Jacek KÅ‚opotowski
Zadania z analizy matematycznej I
1 Relacje i odwzorowania
1.1 Relacje
1.1. Wykazać, że jeÅ›li relacja Á ‚" X × X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciw-
symetryczna.
1.2. Zbadać czy relacja Á ‚" X × X jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, przeciwsy-
metryczna, przechodnia, antysymetryczna, spójna, jeśli:
1
a) X = N, kÁn Ô! n|k,
b) X = R, xÁy Ô! |x| = |y|,
c) X = R, xÁy Ô! x < y,
d) X = R, xÁy Ô! x - y = 2,
e) X = R, xÁy Ô! sgnx = sgny,
f) X = R, xÁy Ô! x2 + y2 = 1.
1.3. Sprawdzić, czy okreÅ›lona w zbiorze 2R, relacja AÁB Ô! A ‚" B jest:
a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem.

x1 y1
1.4. W zbiorze R2 okreÅ›lamy relacjÄ™ Á Ô! |x1| + |x2| |y1| + |y2|. Sprawdzić,
x2 y2
czy Á jest:
a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem.
1.5. W zbiorze R2 określamy relację

x1 y1
Á Ô! x1 < y1 (" (x1 = y1 '" x2 < y2) (" (x1 = y1 '" x2 = y2) .
x2 y2
Sprawdzić, czy Á jest:
a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem.
1.6. Niech f : R2 R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R2 relacja
xÁy Ô! f (x) f (y) jest:
a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem.
1.7. W zbiorze X = {a, b, c, d} określona jest relacja
Á = {(a, a) , (b, b) , (b, c) , (c, c) , (c, b) , (d, d) , (d, e) , (e, d)} .
Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci i podać podziaÅ‚ na klasy abstrakcji.
1
Zapis n|k oznacza, że liczba n jest dzielnikiem liczby k.
1
1.8. Sprawdzić, czy Á ‚" X × X jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci, jeÅ›li:

a) X = N, kÁn Ô! k - n = 3p
p"C

b) X = N, kÁn Ô! k + n = 3p,
p"N
c) X = R, xÁy Ô! x2 = y2,
d) X = R, xÁy Ô! sin x = sin y,
2 2
e) X = R2, xÁy Ô! x2 + x2 = y1 + y2.
1 2
JeÅ›li Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci, to podać podziaÅ‚ na klasy abstrakcji.
1.9. Niech f : R2 R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R2 relacja
xÁy Ô! f (x) = f (y) jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.
1.10. W zbiorze R2 określamy relację
ëÅ‚ öÅ‚


x1 y1
íÅ‚
Á Ô! x1 - y1 = k '" x2 - y2 = kÅ‚Å‚ .
x2 y2
k"C
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

1
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji .
2
1.11. W zbiorze R2 określamy relację

x1 y1
2 2
Á Ô! x2 - x2 = y1 - y2.
1 1
x2 y2
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

1
b) Podać ilustrację graficzną klasy abstrakcji .
1
1.12. W zbiorze X = R - {0} określamy relację

1
xÁy Ô! (x - y) x - = 0.
y
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

1
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji .
2
1.13. W zbiorze R określamy relację

xÁy Ô! x2 - y2 = k.
k"C
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

"
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 2 .
1.14. W zbiorze W określamy relację

xÁy Ô! x - y = k.
k"C
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

1
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji .
2
2
1.15. W zbiorze R określamy relację

xÁy Ô! x - y = w.
w"W
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

"
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 2 .
1.16. W zbiorze N2 określamy relację

x1 y1
Á Ô! x1 - y1 = x2 - y2.
x2 y2
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

2
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji .
1
1.17. W zbiorze R2 określamy relację

x1 y1
Á Ô! (x1 + x2)2 = (y1 + y2)2 .
x2 y2
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

1
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji .
3
1.18. W zbiorze R2 określamy relację

x1 y1
Á Ô! sin (x1 - x2) = sin (y1 - y2) .
x2 y2
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

1
Ä„
2
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji .
-1Ä„
2
1.19. W zbiorze R2 określamy relację

x1 y1
Á Ô! cos (x1 - x2) = cos (y1 - y2) .
x2 y2
a) Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.

1
Ä„
4
b) Wyznaczyć klasę abstrakcji .
-1Ä„
4
1.2 Odwzorowania
1.20. Sprawdzić, czy relacja f jest odwzorowaniem:
a) f = {(n, y) " N × W : n + 2y - 3 = 0},
b) f = {(n, k) " N × N : n + k = 2},
b) f = {(x, y) " R2 : x = y},
c) f = {(x, y) " R2 : x2 = y2},
d) f = {(x, y) " R2 : sin x = sin y}.
3
1.21. Niech f : R R, f (x) = x + |x|. Wyznaczyć f ( -1, 1 ), f (R), f ( 1, 2 ), f-1 ({0}),
f-1 ( 0, +")).
1.22. Niech f : R R, f (x) = x2 + x - 2. Wyznaczyć f ( -2, 1 ), f (R), f ( -2, 0 ),
f-1 ({0}), f-1 (R).

