ZASTOSOWANIE FRAKTALI DO POZYSKIWANIA WIEDZY
O RYNKACH KAPITAA
OWYCH
MICHAA
JAKUB A
UCZAK
Wydział Informatyki Politechniki Szczeci skiej
Streszczenie
W pracy tej zaprezentowano trzy metody predykcji szeregów czasowych oparte
na fraktalach oraz teorii chaosu. Zagadnienie to zostało odniesione do problemu in-
westowania na giełdzie oraz minimalizacji ryzyka zmian stóp zwrotu. Omawiane me-
tody nie tylko stanowi efektywne narz dzia analizy giełdowej, lecz równie dosko-
nale nadaj si do zastosowania w systemach ekspertowych.
Summary
In this work three methods of the prediction of time series have been presented
which were based on the theory of fractals and mathematics of chaos. It was related
to the problem of investing on the stock exchange and minimalisation the risk of the
return rates changes. Discussed methods are not only the effective tools of the stock
market analysis, but also they suit perfectly to the implementation in expert systems.
1. Wst p
Rynek kapitałowy współczesnej demokracji to wielki mechanizm obrotu pieni dzmi. Tu ro-
dz si i umieraj fortuny. Jednego dnia mo na by milionerem, drugiego ebrakiem. Aby cho
troch okiełzna nieubłagany mechanizm rynkowy, stworzono szereg teorii maj cych na celu
wytłumaczenie zmian ilustrowanych ruchami indeksów giełdowych. Zasadniczo mo na wyró ni
dwa główne nurty. Pierwszy z nich (analiza techniczna) zajmuje si badaniem przeszłych warto ci
i czynników je determinuj cych. Drugi (analiza fundamentalna) bada aktualn pozycj firmy na
rynku. Obie próbuj odgadn przyszł warto waloru w nast pnym dniu, tygodniu, miesi cu.
Jest jednak jeszcze jedna koncepcja stoj ca jednak e nieco na uboczu tradycyjnej ekonomii.
Analizuje ona dotychczasowe przebiegi czasowe, ustala długo ycia informacji zawartej w sys-
temie oraz prognozuje tendencje układu do zmian. Teoria ta nie próbuje odgadn zmiany waloru
w krótkim okresie czasu. Zamiast tego prognozuje o wiele wa niejsze długoterminowe trendy, a
opiera si ona na niezwykłej teorii fraktali.
Celem niniejszego artykułu jest dyskusja u yteczno ci metod fraktalnych do minimalizacji ry-
zyka w inwestycjach kapitałowych.
2. Teoria fraktali
Dwa tysi ce lat po teoriach Platona, trzysta lat po odkryciach Newtona i po trzydziestu latach
upartego przekonywania ludzi o swojej racji Benoit Mandelbrot formułuje rewolucyjn zasad
opisu przyrody porównywaln z zasadami ruchów regularnych. Wyra aj c wiedz posiadan przez
ka de dziecko i ka dego wielkiego malarza Mandelbrot zauwa ył, e:  Chmury nie s kulami,
góry nie s sto kami, wybrze e morskie to nie koło, szczekni cie psa nie jest łagodnym d wi -
kiem, a błyskawica nie zakre la linii prostej"'.
To, co Mandelbrot nazwał geometri fraktaln , opisuje nie tylko zygzakowaty kształt błyska-
wic i g stwin drzew w lasach. Opisuje ona tak e nieregularno ci wskaza na rynku towarów i
98 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ
Seria: Studia i Materiały, nr4, 2005
akcji oraz dotychczas nieuchwytne opisowi prognozy trz sie ziemi, kształty płatków niegu i eli,
rozchodzenie si lawy, powstawanie i zanikanie rzek, migotania serca, powstawanie szumu elek-
tronicznego. Geometria fraktalna umo liwia zrozumienie symetrii kształtu ka dego zjawiska przy-
rody, w którym  co  si rozgał zia, rozrasta, roztrzaskuje.
Mimo i tak naprawd nikt jeszcze ostatecznie i wyczerpuj co nie zdefiniował fraktala w
universum matematyki istnieje oficjalnie przyj ta definicja (w uproszczeniu, mówi ona, i fraktal
jest podzbiorem przestrzeni Rn, którego wymiar nie jest liczb całkowit ). Brzmi ona:
Fraktal, obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny) jest
wi kszy od wymiaru topologicznego.
