Temat III  geometria 3D (wektory) - wILIÅš - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
Na zaj¸ rozwi¸ tylko niektóre z poniższych zadaÅ„. Zadania nierozwi¸ na tablicy należy przerobić
eciach ażemy azane
samemu w domu.
Ogólne własności wektorów
Zadanie 1. Znajdz
współrz¸ wektorów:
edne

a) AB, gdzie A = (2, 3, 1), B = (3, 1, 2), b) AB, gdzie A = (2, -1, -7), B = (2, 5, -6).
Zadanie 2. Oblicz:
a) = - 2 gdzie = [3, 0, 7], = [-2, -1, 1],
c a b, a b
b) = 3 + 5 gdzie = [2, 7, 8], = [-1, -2, 2],
c a b, a b
c) = 2 - 3 + 4
c i j k.
Zadanie 3. Niech A = (-1, 2, 5) oraz B = (1, 6, -3). Znajdz
współrz¸ Å›rodka odcinka AB.
edne
Zadanie 4. Wiadomo, że punkt P = (0, 0, 0) dzieli odcinek AB w stosunku 1:3. Znajdz
współrz¸ punktu
edne
B jeżeli A = (-1, 2, 3).
Zadanie 5. Znajdz
długości wektorów:
" " "
a) = [-3, 0, 4], b) = [ 2, 3, 31], c) = 2 - 3 + 5
u v u i j k,

d) AB, gdzie A = (2, 1, -3), B = (-1, 1, 4), e) AB, gdzie A = (1, 2, 3), B = (4, 6, 15).
Zadanie 6. Znajdz
wersory równoległe do:
a) = [4, 0, -2], b) P Q, gdzie P = (1, 2, 3), Q = (3, 2, 1).
u
Iloczyn skalarny
Zadanie 7. Oblicz iloczyny skalarne:

a) = [-1, 5, 2], = [3, 0, 7], b) = i - j + k, = 3 - 2
a b u v i k,
c) = 3 - 2 b = p - 5 gdzie p i q s¸ wzajemnie prostopadÅ‚ymi wersorami.
a p q, q a
Zadanie 8. Odpowiedz na pytania:
a) ile wynosi · jeżeli Ä„"
u v u v?
b) ile wynosi · jeżeli ?
u v u v
c) ile wynosi · jeżeli =
u v u v?
Zadanie 9. Znajdz
dÅ‚ugość jeżeli = 5 - 4 i p oraz q s¸ wzajemnie prostopadÅ‚ymi wersorami.
a a p q a
Zadanie 10. Oblicz k¸ mi¸ parami wektorów:
aty edzy
a) = [3, -1, 2], = [4, 2, -5], b) = [3, -1, 2], = [1, 2, 3].
u v u v
Temat III  geometria 3D (wektory) - wILIÅš - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
Zadanie 11. Wiadomo, że = [1, 2, 3] i = [2, 3, a]. Znajdz
wartości a dla których:
u v
a) Ä„" , b) | = | |.
u v u| v
Iloczyn wektorowy
Zadanie 12. Oblicz iloczyny wektorowe:

a) = [-1, 3, 2], = [-1, 2, -5], b) p = 2 + k, q = i - j + 3
a b j k,
c) = [-1, 2, 5], = [2, 0, -3], d) = [1, 2, 3], = [2, 4, 6].
u v a b
Zadanie 13. Ile wynosi × jeżeli: a) = b)
u v u v, u v.
Zadanie 14. Znajdz
pola podanych obszarów:
a) równolegÅ‚obok rozpi¸ na wektorach = [0, 3, -2], = [-1, 2, 5],
ety u v
b) trójk¸ rozpi¸ na wektorach = [0, 3, -2], = [-1, 2, 5],
at ety u v
c) trójk¸ o wierzchoÅ‚kach A = (1, 2, 3), B = (0, -1, 2), C = (0, 4, 0),
at
d) równoległobok o trzech kolejnych wierzchołkach A = (1, 0, 1), B = (3, -1, 5), C = (-1, 5, 0),
e) pole powierzchni równolegÅ‚oÅ›cianu rozpi¸ na wektorach = [2, -1, 1], = [0, 3, 1], w = [1, 1, 0],
etego u v
f) pole powierzchni czworoÅ›cianu rozpi¸ na wektorach = [2, -1, 1], = [0, 3, 1], w = [1, 1, 0].
etego u v
Zadanie 15. Oblicz:
a) |( + 2 × (4 - wiedz¸ że | × = 6,
a b) a b)| ac, a b|
b) |( + × ( - wiedz¸ że | × = 5.
a b) a b)| ac, a b|
Zadanie 16. Oblicz pole równolegÅ‚oboku rozpi¸ na wektorach p i q jeżeli wiadomo, że pole równolegÅ‚oboku
etego

rozpi¸ na wektorach = 2 + 4 i b = p - q wynosi 12.
etego a p q
Zadanie 17. Wiadomo, że pole równolegÅ‚oboku rozpi¸ na wektorach p i q wynosi 7. Oblicz pole trójk¸
etego ata

rozpi¸ na wektorach = 2 + q i b = p - 3
etego a p q.
Zadanie 18. Wiadomo, że = [1, 2, 3] i = [2, 3, a]. Znajdz
wartości a, dla których
u v u v.
Iloczyn mieszany
Zadanie 19. Oblicz iloczyny mieszane z definicji:
a) = [1, 1, 0], = [0, 1, 1], w = [1, 0, 1],
u v
b) = [-2, 1, 3], = [4, 3, -1], w = [1, 0, -2].
u v
Zadanie 20. Oblicz iloczyny mieszane korzystaj¸ z wyznacznika:
ac
a) = [3, -2, 5], = [1, -1, 3], w = [-2, 2, 1],
u v
b) = [1, 4, -1], = [3, 2, 0], w = [0, 0, -3].
u v
Temat III  geometria 3D (wektory) - wILIÅš - A. Patyk-A
ońska, CNMiKnO PG
Zadanie 21. Wiedz¸ że ( q, = 3, oblicz iloczyn mieszany ( + 2 - q,
ac p, r) p q, p r).
Zadanie 22. Spawdz
, czy wektory lub punkty leż¸ wzdÅ‚uż tej samej prostej:
a
a) = [1, -1, 2], = [0, 4, -1], = [2, 2, 3],
a b c
b) P = (1, 1, 1), Q = (0, 1, 2), R = (-1, 3, 0), S = (5, 0, -4).
Zadanie 23. Znajdz
obj¸ bryÅ‚:
etości
a) równolegÅ‚oÅ›cian rozpi¸ na wektorach = [1, -1, 2], = [0, 3, -2], = [-1, 5, 0],
ety a b c
b) równoległościan ABCDEF GH, gdzie:
A = (1, 0, 3), B = (1, 2, 0), D = (3, 0, 4), E = (0, -1, 3),
c) czworościan o wierzchołkach P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 3), R = (-1, 1, 0), S = (0, 0, 1),
d) czworoÅ›cian rozpi¸ na wektorach = [1, 1, 1], = [1, -1, 0], = [-1, 3, -2].
ety a b c