1 1
1.23. Niech f : R R, f (x) = sin x. Wyznaczyć f -1Ą, Ą , f (R), f-1 ({0}), f-1 0, ,
2 2 2
f-1 (R).
1.24. Wyznaczyć złożenie g ć% f funkcji:
a) f : R R, f (x) = 2x 1, g : R R, g (x) = x2;
"-
b) f : R+ R, f (x) = x, g : R R+, g (x) = x2.
1.25. Wyznaczyć złożenie gć%f i fć%g funkcji f : R+-{0} R, f (x) = log x, g : R R+-{0},
g (x) = 100x.
1.26. Zbadać różnowartościowość funkcji:
x
a) f : R - {-1} R, f (x) = ,
x+1
b) f : (0, +") R, f (x) = ln x2,
1
c) f : R - {0} R, f(x) = arc tg(x),
d) f : -1, 1 R, f (x) = arc sin x + arc cos x.
1.27. Niech f : R R, f(x) = arc tg(3x - 2).
a) Wykazać, że f jest bijekcją.
b) Wyznaczyć f-1.

x1 x1 + x2
1.28. Niech f : R2 R2, f = .
x2 x1 - x2
a) Wykazać, że f jest bijekcją.
b) Wyznaczyć f-1.

b) Wyznaczyć f R2 2, f-1 ({y " R2 : y1y2 0}).
+

x1 2x1 - x2
1.29. Niech f : R2 R2, f = .
x2 x1x2
a) Sprawdzić, czy f jest bijekcją.

y1
b) Wyznaczyć f-1 (B), gdzie B = " R2 : y1y2 0 .
y2

x1 2x1x2
1.30. Niech f : R2 R2, f = .
x2 x1 + x2
a) Sprawdzić, czy f jest bijekcją.

y1
b) Wyznaczyć f-1 (B), gdzie B = " R2 : y1y2 0 .
y2
2
Rn = {x " Rn : xj 0 dla j = 1, 2, ..., n}
+
4
1.3 Zbiory równoliczne
1.31. Wykazać, że przedział 0, 1 jest równoliczny z dowolnym przedziałem a, b , gdzie
a < b.
1.32. Udowodnić, że suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
1.33. Udowodnić, że zbiór N × N jest przeliczalny.
1.34. Udowodnić, że zbiór W jest przeliczalny.

1.35. Niech (An)n"N będzie rodziną zbiorów przeliczalnych. Udowodnić, że zbiór A = An
n"N
jest przeliczalny.
1.36. Udowodnić, że przedziały 1, +") i (1, +") są równoliczne.
1.37. Udowodnić, że przedziały (0, 1 i (0, 1) są równoliczne.
1.38. Niech X = ". W zbiorze 2X określamy relację

AÁB Ô! zbiory A i B sÄ… równoliczne.
Wykazać, że Á jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci.
2 Elementy topologii
2.1 Przestrzenie metryczne
2.1. Wykazać, że kula otwarta jest zbiorem otwartym.
2.2. Wykazać, że funkcja d : R2 × R2 R jest metrykÄ…, jeÅ›li:
a) d (x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2|,
b) d (x, y) = max {|x1 - y1| , |x2 - y2|}.
2.3. Narysować kule otwarte K (0, 1) ‚" R2 w metrykach:

a) d (x, y) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2;
b) d (x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| ;
c) d (x, y) = max {|x1 - y1| , |x2 - y2|} .

0 dla x = y,
2.4. Wykazać, że funkcja d : X × X R, d (x, y) = jest metrykÄ….
1 dla x = y,

2.5. Sprawdzić, czy funkcja d : R × R R, d (x, y) = |x2 - y2| jest metrykÄ….
2.6. Sprawdzić, czy funkcja d : R+ × R+ R, d (x, y) = |x2 - y2| jest metrykÄ….


1 1
2.7. Sprawdzić, czy funkcja d : N × N R, d (k, n) = - jest metrykÄ….
n k
5
2.8. Wyznaczyć punkty wewnÄ™trzne, punkty skupienia i punkty izolowane zbioru A ‚" Rn
(w metryce pitagorejskiej) oraz sprawdzić, czy A jest zbiorem ograniczonym, otwartym, do-
mkniętym jeśli:

1
a) A = {0} *" : n " N , b) A = {x " R : sin x = 0},
n
"

3
c) A = {x " R : nx = [nx]} , d) A = {x " R : x2 (x + 1) 0},
n=1

(-1)nn
e) A = : n " N f) A = {x " R2 : x2 = |x1 - x2|},
n+1
1
g) A = n, : n " N , h) A = {x " R2 : |x2 + x2 - 4| 2x2} ,
1 2
n
i) A = {x " R2 : x1sgnx2 = 0}, j) A = {x " R2 : sin x1 sin x2 = 0}.
2.2 CiÄ…gi w przestrzeniach metrycznych
2.9. Udowodnić, że jeśli ciąg (xn) jest zbieżny to jest ograniczony (tzn. istnieje taka kula
K (x0, r), że xn " K (x0, r) dla każdego n " N.
2.10. Wyznaczyć ciągi zbieżne w dyskretnej przestrzeni metrycznej.
2.11. Wykazać domkniętość zbiorów:
a) A = {x " R2 : |x1 + x2| 3}, b) A = {x " R2 : x3 + x3 3},
1 2
c) A = {x " R4 : x2 + x2 + x2 - x2 = 9}.
1 2 3 4
Czy zbiory te sÄ… zwarte?
2.12. Wykazać, że każdy domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty.
2.13. Wykazać, że każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony.
2.3 Odwzorowania ciągłe
2.14. Korzystając z definicji Cauchy ego wykazać ciągłość funkcji:
"
sin x
a) f (x) = x, b) f (x) = sin x (wsk. skorzystać ze wzoru lim = 1).
x
x0
2.15. Wykazać, że równanie ma rozwiązanie:

"
1
a) x + sin x = 1, x " 0, Ä„ ; b) xex = 1, x " (0, 1);
2
x
1
c) x = , x " (0, 1); d) x3 - 2x + 3 = 0, x " (-2, -1).
3
3
e) ex - 2 = 2x, x " (0, 2); f) 2 log3 x - log3 (x + 2) + x = 1, x " (1, 2);
2
g) 3 log3 x - log3 (x + 1) + x = 1, x " (1, 2).
2.16. Wykazać, że równanie
x2 - 1 = e-x
ma rozwiÄ…zanie w przedziale (1, 2). Czy to rozwiÄ…zanie jest wyznaczone jednoznacznie? Od-
powiedz
uzasadnić.
2.17. Mówimy, że zbiór A ‚" X jest Å‚ukowo spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych
punktów x, y " A istnieje ciągłe odwzorowanie f : 0, 1 A takie, że f (0) = x, f (1) = y.
Udowodnić, że jeÅ›li zbiór A ‚" X jest Å‚ukowo spójny, to jest spójny.
2.18. Udowodnić, że każdy zbiór wypukÅ‚y A ‚" Rn jest spójny.
3
[x] oznacza część całkowitą liczby x.
6
2.4 Przestrzenie liniowe unormowane
2.19. Wykazać, że podana funkcja jest normą:
a) x = |x1| + |x2| + |x3|, x " R3;
b) x = max {|x1| , |x2| , |x3|}, x " R3;
c) f = sup {|f (x)| : x " a, b }, f " C ( a, b , R);

b
d) f = |f (x)| dx, f " C ( a, b , R).
a
2.20. W przestrzeni C ( -1, 1 , R) z normą f = sup {|f (x)| : x " -1, 1 } obliczyć normy
funkcji:
a) f (x) = x2, b) f (x) = xe-x, c) f (x) = x4 - 2x.

1
2.21. W przestrzeni C ( 0, 1 , R) z normą f = |f (x)| dx obliczyć normy funkcji:
0
2
1
a) f (x) = , b) f (x) = 2x2 - x, c) f (x) = xe-x .
1+x2

1
2.22. W przestrzeni C ( 0, 1 , R) z normÄ… f = |f (x)| dx obliczyć lim fn , gdzie (fn) ‚"
0
n"
C ( 0, 1 , R), jeśli:
n
1
a) fn (x) = 1 + x dla n " N,
n
n
1
b) fn (x) = 1 - x dla n " N.
n

n

2.23. Obliczyć normę macierzy A (por. przykład ??) przy założeniu, że x = x2 dla
i
i=1
x " Rn, jeśli:

3 1 -2 1 -1 1 2 -1
a) A = , b) A = , c) A = , d) A = ,
1 3 1 -2 1 -1 -1 2

1 -1 1 2 1 2 1
e) A = , f) A = , g) A = .
0 1 -1 1 -2 1 0
2.24. Mówimy, że okreÅ›lone w przestrzeni liniowej X normy · 1, · 2 sÄ… równoważne wtedy
i tylko wtedy, gdy

( x 1 a x 2 '" x 2 b x 1) .
a>0 b>0 x"X
a) Wykazać, że relacja równoważności norm jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
b) Udowodnić, że w przestrzeni Rn wszystkie normy są równoważne.
2.5 CiÄ…gi i szeregi funkcyjne
2.25. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego:

1
a) fn : -1, R, fn (x) = xn;
2 2
1
b) fn : R R, fn (x) = ;
n2+x2
1
c) fn : R R, fn (x) = sin x;
n

x
d) fn : R R, fn (x) = sin ;
n

x
e) fn : R R, fn (x) = cos ;
n
f) fn : 0, ") R, fn (x) = nxe-nx;
1
g) fn : R R, fn (x) = ;
nx2+5
nx
h) fn : R R, fn (x) = ;
n2x2+3
nx+1
i) fn : R R, fn (x) = ;
n2x2+3
x-1
j) fn : R R, fn (x) = ;
nx2+2
7
nx-1
k) fn : R R, fn (x) = ;
n2x2+8
l) fn : R R, fn (x) = x exp (-2x2n2);

Å‚) fn : R R, fn (x) = nx exp -1x2n2 ;
2

m) fn : R R, fn (x) = nx exp -1x2n2 .
8
2.26. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego:
" " " "

xn 2nxn n!xn
a) n!xn, b) , c) , d) .
n! n2 nn
n=0 n=0 n=1 n=1
2.27. Obliczyć sumę szeregu:
n " n " n " n
"