Poniewa definicja ta brzmi raczej tajemniczo, do u ytku cz stokro przyjmuje si najprostsz
interpretacj fraktala, która brzmi:
Fraktal to figura geometryczna, któr mo na podzieli na cz ci o takiej własno ci, e ka da z
nich stanowi pomniejszon kopie cało ci.
Aby lepiej zrozumie ten fenomen warto przez chwil przyjrze si wła ciwo ciom charakte-
ryzuj cym ka dy fraktal. Tak wi c fraktal jest:
" Samopodobny  pewien wycinek pomniejszenia jest odbiciem jego cało ci;
" Rozwija si poprzez iteracje  kolejne stadia powstania fraktala tworzone s z
kolejnych iteracji;
" Zale ny od warunków pocz tkowych  mała zmiana warunków pocz tkowych mo e
spowodowa znacz ce ró nice w warunkach ko cowych   efekt motyla ;
" Wyst puj cy w przyrodzie  jest powszechnie wykorzystywany do opisu kształtów
natury;
" Niesko czenie zło ony  ale opisywany poprzez proste algorytmy.
3. Metody predykcji szeregów czasowych
3.1. Wykładnik Hursta i analiza R/S
Jest rok 1907. Hurst jest hydrologiem stoj cym przed problemem kontroli systemu, który nie
daje si kontrolowa . Chodzi o system spustu wody na nowobudowanej tamie na Nilu. Problemem
jest takie zaprojektowanie systemu, aby poziom wody w zbiorniku zawsze zawierał si w pewnych
okre lonych widełkach. Zagadnienie to jest trywialne, je li bierzemy pod uwag system, w którym
mo emy okre li dane wej ciowe, jednak e napływ wody z dorzeczy oraz potencjalne opady maj
charakter bł dzenia przypadkowego, co czyni system nieprzewidywalnym.
Hurst w swoich badaniach rozpocz ł od pomiaru zakresu waha wokół redniego poziomu
wody. Je li wahania te byłyby losowe to do pomiaru mo na by zastosowa tradycyjne metody.
Niestety zgodnie z oczekiwaniami zakres waha zmieniał si z czasem (głównie w zale no ci od
pory roku). Chc c omin ten problem Hurst stworzył bezwymiarow miar (niezale n od czasu),
dziel c zakres waha przez odchylenie standardowe obserwacji. Taki rodzaj analizy nosi nazw
analizy przeskalowanego zakresu (rescaled range analysis  w skrócie R/S). Analiza ta w uprosz-
czeniu bada zmiany siły trendu oraz poziom szumu wraz ze zmianami odcinka czasu.
Algorytm tej metody wygl da nast puj co:
1. Ci g zwrotów N podziel na d podci gów o długo ci n (N = d*n).
Michał Jakub A
uczak 99
Zastosowanie fraktali do pozyskiwania wiedzy o rynkach kapitałowych
2. Dla podci gu m = 1..d:
" Wyznacz rednie warto ci zwrotów ( Em )oraz odchylenia standardowe ( Sm ).
" Przeskaluj zwroty odejmuj c od warto ci szeregu, warto ci rednie.
" Oblicz skumulowane przeskalowane zwroty dla całego ci gu.
" Oblicz zasi g odejmuj c warto minimaln od maksymalnej dla skumulowanych
przeskalowanych zwrotów
" Przeskaluj zasi g dziel c go przez odchylenia standardowe Rm / Sm
3. rednia warto przeskalowanego zasi gu dla podci gów o warto ci n obliczana jest
według wzoru:
d
1 R
m
( R / S ) =
n
d S
m = 1
m
(1)
Po przeskalowaniu zakresu Hurt sformułował twierdzenie, które przyjmuje posta :
R / S = (a* N)H (2)
gdzie R/S to przeskalowany zakres, N - liczba obserwacji, a - stała, H - wykładnik Hursta.
