WYKA
AD 5
2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I
WEKTOROWEJ
2.1. Wstęp: metoda współrzędnych
W geometrii analitycznej badamy obiekty geometryczne metodÄ… analitycznÄ….
Najbardziej znaną metodą tego typu jest metoda współrzędnych oparta na
układzie współrzędnych.
2A1 (Definicja: układ współrzędnych). Układ Oxyz współrzędnych w
przestrzeni składa się z trzech (zwykle wzajemnie prostopadłych) prostych Ox,
Oy, Oz z jednostkami mierzenia i ustalonymi kierunkami, przecinajÄ…cych siÄ™ w
jednym punkcie O. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, płaszczyzny xOy, xOz,
yOz płaszczyznami, punkt O początkiem układu współrzędnych. Zwykle
korzysta się z orientacji układu prawoskrętnego, tzn. jeżeli prawą rękę
umieścimy tak, aby kciuk wskazywał dodatnią część osi Oz, to zgięte palce
wskażą kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy.
W metodzie współrzędnych każdemu punktowi M przestrzeni odpowiada
uporządkowana trójka ( xM ,yM , zM ) liczb rzeczywistych (współrzędnych tego
punktu) i na odwrót. Wtedy geometryczne obiekty opisujemy przez warunki
(równania, nierówności lub ich układy), które spełniają współrzędne punktów
zawartych w geometrycznych obiektach. Odpowiednie równania nazywamy
równaniami tych obiektów.
Podobnie definiujemy układ współrzędnych na płaszczyz
nie.
2A2 (Przykłady).
2.1. Równanie
(x xM )2 (y yM )2 (z zM )2 0
opisuje punkt M (xM ,yM , zM ) o współrzędnych xM ,yM , zM w przestrzeni;
2.2. Układ nierówności
x y 1, x 0, y 0
opisuje trójkąt OAB o wierzchołkach O(0,0), A(1,0), B(0,1) na płaszczyz
nie.
W geometrii analitycznej rozpatrujemy dwa podstawowych problemy: opisanie
obiektów równaniami otrzymanymi z własności tych obiektów i na odwrót,
badanie własności geometrycznych obiektów przez ich równania.
2.2. Wektory
Pod pojęciem wektora (odcinka skierowanego) a w przestrzeni (lub na
płaszczyz
nie) rozumiemy wyłącznie wektor swobodny, tzn. zbiór wszystkich
wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek,
zwrot oraz długość. Wektor tego zbioru o początku w punkcie O będziemy
nazywali reprezentantem wektora a . Jeżeli A jest końcem tego reprezentanta, to
wektor a można utożsamiać z wektorem OA wodzącym punktu A i z jego
współrzędnymi. Mamy zatem
a = OA = (xA, yA, zA) = (xa, ya, za),
gdzie liczby rzeczywiste xa, ya, za są współrzędnymi wektora a .
0 (0,0,0)
Wektor nazywamy wektorem zerowym, wektor a ( xa, ya, za)
wektorem przeciwnym do wektora a .
Podobnie definiujemy wektory na płaszczyz
nie.
a,b
2A+B3 (Wektory współliniowe). Wektory są współliniowe (równoległe), co
oznaczamy a || b , gdy istnieje jedna lub dwie równoległe proste, w których
zawarte są te wektory. Stąd mamy warunek współliniowości:
xa ya za
a || b a b lub b a , gdzie jest liczbÄ… .
xb yb zb
a,b,c
2A+B4 (Wektory współpłaszczyznowe). Wektory są współpłaszczyznowe,
gdy są zawarte w jednej lub równoległych płaszczyznach. Warunek
xa ya za
xb yb zb 0 jest warunkiem współpłaszczyznowości wektorów .
a,b,c
xc yc zc
2A5 (Definicja: długość wektora). Długość a wektora a jest określona
wzorem
a xa2 ya2 za2.
2A+B6 (Definicja: rzut wektora). Rzut Pb a wektora a na wektor b określamy
wzorem Pb a a cos( ab), gdzie ( ab) oznacza kąt między wektorami a i
b .
Uwaga. Współrzędne wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych.
2B7 (Ćwiczenie). Podać własności długości oraz rzutów wektorów.
2A8 (Definicja: wersory). Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.
Najbardziej znany są wersory i (1,0,0) j (0,1,0) k (0,0,1) położone
, ,
odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych.
2A+B9 (Podział odcinka w podanym stosunku). Niech C będzie punktem
podziału odcinka AB w stosunku 1: , gdzie 0 , tzn. CB AC . Wtedy
współrzędne tego punktu wyrażają się wzorami:
xA xB yA yB zA zB
xC , yC , zC . W postaci wektorowej mamy
1 1 1
1
OC ( OA OB) . Punkt C jest środkiem odcinka AB w szczególnym
przypadku gdy 1.
Ćwiczenie (B+C). Określić podział odcinka w podanym stosunku dla .
2A+B10 (Iloczyn skalarny). Iloczyn skalarny a b wektorów a (xa, ya, za) i
b (xb, yb, zb) określamy wzorem
a b a b cos ( ab).
Przykłady: i i j j k k 1, i j j k i k 0 (tu i dalej wektory
i, j, k oznaczajÄ… wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz. .
Własności iloczynu skalarnego:
2
1) a b b a ; 2) ( a) b (a b) a ( b) ; 3) a a a ;
4) (a b) c a c b c ; 5) a b a b ;
6) a b 0 wektory a i b są prostopadłe (tu a, b, c są wektorami, ).
Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu skalarnego:
a b xa xb ya yb za zb .
2A+B11 (Iloczyn wektorowy). Niech wektory a (xa, ya, za) b (xb, yb, zb) ,
,
c (xc, yc, zc) tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu
xa ya za
c
współrzędnych tzn. xb yb zb 0 . Wtedy wektor nazywamy iloczynem
xc yc zc
wektorowym uporządkowanej pary wektorów a i b , co oznaczamy c a b,
jeżeli spełnione są warunki:
c
1) wektor jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach a i b ;
2) długość c wektora c jest równa polu równoległoboku rozpiętego na
wektorach a i b: c a b sin ( ab) ;
3) orientacja wektorów a,b,c jest zgodna z orientacja układu współrzędnych
Oxyz.
Przykłady:
i i j j k k 0, i j k j i, j k i k j, k i j i k .
Własności iloczynu wektorowego:
1) a b b a ; 2) ( a) b (a b) a ( b); 3) a a 0;
4) (a b) c a c b c, a (b c) a b a c ; 5) a b a b ;
6) a b 0 wektory a || b wektory a i b są równoległe (tu a, b, c są
wektorami, ).
Stąd mamy wzór do obliczania iloczynu wektorowego:
i j k
def
ya za xa za xa ya
c a b xa ya za i j k ,
yb zb xb zb xb yb
xb yb zb
gdzie pierwszy  wyznacznik obliczamy przez rozwinięcie względem
pierwszego wiersza.
2A+B12 (Iloczyn mieszany). Iloczyn mieszany (a,b,c) lub abc wektorów
a (xa, ya, za) b (xb, yb, zb) c (xc, yc, zc) określamy wzorem
, ,
def
abc (a,b,c) (a b) c .
Własności iloczynu mieszanego:
1) abc bc a cab bac cba acb ;
2) interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego: iloczyn mieszany abc
wektorów a,b,c jest równy (z dokładnością do znaku) objętości
równoległościanu D rozpiętego na tych wektorach: D abc ;
3) abc 0 wektory a,b,c są współpłaszczyznowe;
4) wzór do obliczania iloczynu mieszanego:
xa ya za
abc xb yb zb , skąd można otrzymać inne własności iloczynu mieszanego.
xc yc zc
2B+C13 (Ćwiczenie: zastosowania rachunku wektorowego). Podać przykłady:
środek masy i momenty bezwładności układu punktów materialnych, moment
siły itd.
Podobnie rozpatrujemy rachunek wektorowy na płaszczyz
nie.
Zbiór reprezentantów wszystkich wektorów przestrzeni przez współrzędne tych
3 n
reprezentantów można utożsamiać z i ogólniej przestrzeń utożsamiamy
z przestrzenią wektorową n-wymiarową, której elementy będziemy nazywali
wektorami (n-wektorami kolumnowymi). Przy oznaczaniu tych wektorów
strzałki będziemy opuszczali.
n
2A+B14 (Współrzędne wektora w bazie). Bazą przestrzeni nazywamy zbiór
n liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy każdy wektor
przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazy.
Współczynniki tej kombinacji (to jest rozwinięcia wektora w bazie) dla danego
wektora są wyznaczone jednoznacznie i nazywa się współrzędnymi wektora w
tej bazie. Wektory tworzą bazę standardową (kanoniczną) jeżeli macierz o
kolumnach, których elementy są odpowiednio współrzędnymi tych wektorów
jest jednostkowa. Współrzędne wektora w podanej bazie obliczamy jako
współczynniki odpowiedniej kombinacji liniowej w rozwinięciu wektora w tej
bazie, co sprowadza się do rozwiązywania pewnego układa Cramera.
2.3. PÅ‚aszczyzna w przestrzeni
3
Niech w przestrzeni będzie ustalony układ współrzędnych Oxyz. Wtedy
równanie (przy dodatkowych założeniach)
F x, y, z 0
jest równaniem powierzchni w tej przestrzeni. Powierzchnię tę określamy jako
3
zbiór punktów M (x, y, z) w , których współrzędne x, y, z spełniają to
równanie. Najprostszą powierzchnią jest płaszczyzna, którą można określić
różnymi sposobami. W zależności od sposobów rozpatrujemy różne równania
płaszczyzny.
2A+B15 (Równania płaszczyzny).
15.1. Równanie normalne płaszczyzny przechodzącej przez punkt
M0 x0, y0, z0 i prostopadłej do wektora n A, B,C 0
.
Wektor n A, B,C 0 nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny jeżeli
jest on prostopadły do tej płaszczyzny tzn. do dowolnego wektora zawartego w
tej rðpÅ‚aszczyz
nie. Jeżeli wektor n jest wektorem normalnym to i wektor
n A, B, C będzie normalnym wektorem płaszczyzny . Niech
M x, y, z będzie dowolnym punktem płaszczyzny . Wtedy wektor
rð
M M x x0 , y y0 , z z0
jest prostopadły do wektora n A, B,C skąd
0
biorąc pod uwagę 2A+B10 otrzymamy równanie płaszczyzny (rys. 1)
rð
n A, B,C
M x, y, z
M0 x0, y0, z0
Rys. 1. Płaszczyzna o równaniu A x x0 B y y0 C z z0 0 .
przechodzącej przez punkt M0 x0, y0, z0 i prostopadłej do wektora n :
: A x x0 B y y0 C z z0 0 , (1)
gdzie A2 B2 C2 0.
Uwaga. Przy dowolnych A, B,C , gdzie A2 B2 C2 0, równanie (1) określa
pęk płaszczyzn przechodzących przez punkt M0 x0, y0, z0 .
Następnie niech r0, r będą wektorami wodzącymi punktów odpowiednio
M0 x0, y0, z0 , M x, y, z . Wtedy mamy równanie normalne płaszczyzny w
postaci wektorowej:
: n (r ro) 0 . (2)
W równaniu (2) wektor normalny n A, B,C zastąpimy wersorem n gdzie
1 1
i znak wybieramy przeciwny do wyrazu wolnego
n
A2 B2 C2
D. Wtedy otrzymamy równanie normalne płaszczyzny :
x cos y cos z cos p 0, (3)
gdzie , , są kątami między normalnym wektorem i wersorami odpowiednio
na osiach Ox, Oy, Oz oraz p jest odległością początku układu współrzędnych od
polszczyzny.
15.2. Równanie ogólne płaszczyzny .
Oznaczamy D Ax0 By0 Cz0 . Wtedy równanie (1) płaszczyzny
przyjmuje postać
: Ax By Cz D 0 , (4)
która jest prostopadła do wektora n A, B,C 0 (normalnego wektora
płaszczyzny).
3
Twierdzenie. Przy ustalonym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni
liniowe równanie (4) przedstawia płaszczyznę i na odwrót każdą płaszczyznę w
tej przestrzeni można opisać przez równanie (4).
Przykłady:
1) A 0 czyli By Cz D 0 równanie płaszczyzny równoległej do osi Ox
(wektor normalny n 0, B,C 0 jest prostopadły do osi Ox: n Ox );
2) B 0 czyli Ax Cz D 0 równanie płaszczyzny równoległej do osi Oy
( n A,0,C Oy );
3) C 0 czyli Ax By D 0 równanie płaszczyzny równoległej do osi Oz
( n A, B,0 Oz);
4) D 0 czyli Ax By Cz 0 równanie płaszczyzny przechodzących przez
początek układu współrzędnych;
5) A B 0 czyli Cz D 0 równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Oz
(równoległej do płaszczyzny Oxy: n 0,0,C || Oz );
6) A C 0 czyli By D 0 równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Oy
(równoległej do płaszczyzny Oxz);
7) B C 0 czyli Ax D 0 równanie płaszczyzny prostopadłej do osi Ox
(równoległej do płaszczyzny Oyz);
8) A D 0 czyli By Cz 0 równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś
Ox ;
9) B D 0 czyli Ax Cz 0 równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś
Oy ;
10) C 0 czyli Ax By 0 równanie płaszczyzny przechodzącej przez oś
Oz;
11) A B D 0 czyli Cz 0 z 0 równanie płaszczyzny pokrywającej
się z płaszczyzną Oxy;
12) A C D 0 czyli By D 0 y 0 równanie płaszczyzny
pokrywającej się z płaszczyzną Oxz;
13) B C D 0 czyli Ax D 0 x 0 równanie płaszczyzny
pokrywającej się z płaszczyzną Oyz.
15.3. Równanie odcinkowe płaszczyzny .
Jeżeli A 0, B 0, C 0 oraz D 0 , równanie (4) można sprowadzić do
postaci
x y z
: 1, (5)
a b c
D D D
gdzie a , b , c . (5) jest wtedy równaniem płaszczyzny
A B C
odcinającej na osiach układu współrzędnych odcinki (zorientowane) o
długościach odpowiednio a, b,c,.
15.4. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty
M1 x1, y1, z1 , M x2 , y2 , z2 , M3 x3, y3, z3 .
2
Nich M x, y, z będzie dowolnym punktem płaszczyzny . Wtedy wektory
M1M x x1, y y1, z z1 , M1M x2 x1, y2 y1, z2 z1 ,
2
M1M x3 x1, y3 y1, z3 z1 są współpłaszczyznowe (rys. 2)..
3
M M
2
M1 M3
Rys. 2. Płaszczyzna przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty.
Korzystając z warunku współpłaszczyznowości wektorów otrzymamy
równanie tej płaszczyzny
x x1 y y1 z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0. (6)
x3 x1 y3 y1 z3 z1
15.5. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty M1 x1, y1, z1 ,
rð
M x2 , y2 , z2 i równoległej do wektora a a1, a2, a3 .
2
rð
Jeżeli wektory a i M1M x2 x1, y2 y1, z2 z1 nie są współliniowe (rys.
2
3) to otrzymujemy równanie tej płaszczyzny:
x x1 y y1 z z1
: x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 (7)
a1 a2 a3
M M
2
M1
rð
a
Rys.3. Płaszczyzna równoległa do wektora a i przechodzą przez
punkty M1 , M2 .
15.6. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M1 x1, y1, z1 i
b b1, y2, z3
równoległej do dwu niewspółliniowych wektorów a a1,a2,a3 , .
Niech punkt M x, y, z należy do płaszczyzny . Wtedy wektory (rys. 4)
rð
b b1, y2, z3 M1M x x1, y y1, z z1
a a1, a2, a3 , , sÄ…
współpłaszczyznowe. Z warunku 2A+B4 współpłaszczyznowości otrzymamy
x x1 y y1 z z1
: a1 a2 a3 0 (8)
b1 b2 b3
A M
rð
a
M1 B
rð
b
Rys.4. Płaszczyzna przechodzą przez punkt M1 i równoległa do dwu
niewspółliniowych wektorów a i b .
15.7. Równanie parametryczne płaszczyzny .
Niech dowolny punkt M x, y, z o wektorze wodzącym r należy do
płaszczyzny przechodzącej przez punkt M1 x1, y1, z1 i rozpiętej na
rð
niewspółliniowych wektorach a a1, a2, a3 , b b1, y2, z3 . Wtedy wektory
a i b tworzÄ… bazÄ™ w wektor r r M1M x x1, y y1, z z1 o
0
wektorze wodzącym r możemy przedstawić jako kombinację liniową
0
rð
rð
M1M ua vb tych wektorów (równanie wektorowe)
: r r ua vb
0
czyli w rozwiniętej formie (równanie parametryczne)
x x1 ua1 vb1,
: y y1 ua2 vb2, (9)
z z1 ua3 vb3,
gdzie u i v sÄ… parametrami.
2A+B16 (Wzajemnie położenie dwu płaszczyzn).
Kąt między płaszczyznami nazywamy kąt ostry między wektorami normalnymi
tych płaszczyzn. Przyjmujemy, że kąt między płaszczyznami równoległymi jest
równy 0.
Kąt między płaszczyznami , i o wektorach normalnych odpowiednio
1 2
n1 (A1, B1,C1) n2 (A2, B2,C2) wyraża się wzorem
i
A1A2 B1B2 C1C2 n1 n2
cos lub ( , ) arccos . (10)
1 2
2 2 2 2 2 2
n1 n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
StÄ…d mamy
Twierdzenie. Niech
: A1x B1 y C1z D1 0,
1
: A2 x B2 y C2 z D2 0.
2
Wtedy
A2 B2 C2 D2
1. pokrywa siÄ™ z .
1 2
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
2.
1 2
A1 B1 C1 D1
n1 n2
tzn. (rys. 8).
3. Płaszczyzny i są nierównolegle
1 2
A2 B2 B2 C2 A2 C2
4. lub , lub .
A1 B1 B1 C1 A1 C1
5. (rys. 9) n n A1A2 B1B2 C1C2 0 .
1 2
1 2
n1
1 2
n2
n2
2 1
n1
Rys. 8. . Rys. 9. .
1 2 1 2
2A+B17 (Odległość punktu od płaszczyzny).
Odległość punktu M0 (x0, y0, z0) od płaszczyzny : Ax By Cz D 0,
gdzie A2 B2 C2 0, wyraża się wzorem (A):
Ax0 By0 Cz0 D
d(M0, ) .
A2 B2 C2
Odległość punktu M od płaszczyzny jest równa długości odcinka M0M0 ',
gdzie P' jest rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę .
Odległość między płaszczyznami równoległymi i o równaniach
1 2
: Ax By Cz D1 0, : Ax By Cz D2 0
1 2
wyraża się wzorem (B):
D1 D2
d( , ) .
1 2
A2 B2 C2
2A+B18 (Definicja: rzut punktu na płaszczyznę).
Rzutem prostokątnym punktu M na płaszczyznę nazywany punkt M ' tej
płaszczyzny spełniający warunek:
MM ' .
2.4. Prosta w przestrzeni
2A+B19 (Równania prostej).
19.1. Równanie parametryczne prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez
punkt P0 (x0, y0, z0) o wektorze wodzÄ…cym r0 i wyznaczonej przez niezerowy
wektor kierunku v (a,b,c) ma postać:
l : r r0 tv, gdzie t
lub po rozpisaniu na współrzędne:
l : (x, y, z) (x0, y0, z0) t(a,b,c), gdzie t .
Powyższą zależność nazywany równaniem parametrycznym prostej w postaci
wektorowej. Inny zapis tego równania ma postać
x x0 at,
l : y y0 bt, gdzie t .
z z0 ct,
Uwaga. Powyższe równania będą przedstawiały półproste lub odcinek, gdy
parametr t będzie przebiegał odpowiednio przedziały
( , ], [ , ) lub [ , ].
19.2. Równanie kierunkowe prostej. Równanie prostej l przechodzącej przez
punkt P0 (x0, y0, z0) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku
v (a,b,c) ma postać
x x0 y y0 z z0
l :.
a b c
Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem
kierunkowym.
Uwaga (B). Aby nie ograniczyć zakresu stosowania równania kierunkowego
prostej przyjmujemy, że w mianownikach powyższych ułamków mogą wystąpić
zera.
19.3. Równanie krawędziowe prostej. Prostą l , która jest częścią wspólną
dwóch nierównoległych płaszczyzn : A1x B1y C1z D1 0,
1
: A2x B2 y C2z D2 0 , będziemy zapisywać w postaci:
2
A1x B1y C1z D1 0,
l :
A2x B2y C2z D2 0.
Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.
Uwaga. Wektor kierunkowy prostej
A1x B1y C1z D1 0,
l :
A2x B2y C2z D2 0.
ma postać
v (A1, B1,C1) (A2, B2,C2).
2A+B20 (Rzut punktu na prostÄ…).
Rzutem prostokÄ…tnym punktu P na prostÄ… l nazywamy punkt P' tej prostej
spełniający warunek:
PP' l.
Uwaga. W podobny sposób definiuje się rzut ukośny punktu na płaszczyznę lub
na prostÄ… w kierunku ustalonego wektora.
2A+B21 (Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny).
Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny nazywamy kąt , gdzie
2
jest kątem ostrym między wektorem normalnym n płaszczyzny i
wektorem kierunkowym v prostej l . Jeżeli prosta jest równoległa do
płaszczyzny, to przyjmujemy, ze kąt jej nachylenia do tej płaszczyzny jest
równy 0.
Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny o
wektorze normalnym n wyraża się wzorem:
n v
(l, ) arcsin .
n v
2A+B22 (Kąt między prostymi).
Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utworzony przez wektory
kierunkowe tych prostych. Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi
jest równy 0.
Kąt między prostymi l1, l2 o wektorach kierunkowych odpowiednio v1 i v2
wyraża się wzorem
n v
(l1,l2) arccos .
n v
2A+B+C23 (Wzajemnie położenie dwu prostych). Niech
v1 a1,b1,c1 , v2 a2,b2,c2 będą wektorami kierunkowymi prostych l1 i l2
przechodzÄ…cych odpowiednio przez punkty M1 x1, y1, z1 i M2 x2, y2, z2 .
Wtedy
a1 b1 c1
23.1(A). l1 l2 v1 v2 .
a2 b2 c2
23.2(A). l1 l2 v1 v2 a1a2 b1b2 c1c2 0 .
23.3(B). l1il2 są zawarte w jednej płaszczyz
nie
x2 x1 y2 y1 z2 z1
a1 b1 c1 0 .
a2 b2 c2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
23.4(C). l1 i l2 są skośne a1 b1 c1 0 .
a2 b2 c2
2A+B24 (Odległość punktu od prostej). Odległość punktu M0 x0, y0, z0 od
x x1 y y1 z z1
prostej o równaniu obliczamy ze wzoru
a b c
r1 r0 v
d ,
v
gdzie v a,b,c r0 r1
, i są wektorami wodzącymi odpowiednio punktów
M0 x0, y0, z0 , M1 x1, y1, z1 (rys. 10).
Odległość d jest równa wysokości równoległoboku rozpiętego na wektorach
r1 r v .
i
0
 a
M0
r1 r r0
d
0
M1 r1
O
Rys. 10. Odległość punktu od prostej.
2B+C25 (Odległość między prostymi).
25.1. Odległość między równoległymi prostymi
x x1 y y1 z z1 x x2 y y2 z z2
l1: i l2 :
a1 b1 c1 a2 b2 c2
wyraża się wzorem
r2 r1 v1 r2 r1 v2
d .
v1 v2
25.2. Odległość między prostymi skośnymi l1 i l2 wyraża się wzorem
r2 r1 v1 v2
d , gdzie v1 a1,b1,c1 v2 a2,b2,c2 r2 r1
, ; i sÄ… wektorami
v1 v2
wodzącymi odpowiednio punktów M2 x2, y2, z2 i M1 x1, y1, z1 .
3
Uwaga. Wiemy z 2A+B15 że równanie liniowe (4) w przestrzeni określa
płaszczyznę. Analogiczne równanie liniowe Ax By C 0, gdzie
A2 B2 0 , określa prostą na płaszczyz
nie. Więcej informacji o geometrii
2
analitycznej w płaszczyz
nie można przeczytać w skrypcie
Tereza Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1, GiS, Wrocław,
2002, s. 148-159.