Wydział ILiŚ, Budownictwo, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Zastosowania geometryczne całki
Zad.1 Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:
1.1 parabolÄ… y = x2 i prostÄ… y = 4 ;
1.2 parabolÄ… y = x2 i prostÄ… y = x ;
1.3 krzywÄ… y = ln x i prostymi x = e i y = 0 ;
1.4 Å‚ukiem sinusoidy y = sin x dla x " [0, Ä„] i prostÄ… y = 0 ;
2
1.5 y = x2 , y = ;
1+x2
1.6 y = ex , y = e-x , y = 4 ;
1.7 y2 = 4 - 2x , x + y = -2 ;
1 x
1.8 y = , y = , x = -1 ;
3+x2 4
1.9 y = x2 - 2x - 3 , y = x + 1 ;
1.10 y = |x2 + x - 6| , y = 9 - x2 ;
1.11 y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 ;
1.12 y = ln(x + 6) , y = 3 ln x , x = 0 , y = 0 ;
1.13 y = arctg x , y = 1 - ex , x = 1 ;
"
1
1.14 y = - -x , y = , y = -2 ;
x
Ä„
1.15 y = cos5 x sin 2x , x = 0 , x = , y = 0 ;
2
3
1.16 y = , y = 0 ;
3+x2
1
"
1.17 y = dla x 1 , x = 1 , y = 0 ;
x
Zad.2 Oblicz pole między krzywymi w postaci parametrycznej a osią 0X:
" "
2.1 x = 1 - t, y = 2 - t dla t " [1, 4] ;
1
2.2 x = 2 + ln t, y = 2 ln t dla t " [ , 1] ;
e2
"
2.3 x = t, y = 4t - t2 dla t " [0, 4] ;
Ä„
2.4 x = 5 sin2 t, y = 4 cos2 t dla t " [0, ] ;
2
2.5 x = t - sin t, y = 1 - cos t dla t " [0, 2Ä„] ;
2.6 x = sin3 t, y = cos3 t dla t " [0, 2Ä„] ;
Zad.3 Oblicz pola figur wewnÄ…trz krzywych:
3.1 r = 2 - sin 3Õ dla Õ " [0, 2Ä„] ;
Ä„
3.2 r = sin 2Õ dla Õ " [0, ] ;
2
"
3.3 r = sin Õ cos2 Õ dla Õ " [0, Ä„] ;
3.4 r = 1 + 2 sin2 Õ dla Õ " [0, 2Ä„] ;
Zad.4 Oblicz długość łuku krzywej:
3
2
2
4.1 y = x - 2 dla x " [0, 3] ;
3
x2 1
4.2 y = - ln x dla x " [1, e] ;
4 2
"
4.3 y = ln x dla x " [1, 3] ;
Ä„
4.4 y = ln(cos x) dla x " [0, ] ;
3
"
"
1+
1
"x
4.5 y = 2 ln - 4 x dla x " [0, ] ;
1- x 4
"
4.6 y = arcsin x + 1 - x2;
1
4.7 y = (ex + e-x) dla x " [0, 1] ;
2
"
"
1
4.8 y = arcsin x + x - x2 dla x " [ , 1] ;
4
4.9 x = t2 + 2t, y = t2 - 2t + 1 dla t " [0, 1] ;
" "
9 16
4.10 x = 2 t + ln t, y = 2 t - ln t dla t " [16 , ] ;
9
4.11 x = t - sin t, y = 1 - cos t dla t " [0, 2Ä„] ;
4.12 x = cos t + t sin t, y = sin t - t cos t dla t " [0, 2Ä„] ;
4.13 r = Õ4 dla Õ " [0, 3] ;
Õ
2
4.14 r = e dla Õ " [0, 4] ;
4.15 r = cos Õ dla Õ " [0, Ä„] ;
Zad.5 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej dookoła osi OX:
"
5.1 y = x + 2 dla x " [1, 2] ;
Ä„
5.2 y = tg x dla x " [0, ] ;
4
5.3 y = 9 - x2 dla x " [-3, 3] ;
"
5.4 y = sin x dla x " [0, Ä„2] ;
5.5 y = 2x - x2 dla x " [0, 2] ;

4x
5.6 y = dla x " [0, 1] ;
x2-2x+5
5.7 y = ln x dla x " [1, e2] ;
"
5.8 y = x e-x dla x 0 ;
"
5.9 x = e - et, y = t dla t " [0, 1] ;
5.10 x = t + ln t, y = t2 + 2t dla t " [1, 2] ;
Zad.6 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywymi:
6.1 y = ln x , y = 1 - x , y = 1 ;
Ä„
6.2 y = sin x , y = cos x dla x " [0, ] ;
4
6.3 y = x + |x| , y = x + 1 ;
Zad.7 Oblicz pole powierzcni bocznej bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej:
1
7.1 y = x3 dla x " [-1, 1] ;
3
"
7.2 y = x dla x " [0, 4] ;
Ä„
7.3 y = tg x dla x " [0, ] ;
4
7.4 x = t, y = t3 dla t " [0, 1] ;
7.5 x = t - sin t, y = 1 - cos t dla t " [0, 2Ä„] ;