Có jednak w praktyce oznacza warto H? Otó istniej trzy przypadki: H równe 0,5 (mamy
wtedy do czynienia z szeregiem losowym, a sam przebieg ma cechy białego szumu), H mniejsze
od 0,5, oraz H wi ksze od 0,5 (naturalnymi granicami warto ci H s liczby 0 i 1).
Warto ci z przedziału <0; 0,5) oznaczaj , i mamy do czynienia z szeregiem  powracaj cym
do redniej (zwany równie antypersystentnym lub ergodycznym). Je li w danym okresie system
wychyli si w jedn stron , wyst puje wysokie prawdopodobie stwo, e w nast pnym okresie
wychyli si w stron przeciwn . Prawdopodobie stwo to jest tym wi ksze, im mniejsza jest war-
to parametru H. W rzeczywisto ci znaleziono tylko kilka naturalnych systemów poddaj cych si
takiemu rozkładowi.
Warto ci H z przedziału (0,5; 1> oznacza wyst powanie szeregu wzmacniaj cego trend (sze-
reg persystentny). System taki, jak łatwo si domy le , działa przeciwnie do omówionego wcze-
niej. Je li w danym okresie szereg wychyli si w jedn stron , istnieje prawdopodobie stwo (tym
wi ksze, im wi ksza warto parametru H), i w okresie nast pnym system wychyli si w tym
samym kierunku (pogł biaj c i podkre laj c wyst puj cy w zjawisku trend). Szeregi persystentne
nale do ułamkowych ruchów Browna i s przykładami obci onego bł dzenia przypadkowego.
Ponadto niezbicie dowiedziono, i wyst puj one cz sto w naturze, m.in. na rynkach kapitało-
wych.
Teoria, teori , ale co tak naprawd wynika z odkrycia Hursta? Jak przekłada si to na rynek
kapitałowy? Jak dzi ki temu mo na zarobi pieni dze?
Okazuje si , e analiza R/S umo liwia oszacowanie dwóch kluczowych wska ników cechuj -
cych praktycznie ka dy system.
Pierwsza z nich to mo liwo okre lenia zale no ci stanów przeszłych na stany obecne. Skoro
przeszło jest na ogół znana (i dobrze opisana) np. przez stany giełdowe to z du ym prawdopo-
dobie stwem mo na okre li rodzaj szeregu oraz wyodr bni linie trendu. W chwili, gdy jeste my
w stanie nazwa i oszacowa kierunek zmian, mamy o wiele wi ksze prawdopodobie stwo prawi-
dłowego ocenienia ryzyka inwestycyjnego.
100 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ
Seria: Studia i Materiały, nr4, 2005
Druga zaleta tego modelu to mo liwo przewidzenia nagłej, gwałtownej zmiany systemu
(wyci gni cie jokera). O ile tradycyjne systemy koncentruj si na warto ciach typowych i ignoru-
j kryzysy jako co nieprzewidywalnego, o tyle analiza R/S umo liwia oszacowanie czasu gra-
nicznego, w którym pami systemu zanika (wymiar fraktalny zaczyna ponownie oscylowa wo-
kół warto ci 0,5), a dane ponownie staj si losowe (w praktyce oznacza to odwrócenie tendencji
w systemie). Innymi słowy mówi c analiza sprzyja szacowaniu redniej długo ci ycia trendu.
3.2. Dynamiczna analiza szeregów czasowych
System dynamiczny to system nieliniowego sprz enia zwrotnego. Jego najistotniejszymi
własno ciami s wra liwo na zmiany warunków pocz tkowych, obecno poziomów krytycz-
nych oraz posiadanie wymiaru fraktalnego.
Sam proces dochodzenia do ostatecznego wyniku jest procesem niezwykle skomplikowanym,
wymagaj cym eksperymentalnego doboru wielu zmiennych. W tym momencie przedstawiono
tylko ogólny zarys algorytmu, po szczegóły odsyłam do literatury (Peters E., TEORIA CHAOSU
A RYNKI KAPITAA
OWE [9]).
Algorytm:
1.Wyeliminuj główny trend z szeregu.
2.Okre l równania ruchu i zrekonstruuj przestrze fazow .
