1
Wektory
Definicja Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów.
Pierwszy z tych punktów nazywamy początkiem wektora albo punk-
tem zaczepienia wektora, a drugi końcem wektora. Wektor o począt-
-

ku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy przez AB .
Odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy
przez AB .
Definicja
-
" Modułem (długością) wektora AB nazywamy długość odcinka
AB .
" Kierunek wektora jest to prosta przechodzÄ…ca przez punkty A i
B .
" Zwrot wektora to zwrot półprostej AB .
2
Definicja Mówimy, że dwa wektory są równe, jeżeli mają ten
sam kierunek, zwrot i długość. Dwa wektory nazywamy przeciwnymi,
jeżeli mają one ten sam kierunek i długość, ale przeciwny zwrot.
Definicja Wektorem swobodnym nazywamy klasę (zbiór) wekto-
rów równych. Wektor swobodny oznaczamy .
a
3
Będziemy rozważali zagadnienia związane z wektorami w przestrzeni
R3 = { (x, y, z) : x, y, z " R }
Wówczas:
" jeżeli A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2) , to
-
AB = [ x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 ]


-


| AB | = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
" jeżeli = [ a1, a2, a3] , to
a




| | = a2 + a2 + a2
a
1 2 3

" wektor 0 = [ 0, 0, 0] nazywamy wektorem zerowym,
" wektor - = [ -a1, -a2, -a3] nazywamy wektorem przeciwnym
a
do wektora = [ a1, a2, a3]
a
4
" wektor o długości 1 nazywamy wersorem,
" dla dowolnego niezerowego wektora = [ a1, a2, a3] wektor o
a
îÅ‚ Å‚Å‚
a1 a2 a3 jest wersorem.
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
współrzednych , ,
| | |
a| a| a|
Przykład Wektory o współrzędnych


i = [ 1, 0, 0 ] j = [ 0, 1, 0 ] k = [ 0, 0, 1 ]
nazywamy wersorami osi układu współrzędnych.
5
Działania na wektorach
Definicja (Sumy i różnicy wektorów)

Niech = [ a1, a2, a3] i b = [ b1, b2, b3] . Wówczas:
a

+ b = [ a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ]
a

- b = [ a1 - b1 , a2 - b2 , a3 - b3 ]
a
6
Własności (działania dodawania wektorów)

" + = b +
a b a
" ( + ) + = + ( + )
a b c a b c

" + 0 =
a a

" + ( - ) = 0
a a
Definicja (Mnożenia wektora przez liczbę)
Niech = [ a1, a2, a3] i ą " R . Wówczas:
a
Ä… = [ Ä… a1 , Ä… a2 , Ä… a3 ]
a
7
Własności (działania mnożenia wektora przez liczbę)
" 1 · =
a a
" Ä…( ² ) = (Ä…²)
a a
" (Ä… + ²) = Ä… + ²
a a a
" Ä… ( + ) = Ä… + Ä…
a b a b
Własności (długości wektora)

" | | 0 , przy czym | | = 0 Ô! = 0
a a a
" | Ä… | = | Ä… | · | |
a a

" | + b | | | + | |
a a b
8
Definicja (Kombinacji liniowej wektorów)
Rozważmy n wektorów , , . . . , . Wyrażenie
a1 a2 an
n

Ä…1 + Ä…2 + . . . + Ä…n = Ä…i
a1 a2 an ai,
i=1
gdzie Ä…1, Ä…2, . . . , Ä…n " R , nazywamy kombinacjÄ… liniowÄ… wekto-
rów , , . . . , .
a1 a2 an
Definicja (Liniowej niezależności wektorów)
" Wektory , , . . . , nazywamy liniowo niezależnymi,
a1 a2 an
jeżeli dla dowolnych liczb ą1, ą2, . . . , ąn " R z tego, że

Ä…1 + Ä…2 + . . . + Ä…n = 0
a1 a2 an
wynika że ą1 = ą2 = . . . = ąn = 0 .
9
" Wektory , , . . . , nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli
a1 a2 an
istnieją liczby ą1, ą2, . . . , ąn " R nie wszystkie równe 0 takie,
że

Ä…1 + Ä…2 + . . . + Ä…n = 0
a1 a2 an


Przykład Wersory osi układu współrzędnych i, j, k są trójką
wektorów liniowo niezależnych.
Przykład Zbadaj liniową niezależność wektorów = [ 1, 0, 1] ,
e1
= [ 1, 1, 0] , = [ 0, 1, 1] .
e2 e3
10
Definicja Układ { } trzech wektorów liniowo nieza-
e1, e2, e3
leżnych w R3 nazywamy bazą (przestrzeni R3 ).
" Jeżeli wektory są wzajemnie prostopadłe, to bazę
e1, e2, e3
nazywamy bazÄ… ortogonalnÄ….
" Jeżeli wektory są wersorami, to bazę nazywamy bazą
e1, e2, e3
unormowanÄ….
" Jeżeli wektory są wersorami wzajemnie prostopadły-
e1, e2, e3
mi, to bazÄ™ nazywamy bazÄ… ortonormalnÄ….


Przykład Wersory osi układu współrzędnych i, j, k tworzą
bazÄ™ ortonormalnÄ… w R3 . BazÄ™ tÄ… nazywamy bazÄ… standardowÄ….
11
Fakt Jeżeli { } jest bazą w R3 , to dowolny wektor
e1, e2, e3
można zapisać w postaci:
a
= a1 + a2 + a3
a e1 e2 e3
Liczby a1, a2, a3 nazywamy wówczas współrzędnymi wektora
a
w baie { } .
e1, e2, e3
Uwaga Jeżeli = [ a1, a2, a3] , to
a
= a1 + a2 + a3
a i j k
Przykład Czy trójka wektorów z poprzedniego przykładu tworzy
bazÄ™ w R3 ? Znalez
ć współrzędne wektora = [3, 4, 1] w bazie
a
{ } .
e1, e2, e3
12
Iloczyn skalarny wektorów

Definicja Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów i b
a
nazywamy liczbÄ™
ć% = | | | | · cos ( b ).
a b a b a,
( ( b ) " [0, Ä„] )
a,
Własności (iloczynu skalarnego wektorów)

" ć% = b ć%
a b a
" ą ( ć% ) = ( ą ) ć% = ć% ( ą )
a b a b a b

" ( + b ) ć% = ć% + b ć%
a c a c c
" ć% = | |2
a a a

" ć% = 0 Ð!Ò! Ä„" b
a b a
13

Twierdzenie Jeżeli = [ a1, a2, a3] i b = [ b1, b2, b3] , to
a
ć% = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3.
a b
Przykład Znalez
ć długość wektora = 5 p - 4 , jeżeli | p | = 2 ,
a q
2
| | = 5 i ( p, ) = Ä„ .
q q
3
14
Iloczyn wektorowy wektorów
Definicja Iloczynem wektorowym nierównoległych wektorów i
a

b nazywamy wektor = × o
c a b
" kierunku takim, że Ą" i Ą"
c a c b

" zwrocie takim, że trójka wektorów , b , ma orientację zgodną
a c


z orientacją trójki wersorów osi układu współrzędnych i , j , k
" długości równej
| | = | | | | · sin ( b ).
c a b a,
15
Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego
Pf& = | × |
a b
1
P = | × |
a b
2
16
Własności (iloczynu wektorowego wektorów)
" × = - ×
a b b a
" Ä… ( × ) = ( Ä… ) × = × ( Ä… )
a b a b a b

" ( + b ) × = × + b ×
a c a c c

Uwaga Dla niezerowych wektorów i b zachodzi:
a

× = 0 Ð!Ò! b.
a b a

Twierdzenie Jeżeli = [ a1, a2, a3] i b = [ b1, b2, b3] , to
a






i j k






× =
a b
a1 a2 a3







b1 b2 b3

17
Przykład Sprawdz
, czy trójkąt ABC , gdzie A(1, -2, 8) ,
B(0, 0, 4) i C(6, 2, 0) , jest prostokÄ…tny. Oblicz jego pole.
Iloczyn mieszany wektorów

Definicja Iloczynem mieszanym trójki wektorów , b i
a c
nazywamy liczbÄ™
( × ) ć%
a b c.

Uwaga Wektory , b i są liniowo niezależne wtedy i tylko
a c
wtedy, gdy ( × ) ć% = 0 .
a b c
18
Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego
Vr = | ( × ) ć% |
a b c
1
Vcz = | ( × ) ć% |
a b c
6
19
Własności (iloczynu mieszanego wektorów)
" ( × ) ć% = - ( × ) ć%
a b c b a c
" ( × ) ć% = - ( × ) ć%
a b c a c b
" ( × ) ć% = ( × ) ć% = ( × ) ć%
a b c c a b b c a

Twierdzenie Jeżeli = [ a1, a2, a3] , b = [ b1, b2, b3] i
a
= [ c1, c2, c3] , to
c





a1 a2 a3






( × ) ć% =
a b c
b1 b2 b3







c1 c2 c3

20
Przykład Oblicz objętość czworościanu zbudowanego na wekto-

rach = [ 1, 1, 1] , b = [ 1, 1, -3] i = [ 2, -1, -1] .
a c