1
a) n , b) n2 1 , c) n -1 , d) n2 -3 .
3 2 2 4
n=1 n=1 n=1 n=1
3 Rachunek różniczkowy funkcji i odwzorowań wielu
zmiennych
3.1 Funkcje i odwzorowania wielu zmiennych
3.1. Wyznaczyć składowe odwzorowania liniowego F : R3 R2 określonego wzorem

2x1 - x2 + x3
F (x) = .
-x1 + 3x2
Wykazać, że F jest ciągłe.
3.2. Zbadać ciągłość funkcji:
Å„Å‚
x1x2
òÅ‚
dla x = 0,

x2 + x2
a) f : R2 R, f (x) =
1 2
ół
0 dla x = 0;
Å„Å‚
ôÅ‚ x2x2
òÅ‚ 1
dla x = 0,

b) f : R2 R, f (x) =
x2 + x2
1 2
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0;
Å„Å‚
ôÅ‚ - x2
x2
òÅ‚ 1 2
, jeśli x1 + x2 = 0,

c) f : R2 R, f (x) =
x1 + x2
ôÅ‚
ół
0, jeśli x1 + x2 = 0.
Å„Å‚
ôÅ‚ sin (x1x2)
òÅ‚
, jeśli x1 = 0,

d) f : R2 R, f (x) =
x1
ôÅ‚
ół
x2, jeśli x1 = 0.
3.3. Zbadać ciągłość odwzorowania:

x1 sin (x2x3)
a) F : R3 R2, F (x) = ;
2
3x2e-x +2x3
1

x2 ln (1 + x2)
1
b) F : R3 R2, F (x) = ;
x1x3
1+(x1+x2+x3)4

x2 - 2x
c) F : R R2, F (x) = ;
x cos x

x1 cos x2
d) F : R2 R2, F (x) = .
x1 sin x2
8
3.2 Pochodna odwzorowania
3.4. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x0 w kierunku wektora h, jeśli:

1 1
1
a) f : R2 R, f (x) = ex sin x2, x0 = , h = ;
1
Ä„ -1
2
0 2
1
b) f : R2 R, f (x) = ex +x2, x0 = , h = ;
0 1


0 1
c) f : R2 R, f (x) = (x1 + x2)2, x0 = , h = ;
0 -1
Å„Å‚
sin (x2 + x2 + x2)
ôÅ‚
1 2 3
òÅ‚
dla x1 + x2 + x3 = 0,

d) f : R3 R, f (x) = x1 + x2 + x3
ôÅ‚
ół
0 dla x1 + x2 + x3 = 0,
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x0 = 0 , h = -1 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 2
3.5. Obliczyć pochodną kierunkową odwzorowania F w punkcie x0 w kierunku wektora h,
jeśli:

x1 + x2 0 1
2
a) F : R2 R2, F (x) = , x0 = , h = ;
x1 sin x2 Ä„ -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

0 1
x1x2x3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
b) F : R3 R2, F (x) = , x0 = 1 , h = 2 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
x1 + (x2 + x3)2
-1 0
3.6. Zbadać różniczkowalność funkcji f, jeśli f jest różniczkowalna, to wyznaczyć jej pochodne
czÄ…stkowe:
x1x2
a) f : R2 R, f (x) = ;
1 + (x1 + x2)2

b) f : R3 R, f (x) = x 1 + x2 + x4;
1 2
Å„Å‚1
ôÅ‚ sin (x1x2)
òÅ‚
dla x2 = 0,

c) f : R2 R, f (x) =
x2
ôÅ‚
ół
x1 dla x2 = 0.
Å„Å‚
ôÅ‚ x3
òÅ‚ 1
dla x = 0,

3.7. Niech f : R2 R, f (x) =
x2 + x2
1 2
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0.
a) Wykazać, że dla każdego h " R2 istnieje "hf (0).
b) Wykazać, że f nie jest różniczkowalna w punkcie 0.
Å„Å‚
ôÅ‚ x3x2
òÅ‚ 1
x1 + x2 + dla x = 0,

3.8. Niech f : R2 R, f (x) =
x4 + x2
1 2
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0.
a) Wykazać, że "hf (0) = h1 + h2 dla każdego h " R2.
b) Wykazać, że f nie jest różniczkowalna w punkcie 0.
h3h2
1
Wskazówka. Założyć, że f jest różniczkowalna w 0, wówczas r (0, h) = . Przyjmując
h4+h2
1 2
T
1 1 r(0,h)
"
hn = , pokazać, że warunek lim = 0 nie jest spełniony.
n n
h
h0
3.9. Wykazać, że jeśli istnieje "hf (x0), to "ąhf (x0) = ą"hf (x0) dla każdego ą " R.
9
3.10. Wyznaczyć macierz Jacobiego odwzorowania F w dowolnym punkcie x, jeśli:

x1 - (x2x3)2
a) F : R3 R2, F (x) = ;
x1 (x2 + x3)2

x1 cos x2
b) F : R2 R2, F (x) = ;
x1 sin x2
îÅ‚ Å‚Å‚
2
x1e-x
ïÅ‚ śł
c) F : R2 R3, F (x) = x2 ln (1 + x2) .
ðÅ‚ ûÅ‚
1
x1 arc tg x2
3.11. Niech F : R3 R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem

3
2x1 + x2 - ex
F (x) = .
x1x2 arc tg x3
a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x " R3.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
b) Obliczyć "hF (x0), gdzie h = -1 , x0 = 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0
3.12. Niech F : R3 R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem

x1 - x3 ln (1 + x2)
2
F (x) = .
x2 + x3x3
2 1
a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x " R3.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
b) Obliczyć "hF (x0), gdzie x0 = 0 , h = -1 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
3.13. Niech F : R3 R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem

3
x1ex - x2
F (x) = .
x1 + x2 sin x3
a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x " R3.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
b) Obliczyć "hF (x0), gdzie h = -1 , x0 = 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0
3.14. Niech f : R2 R będzie funkcją określoną wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚ 2x2 - x2
òÅ‚ 1 2
dla x = 0,

f (x) =
x2 + x2
1 2
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0.