" Okre l liczb równa
" Okre l liczb zmiennych
" Okre l przesuni cie czasowe
3.Oblicz wymiar fraktalny układu
4.Oblicz najwi kszy wykładnik Lapunowa
" Wybierz dwa punkty oddalone o co najmniej jeden okres orbitalny
" Oblicz odległo mi dzy nimi w czasie t i w czasie t+1
" Gdy punkty zaczynaj si wyra nie rozbiega , zast p jeden z punktów, nowym
punktem znajduj cym si jak najbli ej linii ł cz cej punkty wyj ciowe.
5.Oblicz najwi kszy wykładnik Lapunowa ze wzoru:
m
L'(t )
1
L1 = ( ) " log2 j+1 (3)
t L(t )
j=1
j
gdzie L1 to maksymalny wykładnik Lapunowa; j  kolejne badane okresów; m  liczba okre-
sów; t  okres badania; L (t)  miara odległo ci mi dzy punktem wyj ciowym, a punktem zast p-
czym; L(t)  odległo pocz tkowa mi dzy rozpatrywanymi punktami.
Załó my, e po wielu próbach udało nam si okre li mniej wi cej warto wykładnika Lapu-
nowa. Có zatem oznacza ta warto ? Wykładnik Lapunowa okre la nam po ilu dniach ga nie
pami systemu. Jego warto mówi ile bitów zdolno ci do prognozowania informacji tracimy z
ka d kolejn iteracj systemu. Owe bity dokładno ci okre laj jak du o wiemy o obecnych wa-
runkach systemu i okre laj z jak dokładno ci mo emy go aktualnie opisa . Je li przykładowo
najwi kszy wykładnik Lapunowa wyniesie 0,05 bita na dzie (iteracje), oznacza to, e z ka dym
dniem tracimy 0,05 bita zdolno ci przewidywania. Je li zatem potrafimy okre li aktualne warunki
Michał Jakub A
uczak 101
Zastosowanie fraktali do pozyskiwania wiedzy o rynkach kapitałowych
z dokładno ci do jednego bita, wiedza ta staje si bezu yteczna po dwudziestu dniach (bo 1/0,05
= 20) - warto t mo na uto samia z cyklem pami ci systemu obliczanym w analizie R/S.
W praktyce informacje te nios ze sob wiedz o tym, na ile godne zaufania s nasze progno-
zy na dany okres (o ile tylko znamy dokładne równania ruchu naszego systemu. Niestety w prak-
tyce równa tych nie znamy ze stuprocentow dokładno ci , wobec czego nie umiemy równie
okre li dokładnego wykładnika Lapunowa).
Tak naprawd obie dotychczas przedstawione koncepcje mówi o tym samym i generuj zbli-
one wyniki. Aby si o tym przekona wystarczy spojrze na tabel poni ej.
Tabela 1. Porównanie wyników analizy R/S i wykładnika Lapunowa
Wykładnik Lapunowa Cykl w miesi cach Cykl w miesi cach R/S
Lapunow
WIG 0,0046/7dni 50,7 56,9
S&P 500 0,0241/m-c 41,5 48
MSCI Niemcy 0,0168/m-c 59,5 60
MSCI Japonia 0,0228/m-c 43,8 48
MSCI Wielka Brytania 0,0280/m-c 35,7 30
ródło: Siemieniuk N., Fraktalne wła ciwo ci polskiego rynku kapitałowego, Wydawnictwo
Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok 2001, s 163
Dla indeksu S&P 500 zadawalaj ce wyniki analizy dynamicznej otrzymano dla wymiaru po-
jemno ciowego 4, przesuni cia czasowego 12 miesi cy i czasie ewolucji systemu równego sze ciu
miesi com. Najwi kszy wykładnik Lapunowa dla tych danych wyniósł 0,0241 bita na miesi c,
czyli system zatraci wszelkie informacje po 42 miesi cach. W analizie R/S otrzymano zbli ony
wynik 48 miesi cy, co ka e nie w tpi w prawdziwo wyniku.
Podobnie sprawa si ma z badaniami zmian indeksu WIG. Analiza R/S okre la warto wy-
kładnika Hursta tego indeksu na 0,70, a jego cykl na 56,9 miesi cy. Przy zastosowaniu wykładnika
Lapunowa otrzymujemy czas utraty informacji na poziomie 50,7 miesi ca, oraz utrat informacji
0,0046 bita na siedem dni.
