Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 11  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna
Z definicji całki Riemanna widać, że istotną rolę odgrywa uporządkowanie prostej R ( przy tworzeniu
podziału P). Jeżeli zmienimy uporządkowanie prostej , to sumy całkowe zmieniają znak, bo zmieniają
znak różnice xk-xk-1 . Przyjmiemy więc dla aa b
df
f (x)dx = - f (x)dx .
+" +"
b a
a
Stąd w szczególności f (x)dx = 0 .
+"
a
Całkowanie a różniczkowanie
Tw. Niech f"![a,b] i niech a d" x d" b . Wówczas
x
a) funkcja F(x) = f (t)dt jest ciągła na [a,b].
+"
a
b) jeśli f jest ciągła w punkcie x0"[a,b] , to F jest różniczkowalna w punkcie x0 i F (x0)=f(x0).
Dow. a) Niech x"[a,b]. Wybieramy dowolne h takie, że x+h"[a,b]
x+h x x x+h x x+h
F(x + h) - F(x) = f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt (")
+" +" +" +" +" +"
a a a x a x
f " R[a,b] �! f jest ograniczona na [a,b] �! "M "t"[a,b] f (t) d" M ("")
max{x,x+h}
Z (") i ("") | F(x + h) - F(x) | d" f (t) | dt d" M | h | �! ciągłość
+"|
min{x,x+h}
Dow. b) Niech x0"[a,b] - punkt ciągłości funkcji f. Wybieramy dowolne h takie, że
x0+h"[a,b]. Wówczas
x0 +h x0 +h
F(x0 + h) - F(x0 ) 1 1
- f (x0 ) = f (t)dt - f (x0 ) = f (t) - f (x0 ))dt =
+" +"(
h h h
x0 x0
x0 +h max{x0 ,x0 +h}
1 1
= f (t) - f (x0 ) dt
+"( f (t) - f (x0 ))dt d" h +"
h
x0 min{x0 ,x0 +h}
f jest ciągła w punkcie x0 �! "� >0"� >0"t"[a,b] t - x0 d" � �! f (t) - f (x0 ) d" � . Stąd
F(x0 + h) - F(x0 ) 1
| h |< � �! - f (x0 ) d" � h = � , co implikuje
h h
F(x0 + h) - F(x0 )
2
F (x0 ) = lim = f (x0 )
h0
h
x
Wniosek. Jeżeli f"C[a,b], to F(x) = f (t)dt jest funkcją pierwotną funkcji f na [a,b] i F(a)=0.
+"
a
Tw. (Newtona-Leibniza) Jeżeli f"![a,b] i istnieje funkcja F różniczkowalna na [a,b] taka, że
b
2
"x"[a,b] F (x) = f (x) , to f (x)dx = F(b) - F(a) .
+"
a
1
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 11  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Dow. Dla podziału P = {x0 , x1,..., xn} wybieramy punkty pośrednie �k "[xk -1, xk ] tak, aby
F(xk ) - F(xk -1) = f (�k )(xk - xk -1) (z tw. Lagrange a dla F wynika, że jest to możliwe).
Wówczas
n n
f (�k )(xk - xk -1) = )) = F(b) - F(a)
k
" "(F(x ) - F(xk -1
k =1 k =1
(wszystkie wyrazy sumy z wyjątkiem F(a) i F(b) ulegną redukcji).
b
n
Wobec założonej całkowalności f , jeżeli dP 0 , to f (�k )(xk - xk -1) f (x)dx .
"
+"
k =1
a
b
Stąd f (x)dx = F(b) - F(a) .
+"
a
Tw. (całkowe o wartości średniej)
b
Jeżeli funkcja f jest ciągła na [a,b], �! " c"(a,b): f (x)dx = f (c)(b - a)
+"
a
x
Dow. F(x) = f (t)dt jest funkcją pierwotną funkcji f na [a,b]. Wobec tego F(x) - różniczkowalna
+"
a
na [a,b], czyli również ciągła na [a,b], czyli F spełnia zał. tw. Lagrange a , więc "c"(a,b):
F(b)-F(a)=F  (c)(b-a)=f(c) (b-a).
b
f ( x)dx
+"
a
Jeżeli f"![a,b] to liczbę � = nazywamy wartością średnią funkcji f na przedziale [a,b].
b-a
Jeżeli f jest ciągła, to "c"(a,b) : � = f (c)
Tw. (o całkowaniu przez części dla całki oznaczonej)
Jeżeli
" f i g są różniczkowalne na [a,b],
2 2
" f , g "![a,b]
b b b
b
2 2 2
to f (x)g(x)dx = [f (x)g(x)] - f (x)g (x)dx = { f (b)g(b) - f (a)g(a)} - f (x)g (x)dx
+" a +" +"
a a a
Dowód. A
atwo zauważyć, że funkcje f g i f  g "![a,b]. Ze woru (fg) = fg + f  g i tw. Newtona 
b
Leibniza mamy f g + fg )dx = f (b)g(b) - f (a)g(a) , stąd teza.