1
a) Obliczyć "hf (0), gdzie h = .
2
b) Sprawdzić, czy istnieje f (0).
10
3.15. Niech f : R2 R będzie funkcją określoną wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚ 2x3 - x2
òÅ‚ 1 2
dla x = 0,

f (x) =
x2 + x2
1 2
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0.

1
a) Obliczyć "hf (0), gdzie h = .
-1
b) Sprawdzić, czy istnieje f (0).
3.16. Niech f : R2 R będzie funkcją określoną wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚ x2 + 3x2
òÅ‚ 1 2
dla x = 0,

f (x) =
x2 + x2
1 2
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0.

-1
a) Obliczyć "hf (0), gdzie h = .
1
b) Sprawdzić, czy istnieje f (0).
3.17. Wyznaczyć równanie hiperpłaszczyzny stycznej w punkcie x0 do wykresu funkcji f,
jeśli:

1
a) f (x) = 3x2 + 2x1x2, x0 = ;
1
-1

1
b) f (x) = x1 sin x2 - x1x2, x0 = ;
Ä„
T
x1
c) f (x) = , x0 = 2 1 1 ;
x2 + x3
T
2
2 3
d) f (x) = x1e-x +x2, x0 = 1 1 1 ;
T
x2
e) f (x) = x1 arc tg , x0 = 1 1 -1 .
x3
x2 x2
1 2
3.18. Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy + = 1 w dowolnym punkcie x(0) należącym
a2 b2
do tej elipsy.
1 1
3.19. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni + = x3 w punkcie
x2 x2
1 2
T
x0 = 1 1 2 .
3.20. Sprawdzić, czy h jest wektorem wzrostu (spadku) wartości funkcji f w punkcie x0,
jeśli:

0 1 1
a) f (x) = x3 - x2, x0 = , h(1) = , h(2) = ;
1
0 1 -1

1 2 1
b) f (x) = x1x2, x0 = , h(1) = , h(2) = ;
1 1 -1

0 1 -1
c) f (x) = ln (1 + x1 + x2), x0 = , h(1) = , h(2) = ;
0 1 -1

2 1 1 -1
1 2
d) f (x) = e-x -x2, x0 = , h(1) = , h(2) = .
0 1 -1
11
3.3 Lokalna odwracalność odwzorowań

x1x2
3.21. Niech F : R2 R2, F (x) = . Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w
x2 + x2
1 2

1
punkcie x0 = . Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y0 = F (x0).
0
Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne.

x4 - x3
1 2
3.22. Niech F : R2 R2, F (x) = . Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w
2x2 - 5x2
1 2

1
punkcie x0 = . Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y0 = F (x0).
1
Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne.
îÅ‚ Å‚Å‚
x1x2 + x2x3
ïÅ‚
3.23. Niech F : R3 R3, F (x) = x1 - x2 śł. Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne
ðÅ‚ ûÅ‚
x1 + x2 + x3
T
w punkcie x0 = 1 1 1 . Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie
y0 = F (x0). Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne.

1
ex cos x2
3.24. Wykazać, że odwzorowanie F : R2 R2, F (x) = jest lokalnie odwracalne
1
ex sin x2
w każdym punkcie x " R2. Sprawdzić, czy F jest globalnie odracalne.
3.25. Niech F : D R2, gdzie D = {x " R2 : x1 + x2 > 0}, będzie odwzorowaniem określo-
nym wzorem

ln (x1 + x2)
F (x) = .
x1 - x2
a) Sprawdzić, czy odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie x " D.
b) Sprawdzić, czy F : D F (D) jest bijekcją.
3.26. Niech F : R2 R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem

exp (x1 + x2)
F (x) =
x1 - x2
a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie x " R2.
b) Sprawdzić, czy F : R2 F (R2) jest bijekcją.
3.27. Niech F : R2 R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem

x1 sin x2
F (x) =
x1 - x2

1
a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w punkcie x0 = .
Ä„

b) Wyznaczyć (F |U )-1 (y0) , gdzie y0 = F (x0), a U jest takim otoczeniem punktu x0,
że F |U : U F (U) jest bijekcją.
12
3.28. Niech F : R2 R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem

x1 + x2
F (x) =
x1 cos x2

1
a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w punkcie x0 = .
1
Ä„
2

b) Wyznaczyć (F |U )-1 (y0) , gdzie y0 = F (x0), a U jest takim otoczeniem punktu x0,
że F |U : U F (U) jest bijekcją.
3.29. Zbadać lokalną i globalną odwracalność odwzorowań:

