NOWOCZESNE ZASTOSOWANIA GEOMETRII FRAKTALNEJ
WA
ADYSA
AW HOFFMANN
MAREK MIKOA
AJCZYK
Uniwersytet Szczeci ski
Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarz dzania
Instytut Informatyki w Zarz dzaniu
Streszczenie
Teoria Chaosu i geometria fraktalna to nowe poj cia w nauce, jednak szybko
zyskały do du e zainteresowanie. Metody korzystaj ce z wła ciwo ci fraktali
okazały si cz sto bardzo przydatne w wielu dziedzinach ycia: do kompresji obrazu,
generowania obiektów wygl daj cych naturalnie, a nawet w ekonomii. W artykule
pokrótce przedstawiono podstawy geometrii fraktalnej i przedstawiono jej
praktyczne zastosowania.
1. Fraktale  definicja i cechy charakterystyczne
W przyrodzie obiekty fraktalne wyst puj bardzo cz sto  wystarczy spojrze na li cie,
naczynia krwiono ne, ła cuchy górskie, lini brzegow , chmury itp., Czym jednak jest fraktal?
Twórca teorii fraktali Benoit Mandelbrot twierdził, e fraktalem jest wszystko, natomiast figury
typu prostok t, koło, trójk t s sztucznie wymy lone przez ludzi w celu uproszczenia opisu
otaczaj cego nas wiata. Sugerował, e figury takie nie maj odpowiedników w rzeczywisto ci.
Niestety taka definicja jest zdecydowanie za mało precyzyjna, wi c warto przytoczy
dokładniejsz , zawart w pracy prof. Kudrewicza  Fraktale i chaos :
"Fraktalem na płaszczy nie nazywamy dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X ".
Nale y równie doda , e istnieje kilka cech, które musz by spełnione, aby dany obiekt
zdefiniowa jako fraktal. Mandelbrot w swojej pracy napisał, e fraktale to zbiory płaskie,
charakteryzuj ce si :
- niecałkowitym wymiarem fraktalnym (ich wymiar nie jest liczb całkowit ),
- cech samopodobie stwa,
- nie s okre lone wzorem matematycznym, tylko zale no ci rekurencyjn .
W tej definicji kryj si dwa poj cia, które nale y wyja ni . Przede wszystkim wymiar  z
elementarnego kursu matematyki wiadomo, e wymiar punktu jest równy zeru, prostej  jeden,
płaszczyzny dwa a przestrzeni trzy. Je li jednak rozpatrywana jest łamana na płaszczy nie, to jaki
jest jej wymiar? Intuicyjnie mo na stwierdzi , e wi kszy ni jeden, jednak z pewno ci nie
tworzy płaszczyzny dwuwymiarowej. Na lekcjach geometrii uczniowie ucz si rozró nia
obiekty jednowymiarowe, (odcinek), dwuwymiarowe (koło, kwadrat) od trójwymiarowych
(sze cian). Wiadomo równie , e je li długo wszystkich cian pokoju zostanie zwi kszona
dwukrotnie, to za parkiet trzeba b dzie zapłaci cztery razy wi cej. Je li natomiast rozmiar
odcinka wydrukowanego na papierze zostanie zwi kszony trzykrotnie, to ilo potrzebnego tuszu
do narysowania tak powi kszonego odcinka te wzro nie trzykrotnie. T intuicyjnie zrozumiał
własno mo na wykorzysta do zdefiniowania wymiaru fraktalnego:
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ 31
Seria: Studia i Materiały, nr2, 2004
ln N (P)
D = lim (1)
P "
ln P
gdzie P jest powi kszeniem, a N(P) ilo ci tuszu niezb dn do narysowania P-krotnie
powi kszonego zbioru? Dla odcinka, zgodnie z przewidywaniami, otrzymujemy D odcinka = 1.
Jednak w przypadku innych zbiorów, nawet tych zawartych na prostej, mo e by inaczej.
Powi kszaj c trzykrotnie samopodobny zbiór Cantora, wystarczy tylko dwukrotnie zwi kszy
ilo zu ytego tuszu drukarki. Ta obserwacja wiadczy o tym, e wymiar zbioru Cantora jest
mniejszy od jedno ci. Doprecyzowuj c szczegóły matematyczne, mo na poda cisł definicje
wymiaru, która nie musi by liczb naturaln , ale dla standardowych obiektów b dzie dawa
oczekiwany wynik 1, 2 lub 3[1].
