Temat III  geometria 3D (Ä„ i linie) - wILIÅš - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
Na zaj¸ rozwi¸ tylko niektóre z poniższych zadaÅ„. Zadania nierozwi¸ na tablicy należy przerobić
eciach ażemy azane
samemu w domu.
Zadanie 1. Sprawdz
, czy płaszczyna Ą : 2x - 3y + 4z - 5 - 0 zawiera punkty A(1, -1, 0), B(2, 7, 3).
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = -1 + t + 2s
ôÅ‚
òÅ‚
Zadanie 2. Sprawdz
, czy płaszczyna Ą : zawiera punkty A(2, -1, 3), B(2, 7, 3).
y = 2 - 3s
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = s + 3t
Zadanie 3. Znajdz
dwa dowolne punkty należ¸ do pÅ‚aszczyzny Ä„ : 2x - 2y - 4z + 5 = 0.
ace
Zadanie 4. Napisz równania ogólne, parametryczne i odcinkowe płaszczyzny Ą, która:
a) przechodzi przez punkt P = (1, -2, 0) i jest prostopadła do wektora = [0, -3, 2],
n
b) przechodzi przez punkty P1 = (0, 0, 0), P2 = (1, 2, 3) oraz P3 = (-1, -3, 5),
c) przechodzi przez punkty P1 = (1, -3, 4), P2 = (2, 0, -1) i jest prostopadła do płaszczyzny OXZ,

d) przechodzi przez punkt P = (1, -1, 3) i jest równoległa do wektorów = [1, 1, 0], b = [0, 1, 1],
a
e) przechodzi przez punkt P = (0, 3, 0) i jest równoległa do płaszczyzny Ą : 3x - y + 2 = 0,
f) przechodzi przez punkt P = (2, 1, -3) i jest prostopadła do płaszczyzn Ą : x + y = 0, ł : y - z = 0,
x-9 y-2 z x y+7 z-2
g) zawiera dwie proste: l : = = oraz k : = = .
4 -3 1 -2 9 2
Wykonaj osobny rysunek do każdego równania odcinkowego.
Zadanie 5. Oblicz obj¸ czworoÅ›cianu ograniczonego przez pÅ‚aszczyzn¸ Ä„ : x + 2y + 3z - 6 = 0 oraz pÅ‚asz-
etość e
czyzny ukÅ‚adu współrz¸
ednych.
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = -1 + 2s - 7t
ôÅ‚
òÅ‚
Zadanie 6. Oblicz współrz¸ punktu w którym pÅ‚aszczyzna Ä„ : przecina oÅ› OX.
edne
y = 2 + 3s + 2t
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = -3 - s + t
Zadanie 7. Oblicz k¸ pod jakimi przecinaj¸ si¸ pÅ‚aszczyzny:
aty a e
a) Ä„1 : 2x + 2y + 2z = 3, Ä„2 : 2x - 2y - z - 5 = 0,
b) Ä„1 : x + y - 1 = 0, Ä„2 : 2x + y - 2z = 2,
c) Ä„1 : 5x + y - z = 0, Ä„2 : x - 2y + 3z = -1,
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = -5 + t
ôÅ‚
òÅ‚
Zadanie 8. Sprawdz
, czy pÅ‚aszczyzny s¸ równolegÅ‚e: Ä„1 : 2x + 3y - 5z + 30 = 0, Ä„2 : .
a
y = 2 + 5s + t
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = 1 + 3s + t
Zadanie 9. Skonstruuj równanie parametryczne i kierunkowe prostej l, która:
Temat III  geometria 3D (Ä„ i linie) - wILIÅš - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
a) przechodzi przez punkty A = (5, -2, 4), B = (2, 6, 1),
b) przechodzi przez punkt P = (-4, -1, -2) i jest prostopadła do Ą : 2x - 8y + 3z + 4 = 0,
y+1
x-5 z-1
c) przechodzi przez punkt P = (1, 1, 4) i jest prostopadła do osi OY oraz do prostej l1 : = = ,
4 -2 -1
Å„Å‚
òÅ‚
3x + y = 0
d) przechodzi przez punkt P = (0, 0, 0) i jest równoległa do l1 : ,
ół
x - 2z + 5 = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = 1 + 2t
ôÅ‚
òÅ‚
e) przechodzi przez punkt P = (3, -2, 1) i jest równoległa do l1 : ,
y = 2 - t
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = 3t
f) przechodzi przez punkt P = (0, 0, -2) i jest prostopadła do wektorów = [0, 1, -5], = [2, -1, 3],
u v
g) leży na przeci¸ pÅ‚aszczyzn: Ä„1 : x + 2z - 4 = 0 oraz Ä„2 : x - y + 6 = 0.
eciu
Zadanie 11. Sprawdz
, czy:
y+2
x-1 x-5
a) punkty A = (1, -2, 5) oraz B = (3, -2, 11) należ¸ do prostej l : = = ,
a
-1 0 -3
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = 1 + t
ôÅ‚
òÅ‚
b) prosta l : -2t
należy do płaszczyzny Ą : 3x + 3y + z - 6 = 0,
y =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = 3 + 3t
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ -1 + s
x = t x =
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
c) proste l : -2t y = 2 - s
oraz k : maj¸ wspólny punkt. Jeżeli tak  znajdz
go.
a
y =
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 3t z = -3 + 4s
y
x+5 z-3
d) prosta l : = = jest równoległa do Ą : x + y - z + 15 = 0.
-2 1 -1
x-1 y+3 z-1 x-1 y-2 z-3
Zadanie 12. Znajdz
punkt przeci¸ prostych l : = = oraz k : = = .
ecia
-1 2 3 2 1 -4
Zadanie 13. Znajdz
punkt przeci¸ prostej l z pÅ‚aszczyzn¸ Ä„:
ecia a
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = 1 + t
ôÅ‚
òÅ‚
a) l : -3t
, Ä„ : x + 2y - 3z - 7 = 0,
y =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = 4 - t
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = s + t
ôÅ‚
òÅ‚
x-1 y+2 z-4
b) l : = = , Ä„ :
y = 1 + s + 2t
0 3 -1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = 3 + 2s + 4t
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -1 + s + t
x =
ôÅ‚
òÅ‚
Zadanie 14. Sprawdz
, czy punkty A = (0, 0, 5) oraz B = (1, 2, 3) nalez
¸ do pÅ‚aszczyzny Ä„ :
a
y = 2 + 3s - t
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = 3 - s + 2t
Zadanie 15. Znajdz
pÅ‚aszczyzn¸ przechodz¸ a przez linie l oraz k:
e ac¸
a) l : x = y = z, k : 2x = y = -z,
Temat III  geometria 3D (Ä„ i linie) - wILIÅš - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
x-3 y-1 z+1 x+1 y z
b) l : = = , k : = = .
1 -1 -2 1 -1 -2
Zadanie 16. Znajdz
równanie pÅ‚aszczyzny Ä„ przechodz¸ przez punkt P = (2, 0, -7), która jest prostopadÅ‚a
acej
x y+6 z+4
do płaszczyzny ł : x + 5z = 0 oraz równoległa do prostej l : = = .
4 -1 2
Zadanie 17. Oblicz odlegÅ‚ość pomi¸
edzy:
a) punktem P = (1, 0, -5) i pÅ‚aszczyzn¸ Ä„ : 3x - 12y + 4z + 8 = 0,
a
b) płaszczyznami Ą : 2x - y + 3z = 0, ł : -4x + 2y - 6z + 8 = 0,
x-1 y+1 z-3
c) punktem P = (0, 0, 0) i prost¸ l : = = ,
a
2 -1 -2
y-2 y
x-1 z-3 x z
d) prostymi równoległymi l : = = oraz k : = = ,
1 2 3 2 4 6
y+1
x z
e) prost¸ l : = = i pÅ‚aszczyzn¸ Ä„ : x + y - z + 7 = 0.
a a
-1 2 1
Zadanie 18. Oblicz k¸ pomi¸
aty edzy:
x+2 y+1 z
a) prost¸ l : = = i pÅ‚aszczyzn¸ Ä„ : 2x - 3y - 5 = 0,
a a
-3 -2 1
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ - s + t x = 3 + t
ôÅ‚
x = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
b) płaszczyznami Ą : oraz ł : ,
y = 6 + 2s + t y = 4 + s
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 7 + t z = 5 - 3s - 2t
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚ òÅ‚
x + y - 1 = 0 x - 2y + z = 0
c) dwiema prostymi: l : , k : .
ół ół
y - z + 3 -x + 3y + 2z = 0
Zadanie 19. Znajdz
rzut prostok¸
atny:
x y-1 z+1
a) punktu P = (1, 0, -3) na prost¸ l : = = ,
a
2 -1 2
b) punktu P = (0, 0, 1) na pÅ‚aszczyzn¸ Ä„ : x + y - 2z + 4 = 0,
e
c) prostej l : x = y = z na pÅ‚aszczyzn¸ Ä„ : x + 2y + 3z - 6 = 0.
e
Zadanie 20. Znajdz
punkt symetryczny do punktu P = (0, 1, 3) wzgl¸
edem:
a) punktu S = (1, 0, 1),
y
x+1 z-5
b) prostej l : = = ,
-2 1 3
c) płaszczyzny Ą : x + y + z = 0