3x1 - 2x2
a) F : R2 R2, F (x) = ;
x1 + 4x2

x2 + x2
1 2
b) F : R2 R2, F (x) = ;
x1 + x2

x1 + x2
2
c) F : R2 R2, F (x) = ;
x2 + x2
1

x1 sin (x1x2)
d) F : R2 R2, F (x) = ;
x1 cos x2

exp (3x1 - x2)
e) F : R2 R2, F (x) = ;
x1 - 2x2

x1 + 3x2
f) F : R2 R2, F (x) = .
exp (x1 - 2x2)

x1
3.30. WspółrzÄ™dnymi biegunowymi punktu x = " R2 nazywamy liczby Õ " 0, 2Ä„),
x2
r " 0, +") takie, że x1 = r cos Õ, x2 = r sin Õ. Wyznaczyć jakobian (w punktach, w
których istnieje) odwzorowania odwrotnego do odwzorowania F : 0, 2Ä„) × 0, +") R2,

r r cos Õ
F = .
Õ r sin Õ
1
3.31. Korzystając ze wzoru (f-1 (y0)) = wykazać, że:
f (x0)
1 1 1
" "
a) (arc sin x) = , b) (arc cos x) = - , c) (arcctgx) = - .
1+x2
1-x2 1-x2
3.4 Odwzorowania uwikłane
3.32. Wyznaczyć pochodną funkcji uwikłanej y = g (x) w punkcie x0 określonej warunkami:
a) x3 - 2xy + 3y2 - 2x = 0, x0 = 1;
b) x3 + y3 + y = 0, x0 = 0.
c) xy = yx, g (1) = 1;
3.33. Obliczyć pochodną w punkcie x = 0 funkcji uwikłanej y = g (x) określonej równaniem
arc tg (xy) + x + y = 0.
3.34. Obliczyć pochodną w punkcie x = 0 funkcji uwikłanych y = g (x) określonych równa-
niem arc tg (xy) + x + 1 + y2 = 0.
13
3.35. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji uwikłanej y = g (x1, x2) określonej warunkami:
a) ey + y - x1 - x2 = 0, g (1, 0) = 0;
b) x2 + x2 + y2 + 6y = 0, g (0, 0) = -6;
1 2
x1x2
c) y ln (x1 + y) - = 0, g (0, 0) = 1.
y
3.36. Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie
y2 - y + x1 + 2x2 - 1 = 0
gdzie x1 = 1, x2 = 0, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x1, x2) określone w
pewnym otoczeniu punktu (1, 0). Wyznaczyć g (1, 0).
3.37. Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie
2
y - y2 + ex + 2x1y - 3 = 0
gdzie x1 = 1, x2 = 0, generuje różniczkowalną funkcję uwikłaną y = g (x1, x2) określoną w
pewnym otoczeniu punktu (1, 0). Wyznaczyć g (1, 0).
3.38. Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie
2x3 - cos (x1 + x2 - 1) + tg2(y + x2) = 0,
1
gdzie x1 = 1, x2 = 0, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x1, x2) określone w
pewnym otoczeniu punktu (1, 0). Wyznaczyć g (1, 0).
3.39. Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie
3x3 + sin (x2) + tg2(y + x2) = 0,
1
gdzie x1 = -1, x2 = 0, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x1, x2). Wyznaczyć
g (-1, 0).
3.40. Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie

3 (x1 + x2)3 + x2y + y2 + x2 = 0,
gdzie x1 = -1, x2 = 0, generuje różniczkowalną funkcję uwikłaną y = g (x1, x2). Wyznaczyć
g (-1, 0).
3.41. Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x1, x2) okre-
ślonych równaniem
2
3x3 + e-2x + ln2 y + 1 = 0,
1
gdzie x1 = -1, x2 = 0.
3.42. Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x1, x2) okre-
ślonych równaniem
1
e-3x + 4x2 + ln2 y - 6 = 0,
2
gdzie x1 = 0, x2 = -1.
14
3.43. Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x1, x2) okre-
ślonych równaniem
2x3 + sin (x2y) + tg2 (y + x2) = 0,
1
gdzie x1 = -1, x2 = 0.
3.44. Wykazać, że w pewnym otoczeniu punktu x0 istnieje odwzorowanie uwikłane y = G (x)
wyznaczone przez układ równań F (x, y) = 0 i spełniające warunek y0 = G (x0) oraz obliczyć
G (x0), jeśli:

x + y1 + y2 1
a) F (x, y) = , x0 = 0, y0 = ;
3 4
x2 + y1 + y2 - 2 -1

x1y1 - x2y2 1
b) F (x, y) = , x0 = , a y0 należy wyznaczyć z układu F (x0, y0) =
x1y1 + x2y2 - 2 1
0;

