W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

1

Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski,

Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper,

Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J

ERZY

R

AKOWSKI

Poznań 2002/2003

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 5

Wykład 5 z 27.03.2003. obejmujący takie zagadnienia jak: równania teorii

sprężystości wyrażone w przemieszczeniach, równania teorii sprężystości wyrażone w
naprężeniach, energia sprężysta oraz energia właściwa (gęstość energii) ciała.

5.1. Równania teori sprężystości wyrażone w przemieszczeniach

Zagadnienia teorii sprężystości polegają na wyznaczeniu dla

danego ciała odkształceń, przemieszczeń i naprężeń, gdy znamy jego
warunki obciążenia i podparcia.

Mamy zatem następujące niewiadome:

•

sześć współrzędnych tensora stanu naprężenia:

σ

ij

,

•

sześć współrzędnych tensora stanu odkształcenia:

ε

ij

, oraz

•

trzy współrzędne wektora przemieszczenia: u

i

.

Dla wyznaczenia tych niewiadomych sporządzamy następujący układ
równań:

•

równanie równowagi

0

,

=

+

i

j

ji

p

σ

(5.1.1.)

•

równanie geometryczne

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

2

)

(

2

1

,

,

i

j

j

i

ij

u

u

+

=

ε

(5.1.2.)

•

równanie fizyczne

kk

ij

ij

ij

ε

λδ

µε

σ

+

=

2

(5.1.3.)

gdzie:

µ

,

λ

-stałe Lamego

G

=

µ

ν

ν

ν

ν

ν

λ

2

1

2

)

2

1

)(

1

(

−

=

−

+

=

G

E

ponadto

σ

ij

=

σ

ji

, ε

ij

=ε

ji

.

ZADANIE
Eliminując

σ

ij

i ε

ij

doprowadzić do układu trzech równań o niewiadomych

u

i

.

Dokonując kontrakcji na równaniu (1.2) otrzymamy:

k

k

k

k

k

k

kk

u

u

u

,

,

,

)

(

2

1

=

+

=

ε

Podstawiając do równania (5.1.3) otrzymamy:

k

k

ij

i

j

j

i

ij

u

u

u

,

,

,

)

(

2

1

2

λδ

µ

σ

+

+

=

Wyrażenie to różniczkujemy po j oraz dokonujemy zamiany wskaźnika
niemego k na j

jj

j

ij

ij

j

jj

i

j

ij

u

u

u

,

,

,

,

)

(

λδ

µ

σ

+

+

=

u

j,jj

δ

ij

=u

j,ji

=u

j,ij

.

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

3

ji

j

ij

j

jj

i

j

ji

u

u

u

,

,

,

,

λ

µ

µ

σ

+

+

=

)

(

,

,

,

λ

µ

µ

σ

+

+

=

ji

j

jj

i

j

ji

u

u

Podstawiając powyższe wyrażenie do wzoru (5.1.1) otrzymamy:

0

)

(

,

,

=

+

+

+

i

ji

j

jj

i

p

u

u

λ

µ

µ

(5.1.4.)

Wiemy iż:

3

3

2

2

1

1

,

x

u

x

u

x

u

u

k

k

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

Zatem:

2

3

2

2

2

2

2

1

2

,

x

u

x

u

x

u

u

i

i

i

jj

i

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

Wyrażenie to możemy przedstawić inaczej korzystając z zapisu
operatorowego operatorowego wprowadzając symbol

∇

2

(laplasjan).

i

i

i

i

jj

i

u

x

u

x

u

x

u

u

2

2

3

2

2

2

2

2

1

2

,

∇

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

Podstawiając do wzoru (5.1.4) orzymamy równanie Lamego:

0

)

(

'

2

=

+

+

+

∇

i

i

i

p

u

ϑ

λ

µ

µ

(5.1.5.)

Gdzie, zgodnie z umową sumacyjną i=1,2,3, a

ϑ

=u

j,j

=

ε

jj

jest dylatacją.

Równanie będzie spełnione, gdy

ϑ

będzie funkcją harmoniczną.

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

4

ZADANIE
Udowodnić że

ϑ

jest funkcją harmoniczną.

Pomijamy siły masowe: p

i

=0.

0

)

(

,

,

=

+

+

ji

j

jj

i

u

u

λ

µ

µ

Różniczkujemy wyrażenie po i.

0

)

(

,

,

=

+

+

jii

j

jji

i

u

u

λ

µ

µ

0

)

(

,

,

=

+

+

ijj

i

ijj

i

u

u

λ

µ

µ

Równanie będzie spełnione, gdy:

[ ]

0

0

0

2

,

2

'

,

=

∇

⇔

=

∇

⇔

=

ϑ

i

i

jj

i

i

u

u

Wniosek: funkcja spełniająca równanie Laplaca jest funkcją
harmoniczną.c.n.u.