+"( 2 2
a
Tw. (o całkowaniu przez podstawienie całki oznaczonej)
�ł
� "C[1
ą ,� ]
b �
�ł
�ł
2
a) �(ą) = a , �(� ) = � �! f (x)dx = f (�(t))� (t)dt
żł
+" +"
ą
f jest cg. na {x : x = �(t) t "[ą, � ]}�ł a
�ł
�ł
�ł
h"C[1a,b]
b B
�ł
�ł
2
b) h(a) = A, h(b) = B �! g(h(x))h (x)dx = g(y)dy
żł
+" +"
A
g jest cg. na {y : y = h(x) x "[a, b]}�ł a
�ł
�ł
Dow. (a).Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na [a,b]. Wówczas F(�(t)) jest funkcją
2
pierwotną funkcji f (�(t))� (t) na [ą,�]. (z tw. o różniczkowaniu funkcji złożonej). Stąd
� b
2
f (�(t))� (t)dt = F(�(� )) - F(�(ą )) = F(b) - F(a) = f (x)dx
+" +"
ą a
2
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 11  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Zastosowanie całki Riemanna
Zastosowania geometryczne całek
I. Pole trapezu krzywoliniowego
{ (x, y) : a d" x d" b f1(x) d" y d" f2 (x) , f1 d" f2 na [a,b], f1, f2 - ciągłe na [a,b]
b
P = f2 (x) - f1(x))dx
+"(
a
II. Długość łuku krzywej
r r
Niech r :t "[ą, � ] r (t) = (x(t), y(t), z(t))" R3 będzie funkcją wektorową określoną na [ą, � ] .
W daną krzywą wpisujemy łamaną i bierzemy kres górny długości łamanych. Jeżeli będzie on
skończony, to krzywą nazywamy prostowalną.
r
r
Tw. Jeżeli r "C[1 ,� ] to krzywa K :{r (t) t "[ą, � ]} jest prostowalna (ma długość) i
ą
�
2 2 2
2 2 2
l = (x (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt
+"
ą
Szkic dowodu.
n n
Długość łamanej= rk - rk -1 |= (x(tk ) - x(tk -1))2 + ( y(tk ) - y(tk -1))2 + (z(tk ) - z(tk -1))2 =
"| r r "
k =1 k =1
n
={ 3 razy tw. Lagrange a}= [x'(�k )]2 + [y'(�k )]2 + [z'(� )]2 (tk - tk -1) ={przejście graniczne}�!
" k
k =1
teza.
b
'
Przypadek szczególny : Jeżeli K={(x, f(x) : x" [a,b] , f" C[1 , to l = 1+ ( f (x))2 dx
a,b]
+"
a
III. Objętość bryły
Niech S(x), a d" x d" b oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzna prostopadłą do osi OX w
punkcie x i niech funkcja S(x) będzie ciągła na przedziale [a,b].
b
Wtedy V =
+"S(x)dx
a
b
2
W szczególności dla bryły obrotowej: V = Ą f (x)dx
+"
a
3
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 11  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
IV. Pole powierzchni bryły obrotowej
Pole powierzchni bryły obrotowej aproksymujemy sumą pól powierzchni stożków ściętych
zakreślonych przez łamaną wpisaną w daną krzywą.
b
2
2
P = 2Ą f (x) | 1+ ( f (x)) dx
+"|
a
Zastosowania fizyczne całek
V. Droga przebyta w ruchu zmiennym
Niech punkt materialny porusza się po płaszczyz
nie lub w przestrzeni ze zmienną prędkością
r r
2 2
v(t) = (vx (t),vy (t), vz (t)) . Oznaczmy v(t) =| v(t) |= vx (t) + v2 (t) + vz (t) .
y
Droga przebyta przez punkt w przedziale czasowym [t1,t2] wyraża się wzorem
t2
t2 t2 t2 t2
r r
L =
x y z
+"v(t)dt = [+"v (t)dt, +"v (t)dt,+"v (t)dt]
+"v(t)dt a przemieszczenie r =
t1 t1 t1 t1
t1
VI. Praca wykonana przez zmienną siłę działającą wzdłuż prostej
r
Załóżmy, że równolegle do osi OX działa zmienna siła F(x) =| F(x) | .
Praca wykonana przez tę siłę od punktu x=a do punktu x=b wyraża się wzorem
b
W = F(x)dx .
+"
a
VII. Masa odcinka materialnego
Załóżmy że odcinek [a,b] obdarzony jest masą o gęstości liniowej �(x) . Wówczas jego masa wyraża
się wzorem
b
m = �(x)dx .
+"
a
4