1
Ä„
x1 cos y1 + x2 sin y2 - 1
2
c) F (x, y) = , y0 = , a x0 należy wyznaczyć z układu
1
x1y1 - x2y2
Ä„
2
F (x0, y0) = 0.
4 Elementy teorii miary i całki
4.1 Elementy teorii miary
4.1. Udowodnić, że jeÅ›li B ‚" 2X jest algebrÄ…, to:
a) " " B,
b) A1, A2, ..., Ak " B Ò! A1 *" A2 *" ... *" Ak " B dla każdego k " N,
c) A, B " B Ò! A )" B " B,
d) A, B " B Ò! A - B " B.
4.2. Udowodnić, że jeÅ›li A ‚" 2X jest Ã-algebrÄ…, to:
a) A jest algebrÄ…,
"

b) An " A Ò! An " A.
n"N n=1
4.3. Sprawdzić, czy rodzina B ‚" 2X jest algebrÄ…, Ã-algebrÄ…, jeÅ›li:
a) X = {x1, x2, x3, x4}, B = {", X, {x1} , {x2, x3} {x2, x3, x4}} ;
"

b) X = R, B składa się ze zbiorów postaci (kn, ln , gdzie kn, ln " C, i ich dopełnień
n=1
(jeśli kn ln, to (kn, ln = ");4
"

c) X = R, B składa się ze zbiorów postaci (am, bm , gdzie am, bm " W, i ich dopełnień
m=1
(jeśli am bm, to (am, bm = ");5
d) X = R, a B jest określona warunkiem
A " B Ô! A jest zbiorem otwartym lub A jest zbiorem otwartym.
e) X = R, a B jest określona warunkiem
A " B Ô! A jest zbiorem ograniczonym lub A jest zbiorem ograniczonym.
4
C oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych.
5
W oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych.
15
f) X = N, a B jest określona warunkami ", N " B oraz jeśli A " B i A = ", A = N, to A

składa się z liczb parzystych lub A składa się z liczb parzystych.
g) X = R, a B jest określona warunkiem
A " B Ô! ( 0, 1 ‚" A) (" ( 0, 1 ‚" A ) .
h) X = R, a B jest określona warunkiem
A " B Ô! ( -1, 1 )" A = ") (" ( -1, 1 )" A = ") .

i) X = R, a B jest określona warunkiem
A " B Ô! (5 " A) (" (5 " A ) ,
j) X = R, a B jest określona warunkiem
A " B Ô! (A ‚" N) (" (A ‚" N) .
4.4. Niech ½ : 2N R bÄ™dzie funkcjÄ… numerycznÄ… okreÅ›lonÄ… wzorem
Å„Å‚
k

1
òÅ‚
, jeśli A jest zbiorem skończonym,
2
½ (A) =
k"A
ół
", jeśli A jest zbiorem nieskończonym.
a) Obliczyć ½ (A), gdzie A jest zbiorem wszystkich liczb parzystych mniejszych od 100.
b) Obliczyć ½ (B), gdzie B jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez przez 3.
c) Wykazać, że ½ (A1 *" A2) = ½ (A1) + ½ (A2) jeÅ›li A1 )" A2 = ".
d) Wykazać, że ½ nie jest miarÄ….
4.5. Niech µ : 2N R bÄ™dzie miarÄ… liczÄ…cÄ…. Wykazać, że µ jest półskoÅ„czona.
4.6. Niech µ : 2R R bÄ™dzie miarÄ… liczÄ…cÄ…. Wykazać, że µ nie jest półskoÅ„czona.
4.7. Wykazać, że jeÅ›li X jest zbiorem skoÅ„czonym, µ : 2X R jest miarÄ… liczÄ…cÄ…, to funkcja
µ(A)
½ : 2X R okreÅ›lona wzorem ½ (A) = jest miarÄ… probabilistycznÄ….
µ(X)
4.8. Niech µ : 2R R bÄ™dzie funkcjÄ… okreÅ›lonÄ… wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚
0, jeśli 1 " A '" 2 " A,
/ /
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
òÅ‚
, jeśli 1 " A '" 2 " A,
/
3
µ (A) =
2
ôÅ‚
/
ôÅ‚ , jeÅ›li 1 " A '" 2 " A,
ôÅ‚
3
ôÅ‚
ół
1, jeśli 1 " A '" 2 " A.
Wykazać, że µ jest miarÄ… probabilistycznÄ….
4.9. Wykazać, że jeÅ›li µ1 : A R, µ2 : A R sÄ… miarami (odpowiednio skoÅ„czonymi lub
półskoÅ„czonymi), to funkcja µ : A R okreÅ›lona wzorem µ (A) = Ä…1µ1 (A) +2 µ2 (A), gdzie
ą1 > 0, ą2 > 0, jest miarą (odpowiednio skończoną, lub półskończoną).
4.10. Niech B będzie algebrą podzbiorów zbioru R generowaną przez przedziały (k, k + 1 ,
gdzie k " C, a · : B R takÄ… premiarÄ…, że · ((k, k + 1 ) = 1.

