ZASTOSOWANIE CAA
EK PODWÓJNYCH W GEOMETRII
1. Pole obszaru regularnego
D �� R2,
Jeśli funkcja f jest stale równa 1 w obszarze regularnym to
����dxdy =� D -pole obszaru D.
D
2. Objętość bryły
Niech D - obszar regularny �� R2,
f , g ��C(�D)�, tzn f , g-funkcje ciagłe na obszarze D
oraz f ł� g.
Rozważmy bryłę ograniczoną wykresami funkcji:
z =� f (x, y)
z =� g(x, y)
dla (x, y) �� D.
z
z=f(x,y)
V
y=g(x,y)
y
D
x
V
3. Wtedy objętość tej bryły jest całką podwójną z różnicy funkcji f i g w obszarze D,
V =� f (�x, y)�-� g(�x, y)�)�dxdy.
����(�
D
3. Pole płata powierzchniowego
Niech D  obszar regularny w
R2,
f ��C1(D),
S -zbiór punktów wykresu funkcji f ,
S =� {�(�x, y, z)�: z =� f (�x, y)�; (�x, y)��� D}�
zbiór ten nazywamy płatem powierzchniowym.
1
z
z=f(x,y)
S
y
D
x
S
Wtedy pole płata powierzchniowego S wynosi
2
2
ć� ��
ś�f ś�f
ć� ��
S =� 1+� +� �� �� dxdy.
�� ��
���� �� ��
ś�x ś�y
Ł� ł�
Ł� ł�
D
opracował Marcin Uszko
2