Je li chodzi o zbiory płaskie, to mo na stwierdzi , e wymiar fraktalny takiego zbioru nale y
do przedziału [1,2]; jest miar zmienno ci, postrz pienia szeregu, lub inaczej  dostarcza
informacji, jak bardzo krzywa wypełnia płaszczyzn [2]. Drugim poj ciem wymagaj cym
omówienia jest samopodobie stwo. Dwa obiekty, niezale nie od ich wielko ci s podobne, je li
maj ten sam kształt, tj. równe k ty oraz odpowiednie odcinki proporcjonalne. Współczynnik
proporcjonalno ci nazywa si współczynnikiem skalowania. Załó my, e jest dodatni i oznaczmy
go liter p. Zbiór � nazywamy samopodobnym, je eli jest sum rozł czonych, pomniejszych kopii
samego siebie, lub gdy ka dy fragment zbioru �, odpowiednio powi kszony wygl da tak samo jak
cały zbiór[3]. Je li pomniejszymy np. krzyw Kocha trzykrotnie rK= 1/3, a nast pnie fragment ten
skopiujemy czterokrotnie i odpowiednio skleimy to ponownie otrzymamy krzyw Kocha.
Typowym fraktalem wyst puj cym w naturze, w którym wida cech samopodobie stwa to
kalafior. Jego główka składa si z ró yczek, które po oddzieleniu od reszty przypominaj cał
główk , tyle, e w pomniejszeniu. Cz ci te mog by znowu podzielone na mniejsze cz ci, które
b d podobne do całego kalafiora. Ta własno przenosi si na kolejne trzy lub cztery generacje
Efekt jest niewidoczny pó niej gdy nast pne podziały skutkuj separowaniem zbyt małych cz ci
kalafiora. Jednak nawet w przypadku, gdy kopie cało ci pojawiaj si we wszystkich stadiach i s
kopiami dokładnymi, mog wyst powa ró ne rodzaje samopodobie stwa:
- samopodobie stwo w punkcie przykładem mo e by okładka ksi ki, która przedstawia r k
trzymaj ca t wła nie ksi k . Kopie w tym przypadku koncentruj si wokół jednego punktu i
jedynie on ma własno samopodobie stwa. Punkt ten jest granic , w której wielko ci kopii
malej do zera. Inaczej mówi c okładka ksi ki jest samopodobna w tym punkcie.
- samoafiniczno  tutaj przykładem mo e by drzewo o podwójnych rozgał zieniach. Całe
drzewo składa si z pnia i dwóch pomniejszonych kopii cało ci. Dlatego coraz mniejsze kopie
koncentruj si przy li ciach. Całe drzewo nie jest wi c samopodobne, ale samoafiniczne, tzn. pie
nie jest podobny do cało ci, ale mo e by traktowany jako afiniczny obraz, który został
sprasowany do linii.
- cisłe samopodobie stwo  przykładami cisłego samopodobie stwa mo e by krzywa Kocha
albo trójk t Sierpi skiego. W tych obiektach mo emy znale kopie cało ci w otoczeniu ka dego
jego punktu.
2. Przegl d klasycznych fraktali
Geometria obok arytmetyki jest najstarszym działem matematyki. Ju w staro ytno ci
osi gn ła wysoki stopie rozwoju, a gdy Euklides w IV w. p.n.e. przedstawił j w Elementach w
postaci aksjomatycznej, stała si na ponad dwa tysi clecia wzorem precyzji my lenia nie tylko dla
32 Władysław Hoffmann, Marek Mikołajczyk
Nowoczesne zastosowania geometrii fraktalnej
matematyków. Za najnowszy etap rozwoju geometrii uwa a si zwykle geometri ró niczkow ,
której dynamiczny rozwój nast pił na pocz tku naszego wieku i mimo, e nie zapomniano o tej
dziedzinie, to mo na powiedzie , e nie pojawiły si w niej adne istotne nowe i ciekawe poj cia.
Tymczasem w ci gu ostatnich kilku lat powstała zaliczana do geometrii teoria fraktali, opisuj ca i
badaj ca obiekty o strukturze odmiennej od tego, do czego przyzwyczaiła nas klasyczna
geometria[4].