Różniczkując jeszcze raz otrzymamy:

0

)

(

'

2

4

=

∇

+

+

∇

i

i

u

ϑ

µ

λ

µ

Przy czym

0

'

2

→

∇

i

ϑ

, zatem

0

4

=

∇

i

u

Co oznacza, iż w przypadku równań Lamego funkcją spełniającą
równanie jest funkcja biharmoniczna.

0

2

1

1

,

2

=

−

+

∇

ji

j

i

u

u

ν

Gdzie

µ

µ

λ

ν

+

=

−

2

1

1

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

5

5.2. Równania teori sprężystości wyrażone w naprężeniach
(Beltrami-Mitchel)

Równanie (1.3) możemy zapisać w postaci:

kk

ij

ij

ij

E

E

σ

δ

ν

σ

ν

ε

−

+

=

1

Przyjmując

σ

kk

=s otrzymamy:

ij

ij

ij

s

E

E

δ

ν

σ

ν

ε

−

+

=

1

(5.2.1.)

Równanie nierozdzielności odkształceń możemy zapiszć jako:

0

,

,

,

,

=

−

−

+

ik

jl

jl

ik

ij

kl

kl

ij

ε

ε

ε

ε

(5.2.2.)

Pdstawiając (5.2.1.) do (5.2.2.) otrzymamy:

(

)

ik

jl

jl

ik

ij

kl

kl

ij

ik

jl

jl

ik

ij

kl

kl

ij

s

s

s

s

E

E

δ

δ

δ

δ

ν

σ

σ

σ

σ

ν

−

−

+

=

=

−

−

+

+

,

,

,

,

,

,

,

)

(

1

Możemy dokonać kontrakcji i przyrównać wskażniki k=l:

(

)

ik

jk

jk

ik

ij

kk

kk

ij

ik

jk

jk

ik

ij

kk

kk

ij

s

s

s

s

,

,

,

,

,

,

,

,

1

δ

δ

δ

δ

ν

ν

σ

σ

σ

σ

−

−

+

+

=

=

−

−

+

Uwzględniwszy, iż:

ij

kk

ij

σ

σ

2

,

∇

=

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

6

ij

ij

kk

s

,

,

=

σ

(

)

0

0

,

,

,

,

,

=

+

→

=

+

⇐

=

−

j

i

kj

ik

i

k

ik

j

i

jk

ik

p

p

p

σ

σ

σ

(

)

0

0

,

,

,

,

,

=

+

→

=

+

⇐

=

−

i

j

ki

jk

j

k

jk

i

j

ik

jk

p

p

p

σ

σ

σ

s

s

kk

2

,

∇

=

3

=

kk

δ

ji

jl

ik

s

s

,

,

=

δ

ij

ik

jl

s

s

,

,

−

=

δ

Otrzymamy następujące równanie:

(

)

ij

ij

i

j

j

i

ij

ij

s

s

p

p

s

,

2

,

,

,

2

1

+

∇

+

=

+

+

+

∇

δ

ν

ν

σ

Prowadząc dalsze przekształcenia otrzymamy:

ij

ij

i

j

j

i

ij

ij

s

s

p

p

s

,

2

,

,

,

2

1

1

ν

ν

δ

ν

ν

σ

+

+

∇

+

=

+

+

+

∇

)

(

1

1

,

,

2

,

,

2

i

j

j

i

ij

ij

ij

ij

p

p

s

s

s

+

−

=

∇

+

−

+

−

+

∇

δ

ν

ν

ν

ν

σ

(5.2.3.)

Przyjmujemy i=j:

)

(

1

1

,

,

2

,

,

2

i

i

i

i

iij

ii

ij

ii

p

p

s

s

s

+

−

=

∇

+

−

+

+

+

∇

δ

ν

ν

ν

ν

σ

i

i

p

s

s

s

,

2

2

2

2

1

3

1

1

−

=

∇

+

−

∇

+

+

∇

ν

ν

ν

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

7

i

i

p

s

,

2

2

1

3

1

1

−

=

∇

+

−

+

+

ν

ν

ν

i

i

p

s

,

2

2

1

2

2

−

=

∇

+

−

ν

ν

i

i

p

s

,

2

1

1

ν

ν

−

+

−

=

∇

Podstawiając powyższe wyrażenie do wzoru (5.2.3.) otrzymamy:

)

(

)

1

1

(

1

1

1

,

,

,

,

2

i

j

j

i

i

i

ij

ij

ij

p

p

p

s

+

−

−

+

−

+

=

+

+

∇

ν

ν

δ

ν

ν

ν

σ

)

(

1

1

1

,

,

,

,

2

i

j

j

i

k

k

ij

ij

p

p

p

s

+

−

−

−

=

+

+

∇

ν

ν

ν

σ

5.3. Energia sprężysta ciała.

W każdym punkcie na ciało działają siły masowe i siły

powierzchniowe: dV

pr

-siła działająca na jednostkę objętości.

dS

f

r

- siła działająca na jednostkę powierzchni.