Jak jednak w praktyce analizowa opisywane wyniki? Otó wyobra my sobie pewne przed-
si biorstwo istniej ce na rynku ju od kilkudziesi ciu lat. Załó my, e chcemy w nie długotermi-
nowo zainwestowa pewn , do znaczn sum pieni dzy. Czy jednak b dzie to opłacalna inwe-
stycja? Czy inwestowanie dzisiaj to dobra decyzja? Aby rozwikła te problemy wykorzystali my
analiz fundamentaln , która dostarczyła nam mnóstwa informacji o aktualnej kondycji firmy oraz
analiz techniczn , która zaprognozowała zmiany trendu w perspektywie kilku kolejnych miesi -
cy. Poniewa nie ufali my do ko ca tym wynikom, zamówili my dodatkowo analiz fraktaln . W
wyniku otrzymali my nast puj ce wyniki:
" Najwi kszy wykładnik Lapunowa 0,0239 na miesi c.
" Cykl ycia informacji w systemie 41,8 miesi ca (według analizy dynamicznej) oraz 45
miesi cy (według analizy R/S).
Mimo e analiza tradycyjna prognozowała utrzymanie si trendu wzrostowego oraz entuzja-
stycznie okre lała pozycj firmy na rynku, wyniki analizy fraktalnej ka nam si przez chwil
zastanowi . Otó po przeanalizowaniu historii spółki okazało si , e troch ponad cztery lata temu
firma wydostała si z powa nych problemów finansowych wynikłych z odwrócenia si tendencji
rynkowych. Warto ci cyklu ycia systemu ka nam podejrzewa , i niedługo nast pi ponowne
102 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ
Seria: Studia i Materiały, nr4, 2005
odwrócenia si tendencji. Maj c w perspektywie kilku miesi cy gwałtown zmian , wycofujemy
si z inwestycji i poszukujemy spółki w pocz tkowej fazie wzrostu trendu.
3.3. Multifraktale
Ostatni metod , któr warto omówi jest teoria rekonstrukcji przebiegu szeregów czasowych
oparta na multifraktalach. Termin ten przez ró nych autorów jest ró nie definiowany, ja jednak
pokusz si o własn definicj , która brzmi:
Multifraktal to fraktal, który mo na podzieli na szereg obszarów, w których mo na wyró ni
co najmniej dwa ró ne wymiary fraktalne.
O ile tradycyjne systemy fraktalne zakładaj raczej cisłe podobie stwo mi dzy elementami
zbioru, o tyle tutaj charakterystyczne jest wyst powanie statystycznego samopodobie stwa. Podo-
bie stwo to, tworz ce pewn dowolno kształtu oparte jest na zasadzie anizotropi, która w prze-
ciwie stwie do izotropi (zajmuj cej si czystym samopodobie stwem) tworzy kształty fraktalne
poprzez kompresje i redukcje. Takie podej cie (mimo e brzmi do złowieszczo) gwarantuje o
wiele lepsz symulacje stanów naturalnych, od których trudno wymaga stosowania si do zasady
cisłego podobie stwa.
W odniesieniu do problemu badania rynków kapitałowych problem multifraktali mo na roz-
patrywa na dwóch płaszczyznach. Pierwszy dotyczy analizy formalnej, stanowi cej pewn waria-
cje na temat analizy R/S. O wiele ciekawsze jest jednak drugie podej cie, które odnosi si do pro-
blemu graficznej rekonstrukcji szeregu czasowego na podstawie trendu.
Algorytm
1.Stwórz Multifraktal
" Podziel szereg na podszeregi, a te podziel na odcinki.
" Zast p odcinki, generatorami (krzywymi reprezentuj cymi wahania szeregu czasowego
 najogólniej b d to trzy odcinki obrazuj ce wzrost, spadek, wzrost).
" Dla ka dego odcinka generatora stwórz nowy generator
2.Okre l zbiór reguł przesuwania punktu styku odcinków, tak, aby jak najlepiej odpowiadały
zmianom naturalnego zjawiska.