Pierwsze obiekty o tak nietypowej konstrukcji pojawiły si pod koniec XIX w - w roku 1883
Georg Cantor, niemiecki matematyk z uniwersytetu w Halle opublikował prac , w której
zaproponował konstrukcj nazwan pó niej jego imieniem jako zbioru o wyj tkowych
własno ciach. Odcinek [0,1] podzielił na trzy równe cz ci i usun ł rodkow . Z pozostałymi
dwoma odcinkami post pił analogicznie. W konsekwencji takiego post powania w granicy
niesko czonej ilo ci kroków powstaje tzw. zbiór punktów Cantora.
Niewiele pó niej, w 1904 roku szwedzki matematyk Helge van Koch wprowadził krzyw
nazywan obecnie krzyw Kocha. Po poł czeniu trzech odpowiednio obróconych egzemplarzy
krzywej Kocha otrzymamy figur zwan płatkiem niegu.
Rys.1. Zbiór Cantora
Budow krzywej Kocha zaczyna si od linii prostej. Pocz tkowy obiekt nosi nazw inicjatora. Po
jego podziale na trzy równe cz ci w miejsce rodkowej wstawiamy trójk t równoboczny i
usuwamy jego podstaw . Jest to podstawowy krok w konstrukcji. Po pomniejszeniu figura ta, w
czterech egzemplarzach b dzie słu y w kolejnych krokach. Nazywa si j generatorem.
Konstrukcj tworzymy w ten sposób, e ka dy odcinek w figurze dzielimy na trzy cz ci i zamiast
rodkowego wstawiamy generator, itd.[5]
Rys.2.Krzywa Kocha
Kolejny klasyczny fraktal, to stworzony przez polskiego matematyka, Wiesława Sierpi skiego
trójk t Sierpi skiego. Metoda tworzenia trójk ta jest nast puj ca: Wybiera si rodki trzech
boków trójk ta. Punkty te, po poł czeniu razem z wierzchołkami pocz tkowego trójk ta
wyznaczaj cztery mniejsze trójk ty, z których usuwamy rodkowy. Jest to krok podstawowy
konstrukcji. Procedura jest powtarzana dla ka dego z pozostałych trzech trójk tów, itd.
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ 33
Seria: Studia i Materiały, nr2, 2004
Rys.2.Trójk t Sierpi skiego
3. Praktyczne zastosowania geometrii fraktalnej
Jak ju wcze niej wspomniano z fraktalami spotykamy si w naszym yciu codziennym. Linie
brzegowe, ła cuchy górskie, niektóre owoce i warzywa wykazuj cechy charakterystyczne dla
fraktali. Niektóre zjawiska równie charakteryzuj si np. samopodobie stwiem w czasie. Dzi ki
odpowiednim badaniom i obserwacjom geometri fraktaln i teori chaosu deterministycznego
mo na próbowa stosowa w wielu dziedzinach nauki. W 1991 roku na presti owym zje dzie
SIGGRAPH (Special Interest Group of the Association for Computing Machinery (ACM))
przedstawiono zastosowanie geometrii fraktalnej do analizy obrazu. Technika ta wprowadzała
nowy sposób binarnego cieniowania, u ytecznego do wprowadzenia odcieni szaro ci do
dwukolorowego urz dzenia graficznego, takiego jak np. drukarka laserowa . Oprócz cieniowania
geometri fraktaln udało si zastosowa do kompresji obrazu. W medycynie fraktali u ywa si do
analizy obrazów tomograficznych, rozpoznawania komórek itp. W ten sposób przeprowadzone
par lat temu badania w o rodku badawczym Mount Sinai w Nowy Jorku wskazały na zale no
pomi dzy wymiarem fraktalnym chromosomu a rakiem. W psychologii naukowcy badaj cy
ludzkie oceny estetyczne stwierdzili, e istnieje zale no pomi dzy estetyk rysunku
wygenerowanego za pomoc fraktala a jego wymiarem. Wraz z rozwojem geometrii fraktalnej
ułatwiona została te codzienna praca grafików komputerowych. Gdy potrzebuj oni obrazu stoku
górskiego lub drzewa zamiast przeszukiwa setki zdj mog posłu y si odpowiednimi
modelami do generowania tego typu obrazów. Istnieje mo liwo wygenerowania wymaganego
obiektu, co dzieje si za spraw sparametryzowania programu. Z grafiki fraktalnej skorzystała te
sztuka filmowa. Fraktale wykorzystano w filmie Star Trek II: The Wrath of Khan do
przedstawienia krajobrazu planety Genesis, a tak e w filmie Powrót Jedi do stworzenia geografii
ksi yców Endora i zarysów Gwiazdy mierci.