Całkowita energia ciała sprężystego, które doznaje odkształcenia ur :

∫

∫

+

=

S

V

dS

u

f

dV

u

p

L

r

o

r

r

o

r

2

1

2

1

Zapisując skalarowo:

∫

∫

+

=

S

i

i

V

i

i

dS

u

f

dV

u

p

L

2

1

2

1

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

8

∫

∫

+

=

S

i

j

ji

V

i

i

dS

u

n

dV

u

p

L

σ

2

1

2

1

Ponieważ:

j

i

ji

A

u

=

σ

Oraz zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradzkiego:

∫

∫

=

A

V

j

j

j

j

dV

A

dS

n

A

,

Otrzymujemy:

∫

∫

+

=

V

j

i

ji

V

i

i

dV

u

dV

u

p

L

,

)

(

2

1

2

1

σ

∫

∫

+

+

=

V

j

i

ji

i

j

ji

V

i

i

dV

u

u

dV

u

p

L

)

(

2

1

2

1

,

,

σ

σ

dV

u

u

u

p

L

j

i

ji

i

j

ji

V

i

i

)

(

2

1

,

,

σ

σ

+

+

=

∫

dV

u

u

p

L

j

i

ji

i

j

ji

V

i

]

)

[(

2

1

,

,

σ

σ

+

+

=

∫

Wiemy, iż:

0

,

=

+

i

j

ji

p

σ

dV

u

L

j

i

ji

V

)

(

2

1

,

σ

∫

=

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

9

Korzystając z symetrii tensora σ

ij

mamy:

dV

u

u

L

i

j

ij

j

i

ji

V

)

2

1

2

1

(

2

1

,

,

σ

σ

+

=

∫

dV

u

u

L

i

j

j

i

V

ij

)

(

2

1

2

1

,

,

+

=

∫

σ

Ostatecznie otrzymujemy wzór na pracę wykonaną przez siły masowe i
powierzchniowe wyrażone przez tensory naprężenia i odkształcenia:

dV

L

V

ij

ij

∫

=

ε

σ

2

1

5.4. Energia właściwa (gęstość energii).

ij

ij

W

ε

σ

2

1

=

Wielkości

ij

σ

oraz

ij

ε

przedstawiamy jako sumę aksjatora i dewiatora.

)

)(

(

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

d

ij

o

ij

d

ij

o

ij

W

ε

ε

σ

σ

+

+

=

Gdzie:

ij

kk

o

ij

δ

σ

σ

3

1

)

(

=

ij

kk

ij

d

ij

δ

σ

σ

σ

3

1

)

(

−

=

0

3

1

3

1

9

1

3

1

3

1

)

3

1

(

)

(

)

(

=

−

=

−

−

=

−

=

kk

kk

kk

kk

ij

ij

kk

kk

ij

ij

kk

ij

kk

ij

kk

ij

o

ij

d

ij

σ

ε

σ

ε

δ

δ

ε

σ

δ

σ

ε

δ

ε

δ

σ

σ

ε

σ

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

10

Po wymnożeniu otrzymujemy:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

d

o

d

ij

d

ij

o

ij

o

ij

W

W

W

+

=

+

=

ε

σ

ε

σ

Całkowita gęstość energii składa się z dwóch części: gęstości energii
wynikającej z pracy aksjatorów i z gęstości energii wynikającej z pracy
dewiatorów.

Obliczmy gęstość energii aksjatora:

2

)

(

)

(

)

(

)

(

6

2

1

3

2

1

3

1

2

1

)

3

2

1

)(

3

1

(

2

1

2

1

kk

ij

ij

kk

kk

ij

kk

ij

kk

o

ij

o

ij

o

E

E

E

W

σ

ν

δ

δ

σ

ν

σ

δ

σ

ν

δ

σ

ε

σ

−

=

−

=

=

−

=

=

Gęstość energii aksjatora wyraża się wzorem:

2

1

)

(

6

2

1

σ

σ

ν

I

E

W

o

−

=

Gdzie

σ

1

I -pierwszy niezmiennik stanu naprężenia.

ZADANIE DOMOWE.
Obliczyć część gęstości energii wynikającą z pracy dewiatora.

Wiemy iż:

)

(

)

(

2

1

d

ij

d

ij

G

σ

ε

=

Zatem:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

4

1

2

1

2

1

2

1

d

ij

d

ij

d

ij

d

ij

d

ij

d

ij

d

G

G

W

σ

σ

σ

σ

ε

σ

=

=

=

W

Y K Ł A D Y Z

T

E O R I I

S

P R Ę Ż Y S T O Ś C I

R

ÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

. E

NERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA

C

IAŁA

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

11

Drugi niezmiennik dewiatora naprężenia wyraża się następująco:

)

(

)

(

)

(

2

2

1

d

ij

d

ij

d

I

σ

σ

σ

−

=

Gęstość energii dewiatorów można przedstawić w postaci:

)

(

2

)

(

2

1

d

d

I

G

W

σ

σ

−

=

Gdzie

)

(

2

d

I

σ

-drugi niezmiennik dewiatora naprężenia.