
gdzie: Wpl-wskaźnik oporu plastycznego Podejście statyczne:
Układ osiągnie niebezpieczny stan gdy: Pl
M =
(15.4)
0
4
Siła graniczna wynosi:
4 M
P
0
=
(15.5)
gr
l
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 4
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
Podejście kinematyczne:
Potrzebne jest określenie położenia przekroju krytycznego. Przegub plastyczny wystąpi pod siłą P. W przypadku trudności określania miejsca jego występowania trzeba tak go przemieszczać, aby ostateczny wynik pokrył się z wynikiem z podejścia statycznego.
•
•
ϕ
•
ϕ
1
2
V
kąty są małe:
•
•
v
2 v
ϕ
ϕ
1 =
2 =
=
l
l
2
Całkowita moc sił zewnętrznych:
•
•
L
(15.6)
z = P ⋅ v
Moc sił wewnętrznych:
•
•
•
•
•
•
2 v
2 v
v
L
(15.7)
w = M ϕ
ϕ
4
0
1 + M 0
2 = M 0
+ M 0
= M
l
l
0 l
Z porównania (15.6) z (15.7) otrzymujemy wartość siły graniczne:
•
•
v
P v = 4 M 0 l
(15.8)
4 M
P
0
=
gr
l
Wartość jest identyczna z otrzymaną z podejścia statycznego Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 5
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
Zadanie2
Rozpatrzmy układ statycznie niewyznaczalny obciążony siłą skupioną P
w środku rozpiętości:
l/2
l/2
-statyka:
Zamieńmy układ na statycznie odpowiedni (jednak nie spełniający warunków kinematycznych):
Przegub pod siłą P przenosi moment: Pl
M 0
M =
−
(15.9)
0
4
2
Po przekształceniu wartość siły granicznej wynosi: 6 M
P
0
=
(15.10)
gr
l
-kinematyka:
Zakładam wystąpienie przekrojów krytycznych w połowie rozpiętości oraz w miejscu utwierdzenia.
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 6
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
•
•
•
ϕ
V
ϕ
1
2
•
•
L z = P v
•
•
(15.11)
•
M 2 v
2 M 2 v
L
0
0
w =
+
l
l
6 M
P
0
=
(15.12)
gr
l
Zadanie 3
Belka z przyłożonym obciążeniem ciągłym q na całej rozpiętości l/2
l/2
Podejście statyczne:
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 7
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
Równanie momentu ma postać:
2
ql
qx
M 0
M ( x) =
x −
−
x ≤ M
(15.13)
0
2
2
l
Poszukujemy maksymalnej wartości powyższej funkcji: dM ( x) = 0
dx
(15.14)
ql
M 0
− qx −
= 0
2
l
Z powyższego wynika:
ql
M 0
−
2
l
x =
(15.15)
q
Podstawiając wartość (15.15) do równania momentu (15.13) i wyprowadzeniu wartości q, otrzymujemy wzór na obciążenie graniczne 2 M 0
q =
3
( + 2 2)
gr
2
l
(15.16)
M 0
q ≈
66
,
11
gr
l 2
Podejście kinematyczne:
Zakładam wystąpienie przekroju krytycznego w miejscu utwierdzenia oraz w odległości x od podpory.
x
•
•
V
•
ϕ
ϕ
1
2
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 8
TEORIA NOŚNOŚCI GRANICZNEJ
•
•
V
ϕ1 = c
(15.17)
•
•
V
ϕ 2 = l − x
Z równania mocy otrzymujemy
•
•
•
•
V
V
V
V
q ⋅ x ⋅
+ q l( − x) = M
2
(15.18)
0
+ M
2
2
x
0 l − x
Po przekształceniach, wzór na obciążenie graniczne ma postać: 4 M 0 1
1
q =
( +
)
(15.19)
l
x
l − x
Jaka jest wartość x dla qmin?
dq = 0
2
⇒ x + 2
2
xl − l = 0
dx
(15.20)
x = l( 2 − )
1
Twierdzenie statyczne
Jeżeli dla danego obciążenia może być znalezione pole momentów spełniających warunki równowagi i nie przekraczających wartości M0 to konstrukcja nie ulegnie pod tym obciążeniem zniszczeniu lecz co najwyżej osiągnie stan granicznej nośności.
Wniosek:
Każdy statyczny mnożnik obciążenia µs jest mniejszy lub co najwyżej równy rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µg. Oszacowanie następuje od dołu (zbliżamy się do maksimum).
Twierdzenie kinematyczne
Konstrukcja idealnie plastyczna ulegnie zniszczeniu pod wpływem danego obciążenia jeśli można znaleźć taki mechanizm, dla którego moc obciążeń zewnętrznych nie jest mniejsza od mocy sił wewnętrznych Wniosek:
Każdy kinematyczny mnożnik obciążenia µk jest mniejszy lub co najwyżej równy rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µg.
Oszacowanie następuje od góry (zbliżamy się do minimum).
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Krawczyk,
Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper