Wykład IV
Geometria analityczna na
płaszczyz
nie
Odległość punktów na płaszczyz
nie
Działania na wektorach
Równania prostej
Odległość punktu od prostej
1
Odległość punktów
y2- y1
B(x2,y2)
Rozważmy prostokątny układ
y2 A(x1,y1)
y1
współrzędnych na płaszczyz
nie
XOY. Niech A(x1,y1) i B(x2,y2)
x2- x1
oznaczajÄ… dwa punkty.
x1 x2
Oznaczenia: Punkty oznaczamy wielkimi literami, A, B, M,
P, Q, itp. Współrzędne punktów zapisujemy w nawiasach
okrągłych.
Definicja:

Wektorem AB o początku w punkcie A i końcu w punkcie B

nazywamy wektor
AB = [x2 - x1, y2 - y1]
Uwaga: Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach
kwadratowych. Wyrażają się one przez różnice odpowiednich
2
współrzędnych.

Odległość punktów AB lub długość wektora AB wyraża się
wzorem (twierdzenie Pitagorasa):

2 2
AB = AB = (x2 - x1) + (y2 - y1)
Działania na wektorach
Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę.
Na wektorach określamy iloczyn skalarny.
r r
Niech
v1 = [x1, y1]; v2 = [x2, y2]
r r
Dodawanie
v1 + v2 = [x1 + x2, y1 + y2]
r r
Odejmowanie
v1 - v2 = [x1 - x2, y1 - y2]
r
Mnożenie przez liczbę
k Å" v = [kx, ky]
3
Przykład 1. Obliczyć długość wektora
r r r r
2v1 - 3v2; gdzie v1 = [3,-5]; v2 = [1,-2]
RozwiÄ…zanie:
r r r
a = 2v1 - 3v2 = 2[3,-5]- 3[1,-2]= [3,-4]
Niech
r
2
Liczymy teraz długość:
a = 32 + (- 4) = 25 = 5
Iloczyn skalarny wektorów
r r
v1 = [x1, y1]; v2 = [x2, y2]
Iloczynem skalarnym wektorów
nazywamy liczbÄ™ postaci:
r r
v1 o v2 = x1 Å" x2 + y1 Å" y2
4
Wzajemne położenie wektorów
r r
v1 = [x1, y1] i v2 = [x2, y2]
Wektory są prostopadłe
wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy
zeru, tzn.
r r r r
v1 Ä„" v2 Ô! v1 o v2 = 0 Ô! x1x2 + y1y2 = 0
r r
v1 = [x1, y1]i v2 = [x2, y2]
Wektory są równoległe wtedy
i tylko wtedy, gdy
r r
x1 y1 = 0 Ô! x1 Å" y2 - x2 Å" y1 = 0
v1 || v2 Ô!
x2 y2
5
Równanie prostej
Prosta na płaszczyz
nie może być opisana równaniem

ogólnym postaci: Ax+By+C=0, gdzie n=[A,B] jest wektorem
normalnym prostej (prostopadłym do prostej).
Prosta na płaszczyz
nie może być także opisana równaniem
kierunkowym postaci: y = mx+n, gdzie m=tgÄ… jest
współczynnikiem kierunkowym prostej, natomiast n wyrazem
wolnym (przecięciem osi OY).
Przykład: Rozważmy prostą
2x-3y+5=0
Wektor
n= [2, -3]
normalny
r
n = [2,-3]
Istnieje nieskończenie wiele prostych
prostopadłych do wektora normalnego.
Musimy wyznaczyć jeden punkt spełniający
6
równanie 2x-3y+5=0, np. (-1,1)
Wzajemne położenie prostych
Dwie proste: A1x+B1y+C1=0 oraz A2x+B2y+C2=0 sÄ…
równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory normalne są

równoległe, tzn. n1=[A1,B1] || n2=[A2,B2], czyli
A2 B2
A1 B1 = A1Å" B2 - A2Å" B1 = 0 Ô!
=
A2 B2
A1 B1
Dwie proste: A1x+B1y+C1=0 oraz A2x+B2y+C2=0 sÄ…
prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy wektory normalne są
prostopadłe, tzn. n1=[A1,B1] Ą" n2=[A2,B2], czyli
r r
A1 -m1 -m2
A2
n1 o n2 = A1Å" A2 + B1Å" B2 = 0 Ô! Å" = -1
B1 B2
Dwie proste opisane równaniami kierunkowymi: y=m1x+n1
oraz y=m2x+n2 są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy m1=m2,
7
natomiast prostopadłe, gdy m1m2=-1.
r
n = [A,B]
Uwaga. Dowolne dwa punkty
Q(4,3)
3
płaszczyzny wyznaczają prostą.
P(2,2)
2
Znajdziemy równanie ogólne oraz
kierunkowe prostej przechodzÄ…cej
2 4
przez dwa punkty P(2,2) i Q(4,3).
RozwiÄ…zanie:
Znajdziemy najpierw równanie ogólne. Ponieważ wektor

normalny n jest prostopadły do prostej, to jest on także

prostopadły do wektora PQ. Ponieważ PQ=[4-2,3-2]=[2,1],

r
n o PQ = 2 A+ B = 0 Ô! B = -2 A
więc
Wstawiając do równania Ax+By+C=0 dostajemy Ax-2Ay+C=0.
Wstawiając do równania jeden z punktów, np. punkt P(2,2) dostajemy:
2A-4A+C=0 czyli C=2A. Ostatecznie otrzymujemy: Ax-2Ay+2A=0 /:A
8
mamy x-2y+2=0.
Znajdziemy teraz równanie w postaci kierunkowej: y=mx+n
Aby wyznaczyć nieznane parametry m i n, wstawimy punkty
P i Q do równania y=mx+n uzyskując układ równań:
1
2 = 2m + n
Å„Å‚
Ò! -1 = -2m Ò! m =
òÅ‚
-
3 = 4m + n
ół
2
Wstawiając rozwiązanie do pierwszego równania
dostajemy:
1 1
2Å" + n = 2 Ò! n = 1Ò! y = x +1
2 2
Uwaga.
A
atwo zauważyć, że równanie x-2y+2=0 jest równoważne
1
y = x +1
9
2
Odległość punktu od prostej
Odległość punktu P(x0,y0) od prostej zadanej równaniem w
postaci ogólnej Ax+By+C=0 określa wzór:
A x0 + B y0 + C
d =
A2 + B2
Przykład 3. Obliczyć odległość punktu P(2,-4)
od prostej l1:2x-3y+5=0 i l2: y=2x-3.
RozwiÄ…zanie:
a) Odległość od prostej 2x-3y+5=0:
2x0 - 3y0 + 5 2Å"2 - 3Å"(- 4)+ 5
21 21 13
d1 = = = =
2
13
13 13
22 + (- 3)
b) Odległość od prostej y=2x-3, czyli 2x-y-3=0
2x0 - y0 - 3 2Å"2 -1Å"(- 4)- 3
5
d2 = = = = 5
10
2
5 5
22 + (-1)
Zadania różne
Zadanie 1. Znalez
ć prostą przechodzącą przez punkt P(2,-4)
r
a = [2,-1]
oraz prostopadłą do wektora .
Rozwiązanie: Ponieważ prosta ma być prostopadła do wektora a =[2,-1]
więc jego składowe są współczynnikami w równaniu prostej,
tzn. 2x-y+C=0. WstawiajÄ…c punkt P otrzymujemy: 4+4+C=0 czyli C=-8.
Ostatecznie, równanie prostej ma postać: 2x-y-8=0.
Zadanie 2. Znalez
ć prostą przechodzącą przez punkt P(2,-4)
r
a = [2,-1]
oraz równoległą do wektora .
Rozwiązanie: Ponieważ prosta ma być równoległa do wektora a =[2,-1]
więc wektor normalny tej prostej musi być do niego prostopadły:
r r r r
a = [2,-1]Ä„" n = [A,B]Ô! a o n = 0 Ô! 2 A- B = 0 Ò! B = 2 A
Równanie prostej ma postać: Ax+2Ay+C=0. Wstawiamy punkt P(2,-4):
2A-8A+C=0 Ò!C=6A. Równanie prostej ma postać:Ax+2Ay+6A=0/:B
11
Ostatecznie równanie prostej ma postać: x+2y+6=0.