Zastosowania ca podwójnej
lki
I. geometryczne
1. pole obszaru p zawartego w p
laskiego laszczyz
nie OXY
| D |= dxdy
D
2. objetość bry ograniczonej od góry przez powierzchnie z = f(x, y), a od
ly
do przez z = g(x, y)
lu
| V |= [f(x, y) - g(x, y)] dxdy
D
gdzie D jest rzutem cześci wspólnej obu powierzchni, na p
laszczyzne OXY
3. pole p powierzchniowego S = {(x, y, z) : z = f(x, y) '" (x, y) " D}
lata
2 2
"f "f
| S |= 1 + (x, y) + (x, y) dxdy
"x "y
D
II. fizyczne
1. masa obszaru p D �" R2 o gestości powierzchniowej (x, y)
laskiego
m = (x, y) dxdy
D
2. momenty statyczne obszaru p D �" R2 o gestości powierzchniowej
laskiego
(x, y) wzgledem
" osi OX : Mx = y (x, y) dxdy
D
" osi OY : My = x (x, y) dxdy
D
3. momenty bezw laskiego
ladności obszaru p D �" R2 o gestości powierzch-
niowej (x, y) wzgledem
" osi OX : Ix = y2 (x, y) dxdy
D
1
" osi OY : Iy = x2 (x, y) dxdy
D
" punktu (0, 0) : IO = (x2 + y2) (x, y) dxdy
D
4. wspó środka cieżkości obszaru p D �" R2 o gestości powierzch-
lrzedne laskiego
niowej (x, y)
My Mx
x0 = y0 =
m m
Zastosowania ca potrójnej
lki
I. geometryczne
1. objetość obszaru V �" R3
| V |= dxdydz
V
II. fizyczne
1. masa obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z)
m = (x, y, z) dxdydz
V
2. momenty statyczne obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z) wzgledem
" p
laszczyzny OXY : Mxy = z (x, y, z) dxdydz
V
" p
laszczyzny OXZ : Mxz = y (x, y, z) dxdydz
V
" p
laszczyzny OY Z : Myz = x (x, y, z) dxdydz
V
2
" osi OX : Mx = x2 + y2 (x, y, z) dxdydz
V
" osi OY : My = x2 + z2 (x, y, z) dxdydz
V
" osi OZ : Mz = x2 + y2 (x, y, z) dxdydz
V
3. momenty bezw obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z) wzgledem
ladności
" p
laszczyzny OXY : Ixy = z2 (x, y, z) dxdydz
V
" p
laszczyzny OXZ : Ixz = y2 (x, y, z) dxdydz
V
" p
laszczyzny OY Z : Iyz = x2 (x, y, z) dxdydz
V
" osi OX : Ix = (x2 + y2) (x, y, z) dxdydz
V
" osi OY : Iy = (x2 + z2) (x, y, z) dxdydz
V
" osi OZ : Iz = (x2 + y2) (x, y, z) dxdydz
V
" punktu (0, 0, 0) : IO = (x2 + y2 + z2) (x, y, z) dxdydz
V
4. wspó środka cieżkości obszaru V �" R3 o gestości (x, y, z)
lrzedne
Myz Mxz Mxy
x0 = y0 = z0 =
m m m
Zastosowania ca krzywoliniowej skierowanej
lki
I. geometryczne
3
1. pole obszaru p
laskiego, którego brzegiem jest krzywa K
1
| D |= xdy - ydx
2
K
II. fizyczne

2. praca si F = [P (x, y), Q(x, y)] wzd luku AB
ly luż
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
AB
Zastosowania ca krzywoliniowej nieskierowanej
lki
I. geometryczne
1. d luku L dl
lugość
L
2. pole powierzchni walcowej z = f(x, y), (x, y) " L f(x, y) dl
L
II. fizyczne
1. masa luku L (x, y) dl

L
2. momenty statyczne luku L o gestości (x, y) wzgledem

" osiOX : y (x, y) dl
L
" osiOY : x (x, y) dl
L
4
3. momenty bezw luku L o gestości (x, y) wzgledem
ladności
" osiOX : y2 (x, y) dl
L
" osiOY : x2 (x, y) dl
L
Zastosowania ca powierzchniowej niezorientowanej
lki
1. masa g lata
ladkiego p powierzchniowego S o gestości (x, y, z)
m = (x, y, z) dS
S
2. momenty statyczne g p powierzchniowego S o gestości (x, y, z)
ladkiego lata
wzgledem
" p
laszczyzny OXY : Mxy = z (x, y, z) dS
S
" p
laszczyzny OXZ : Mxz = y (x, y, z) dS
S
" p
laszczyzny OY Z : Myz = x (x, y, z) dS
S
" osi OX : Mx = y2 + z2 (x, y, z) dS
S
" osi OY : My = x2 + z2 (x, y, z) dS
S
" osi OZ : Mz = x2 + y2 (x, y, z) dS
S
" punktu (0, 0, 0) : M0 = x2 + y2 + z2 (x, y, z) dS
S
5
3. momenty bezw ladkiego p powierzchniowego S o gestości
ladności g lata
(x, y, z) wzgledem
" p
laszczyzny OXY : Bxy = z2 (x, y, z) dS
S
" p
laszczyzny OXZ : Bxz = y2 (x, y, z) dS
S
" p
laszczyzny OY Z : Byz = x2 (x, y, z) dS
S
" osi OX : Bx = (y2 + z2) (x, y, z) dS
S
" osi OY : By = (x2 + z2) (x, y, z) dS
S
" osi OZ : Bz = (x2 + y2) (x, y, z) dS
S
4. wspó środka cieżkości g p powierzchniowego S o gestości
lrzedne ladkiego lata
(x, y, z)
Myz Mxz Mxy
x0 = , y0 = , z0 =
m m m
Zastosowania ca powierzchniowej zorientowanej
lki
I. geometryczne
1. objetość obszaru ograniczonego zamknieta zorientowana na zewnatrz powierzchnia
V
1
| V |= x dydz + y dzdx + z dxdy
3
V
II. fizyczne

1. strumień pola wektorowego F (x, y, z)= [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] przez
powierzchnie zorientowanego p powierzchniowego S
lata
P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy
S
6