W ostatnim okresie obserwuje si coraz wi ksz ró norodno metod, które s stosowane do
analizy danych finansowych, a w szczególno ci do analizy finansowych szeregów czasowych. Sił
nap dow , która spowodowała rozwój tych metod, była ch stworzenia metody prognozowania
cen finansowych (w szczególno ci kursów akcji), których stosowanie na rynku przynosiłoby
ponadprzeci tne dochody.
W ramach tego nurtu mo na wyró ni nast puj ce grupy metod (wymienione zostaj jedynie
te, które bezpo rednio dotycz finansowych szeregów czasowych):
- analiza techniczna;
34 Władysław Hoffmann, Marek Mikołajczyk
Nowoczesne zastosowania geometrii fraktalnej
- metody oparte na teorii procesów stochastycznych;
- metody cybernetyki finansowej;
- modele ekonometryczne;
- teoria chaosu.
Zwłaszcza ta ostatnia metoda zasługuje na uwag . Okazuje si , e przy pewnych zało eniach
mo na kusi si o prognozowanie np. wyników finansowych spółek korzystaj c z metod teorii
chaosu i geometrii fraktalnej. Istnieje szereg bada nad przewidywaniem zachowa notowa akcji.
Liczenie wymiaru Minkowskiego z wykresu cen akcji mo e posłu y do analizy trendów spółek.
Udowodniono równie , e ruchami kursów giełdowych rz dz prawa dynamiki nieliniowej,
ukazuj c fraktaln geometri polskiego rynku akcji. Trwaj równie badania nad wymiarem
fraktalnym szeregów czasowych sprzeda y produktów w sieciach hipermarketów. Istnieje
podejrzenie, e szeregi te wykazuj cechy fraktali, co by mo e pozwoli na generowanie
skuteczniejszych od dotychczasowych prognoz sprzeda y produktów w sieciach sklepów, które
identyfikuj swoich klientów. Warta weryfikacji jest równie hipoteza, e samopodobie stwo w
szeregach czasowych ma do silny zwi zek z sezonowo ci . Wad metody jest fakt, e aby
wyniki bada były rzetelne nale y dysponowa danymi z długiego okresu czasu (wiele próbek).
Niestety dane ekonomiczne składaj si z reguły z małej ilo ci obserwacji, z niezbyt długiego
okresu. Tymczasem na podstawie takich danych trudno jednoznacznie wnioskowa o istnieniu
b d nieistnieniu jakiej struktury. Niektóre sygnały potwierdzaj istnienie chaosu na giełdzie,
inne temu zaprzeczaj . Nale ałoby wi c wypracowa nowe metody badania danych
ekonomicznych, mniej zale ne od ilo ci dost pnych informacji[6].
Podsumowuj c mo na powiedzie , e geometria fraktalna ma zastosowanie w wielu
dziedzinach ycia. By mo e metody wyszukiwania samopodobnych wzorców w przyrodzie
pomog w tworzeniu zupełnie nowych teorii i wnios jeszcze wiele nowych pomysłów w wielu
dziedzinach nauki.
Bibliografia
1. K. yczkowski, A. A
ozi ski  Chaos, fraktale oraz euroatraktor , FOTON 80, 2003r
2. M. Zwolankowska: Fraktalna Geometria Polskiego Rynku Akcji , Wydawnictwo
Naukowe Uniwersytetu Szczeci skiego, 2001r
3. H. Zawadzki:  Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane przykłady
ekonomiczne . Prace Naukowe AE im. K. Adamieckiego. Katowice 1996r.
4. E. Melnyczok,  Systemy Funkcji Iterowanych , Białystok 1988
5. H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe:  Granice Chaosu  Fraktale Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 1997r.
6. K. Jajuga, D. Papla:  Dynamiczne modele ekonometryczne V Ogólnopolskie
Seminarium Naukowe w Toruniu, Toru 1997r.