3.Przesu kolejne punkty styku odcinków wedle wylosowanej reguły.
Koncepcja multifraktali jest najmłodsz ide z prezentowanych metod. Jest ona te najmniej
konkretna. Nie ma tu wzorów ani jednoznacznych wyników. Zamiast tego otrzymujemy pewien
wykres, obraz mo liwej ewolucji systemu. Tak naprawd najwi kszym problemem w tej metodzie
jest budowa odpowiedniego zbioru reguł przesuwania odcinków generatora tak, aby model jak
najlepiej odpowiadał rzeczywisto ci. Bez nich nasz multifraktal pozostanie jedynie obrazem loso-
wych przebiegów.
Wszystkie trzy opisane metody to nowoczesne i efektywne metody predykcji trendów indek-
sów gospodarczych. Mimo i ich zastosowanie jest wyj tkowo trudne i w wielu miejscach wyma-
ga konieczno ci eksperymentalnego doboru zmiennych, ich atuty s nie do przecenienia. Wpraw-
dzie nie umiej one okre li jakie papiery warto ciowe powinni my kupi jutro, aby za tydzie
sprzeda je z zyskiem, jednak e wietnie przewiduj długoterminowe wahania indeksów oraz
globalne zmiany w gospodarce. Jestem pewien, e nie zast pi one narz dzi i metod tradycyjnej
ekonomii, jednak e (mimo odmiennych podstaw teoretycznych) mog stanowi jej wietne uzu-
pełnienie.
Michał Jakub A
uczak 103
Zastosowanie fraktali do pozyskiwania wiedzy o rynkach kapitałowych
4. rodowisko systemowe
Postulowanym rodowiskiem działania fraktalnych metod predykcji szeregów czasowych jest
system ekspercki. Ale czy na pewno jest to dobry wybór? By mo e wystarczyłby zwykły system
informatyczny. Otó najwi kszym problemem z ekonomiczn teori fraktali jest brak jej stu pro-
centowego uwarunkowania. Trudno tu o jednoznaczny algorytm, który poprowadzi system od
punktu A do B. Tu trzeba czynnika ludzkiego, z wysokimi zdolno ciami analitycznymi, który
zareaguje prawidłowo na wyniki oraz w razie potrzeby zmodyfikuje zało enia. Niestety eksperci
matematyki chaosu s towarem deficytowym. Rad na ten problem mo e by budowa systemu
ekspertowego, który poł czy zdolno ci matematyka, finansisty i informatyka w jedn chromowan
cało . Wynikiem takiej współpracy powinien by system generuj cy wyczerpuj ce raporty na
temat. kondycji papierów warto ciowych w perspektywie nast pnych kilku lat.
Za budow systemu ekspertowego przemawia jeszcze jeden czynnik. Dobrze oprogramowany
system mo e z łatwo ci zosta przeniesiony z biurka bogatego inwestora na serwery WWW.
Taka zmiana mo e otworzy nowe mo liwo ci przed szerokim gronem drobnych inwestorów. Do
tej pory wi kszo systemów inwestycyjnych była zbyt droga i zbyt skomplikowana dla przeci t-
nego u ytkownika. Wprowadzaj c system czytelnych i szczegółowych raportów, mo na drastycz-
nie zwi kszy ilo inwestycji na rodzimym rynku kapitałowym.
Główne zało enia projektowe takiego teoretycznego systemu to:
" System ma prognozowa długoterminowe zmiany kursów papierów warto ciowych.
" System ma by przyjazny dla potencjalnego inwestora, nawet, je eli nie jest on ekspertem
w dziedzinie analizy rynków kapitałowych.
" System ma by elastyczny oraz generowa wyczerpuj ce raporty.
5. Problem minimalizacji ryzyka
Zasadniczo proces podejmowania ryzyka inwestycyjnego sprowadza si do mo liwo ci utraty
zainwestowanego kapitału. Aby unikn ewentualnych strat, stworzono szereg teorii i koncepcji,
maj cych na celu rozproszenie niepewno ci wyników. Jednym z najpopularniejszych konceptów
jest próba przewidzenia przyszłych zmian rynku, na podstawie przeszłych i aktualnych waha
(analiza techniczna). Stosunkowo najnowszymi metodami zwi zanymi z t koncepcj s analizy
oparte na szeroko rozumianej teorii chaosu (w skład której wchodz równie fraktale). Wydawało-
by si , e podstawy tej teorii to czyste zaprzeczenie zdroworozs dkowej wiedzy. Có , by mo e.