5

a) Obliczyć · ((3, 5 *" (4, 7 ) , · (k, k + 2 ;
k=1

3
b) Obliczyć miarÄ™ zewnÄ™trznÄ… ·" ((-1, 2)), ·" 1, *" 2, 3 .
2
16

1 1
4.11. Niech B będzie algebrą podzbiorów zbioru R generowaną przez przedziały k, (k + 1) ,
2 2
gdzie k " C, a · : B R takÄ… premiarÄ…, że

1 1 1
· k, (k + 1) = .
2 2 2


5

5 3
a) Obliczyć · -3, -1 *" 0, , · k, k + ;
2 2 2
k=1

3
b) Obliczyć miarÄ™ zewnÄ™trznÄ… ·" ((-1, 2)), ·" 1, *" 2, 3 .
2
4.12. Wykazać, że przedziały (a, b , a, b , a, b), (a, b), gdzie a, b " R, są zbiorami mierzal-
nymi w sensie Lebesgue a. Wskazówka. Wykazać, że podane przedziaÅ‚y należą do Ã-algebry
zbiorów borelowskich.
4.13. Wykazać, że każdy zbiór przeliczalny A ‚" Rk jest mierzalny w sensie Lebesgue a.
Obliczyć k (A).
4.14. Niech A = {(x1, x2) " R2 : x1 = x2}. Wykazać, że 2 (A) = 0. Wskazówka. Przedstawić
"

zbiór A w postaci A = An, gdzie
n=1

An = (x1, x2) " R2 : -n < x1 n '" x1 = x2 .
Pokazać, że (·2)" (An) < µ dla każdego µ > 0, gdzie n " N.
4.2 Całka Lebesgue a
4.15. Niech A " A, f : A R. Wykazać, że następujące warunki są równoważne:

a) {x " A : f (x) b} " A;
b"R

b) {x " A : f (x) < b} " A;
b"R

c) {x " A : f (x) a} " A;
a"R

d) {x " A : f (x) > a} " A;
a"R

e) {x " A : a f (x) b} " A.
a,b"R
4.16. Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ…. Wykazać, że relacja
f <" g Ô! µ ({x " X : f (x) = g (x)}) = 0

jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich funkcji mierzalnych f : X R.

4.17. Wykazać, że dµ (x) = µ (A).
A
4.18. Obliczyć całkę funkcji prostej s (x) na przedziale a, b względem miary Lebesgue a 1,
jeśli:
a) a, b = -1, 3 , s (x) = 2Ç -1,0 + 3Ç 2,3 ;
b) a, b = -2, 3 , s (x) = 4Ç -2,-1 + 3Ç(-1,0) + 5Ç 0,2 ;
c) a, b = -1, 3 , s (x) = s1 (x)+s2 (x), gdzie s1 (x) = 2Ç -1,0 +3Ç 2,3 , s2 (x) = 4Ç -2,-1 +
3Ç(-1,0) + 5Ç 0,2 .
17
4.19. Niech A = 2N, µ : A R bÄ™dzie miarÄ… liczÄ…cÄ…. Wykazać, że:
a) każda funkcja f : N R jest mierzalna,
b) funkcja f : N R jest caÅ‚kowalna w sensie Lebesgue a wzglÄ™dem miary µ wtedy i tylko
"

wtedy, gdy szereg f (n) jest zbieżny bezwzględnie.
n=1
"


c) f (n) dµ (n) = f (n).
n=1
N

4.20. Niech X, 2X, ´x bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ…, gdzie ´x jest deltÄ… Diraca. Wykazać,
0 0
że:
a) każda funkcja f : X R jest mierzalna,

b) f (x) d´x (x) = f (x0).
0
´x0
4.21. Niech f : 0, 1 R, f (x) = x3.
a) Wykazać, że f jest funkcją mierzalną.
b) Skonstruować taki ciąg (sn) funkcji prostych, że sn f.

c) Obliczyć z definicji całkę Lebesgue a f (x) d1 (x). Wskazówka. Skorzystać ze wzoru
0,1
2
n

1
j3 = n (n + 1) .
2
j=1
4.22. Korzystając z twierdzeń o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, obliczyć:
" " " "

arc tg(nx)
x 1
a) lim dx, b) lim dx, c) lim x2e-nxdx, d) dx.
nx+x3 1+x2 ln(nx)+x2
n" n" n"
1 0 0 1
4.3 Całka Lebesgue a względem miary k-wymiarowej Lebesgue a
4.23. Obliczyć całki:


a) 1 - x2 - x2dx1dx2, gdzie K = {(x1, x2) : x2 + x2 1} ;
1 2 1 2
K

b) exp (-x2 - x2) dx1dx2;
1 2
R2

c) (1 + x2 + x2)-2 dx1dx2;
1 2
R2

d) (x2 + x2) exp (-x2 - x2) dx1dx2, gdzie A = 0, ") × 0, ").
1 2 1 2
A

e) exp (-x2 - x2 - x3) dx1dx2dx3, wsk. zastosować współrzędne sferyczne
1 2 2
R3
x1 = r cos Ä… cos ², x2 = r sin Ä… cos ², x3 = r sin ².
4.24. Korzystając z podpunku b) zadania 4.23 wykazać, że:
" " "
"
" "
2 2 1
1
2
a) e-x dx = Ä„, b) e-x dx = Ä„, c) e- x2dx = 2Ä„.
2
-" 0 -"
4.25. Obliczyć miary Lebesgue a zbiorów:
a) K = {(x1, x2, x3) : x2 + x2 + x2 1} ;
1 2 3
b) A = {(x1, x2, x3) : x2 + x2 1 '" 0 x3 3}, wsk. zastosować współrzędne walcowe
1 2
x1 = r cos Õ, x2 = r sin Õ, x3 = x3;
c) A = {(x1, x2, x3) : x1 0 '" x2 0 '" x3 0 '" x1 + x2 + x3 2}.
18