Jednak jak si okazuje podstawowe zało enia teorii chaosu, mimo e kontrowersyjne, s niepod-
wa alne.
Cz stokro ryzyko interpretowane jest jako zmienno systemu. Im system jest bardziej  roz-
chwiany tym inwestowanie w niego jest obci one wi kszym ryzykiem. Wydaje si , e teoria ta
jest słuszna, jednak do czasu stworzenia koncepcji rynku fraktalnego, nie została ona nale ycie
rozwini ta. W du ym uproszczeniu mo na przyj , e zaproponowane w tej pracy metody, maj
na celu okre li miar tej zmienno ci i zbada jej wpływ na ogólny trend systemu. Có si zatem
okazuje po przeprowadzeniu szeregu testów? Otó jak dowiodły badania zmiany na rynkach kapi-
tałowych maj charakter chaotyczny, i nie podlegaj bł dzeniu przypadkowego (tak jak to jest
zało one w klasycznych teoriach).
Czy zatem teorie fraktali istotnie minimalizuj ryzyko inwestowania? Pozornie nie s one tak
spektakularne jak wykresy analizy formacji trendu. Nie s równie ugruntowane w historii i wia-
104 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ
Seria: Studia i Materiały, nr4, 2005
domo ci finansistów. W magazynach gospodarczych nie ujrzymy obrazów przestrzeni fazowej i
analizy R/S. Ale jak si wydaje, to wszystko jest jedynie kwesti czasu.
6. Zako czenie
Wykorzystanie matematyki chaosu i teorii fraktali w predykcji szeregów czasowych to nie-
w tpliwie wyj tkowa koncepcja, rewolucjonizuj ca dotychczasowe my lenie o rynkach kapitało-
wych. Mimo i została ona stworzona przeszło trzydzie ci lat temu, jest ona wci na marginesie
nauk finansowych. Niedoceniona, niechciana, dopiero dzisiaj, bardzo ostro nie wkracza na pole
zarezerwowane dotychczas dla koncepcji tradycyjnych.
Je li teraz przyjrze si bli ej wnioskom płyn cym z tej pracy oka e si , e analiza fraktalna
jest wr cz wymarzonym narz dziem dla systemów ekspertowych. Mała ilo specjalistów, algo-
rytmy oparte na dynamicznej analizie aktualnie spływaj cych danych, konieczno intuicyjnego
doboru zmiennych  to wszystko sprawia, e system ekspertowy jest logicznym konceptem budo-
wy systemu informatycznego. miem nawet twierdzi , e jedynym słusznym.
Bibliografia
1. Al-Kaber M., Rynek kapitałowy w Polsce, Wydawnictwo Wy szej Szkoły Ekonomicz-
nej, Białystok 2003
2. Dro d S., Wzór na hoss  wywiad,  Gazeta Wyborcza 01/08/2003
3. Kudrewicz J., Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1993
4. Mandelbrot B.B., Multifraktale rz dz na Wall Street  wiat Nauki 4/1999
5. Mandelbrot B.B., The Fractal Geometry Of Nature, W.H.Freeman, NY 1993
6. Mulawka J., Systemy ekspertowe, WNT, Warszawa 1996
7. Peitgen O., J�rgens H., Granice chaosu. fraktale. Cz 1, PWN 1996
8. Peitgen O., J�rgens H., Granice chaosu. fraktale. Cz 2, PWN 1996
9. Peters E., Teoria chaosu a rynki kapitałowe, WIG-Press, Warszawa 1997
10. Siemieniuk N., Fraktalne wła ciwo ci polskiego rynku kapitałowego, Wydawnictwo
Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok 2001
Michał A
uczak
[e-mail]
Wydział Informatyki Politechniki Szczeci skiej
Zakład Systemów Informatycznych Zarz dzania
ul. ołnierska 49
71-210 Szczecin