Lista 2: Macierze, wyznaczniki, układy Cramera.
1 3 -1 -2 0 2i
Zadanie 1. Dane są macierze A = , B = , C = . Obliczyć:
2 -1 4 0 2 i
a) 2A + 3B, b) C - 5B, c) AB, d) BA, e) (C + I)T f) (A + B)C, g) A(iB + C), h) A2(tzn. AA).
îÅ‚ Å‚Å‚
3 0
0 5 -1
ðÅ‚ ûÅ‚.
Zadanie 2. Dane sÄ… macierze C = , D = -5 1
-3 1 4
2 -2
1
a) C - 4DT , b) 2D + CT , c) C · D, d) DC - I, e) D + 5 · 0 f) (3C)T , g) CCT .
4
Czy wykonalne są działania CC oraz DD?
Zadanie 3. Sprawdzić, które spośród poniższych macierzy są symetryczne lub antysymetryczne.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 3 0 5 -7
0 3 7 5
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a) A = , b) B = , c) C = -3 1 2 , d) D = -5 0 i .
-3 1 5 8
5 0 2 7 -i 0
Przedstawić macierz C w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetryczej.
Zadanie 4. Rozwiązać następujące równania macierzowe:
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0
ïÅ‚ śł
6 0 2 4 1 2 3 4 -2 1
ïÅ‚ śł
a) 5X + = + 3X, b) - 3(X + I) = · ,
ðÅ‚ ûÅ‚
10 3 6 -1 0 4 5 0 0 -2
1 -1
T
-1 2 0 -2 -1 -2 1 2 1 2
c) 2(X - ) = -X + , d) 2 · = 2X - ( - 3X).
0 -3 4 -5 0 3 4 -2 -4 3
Zadanie 5. Obliczyć wyznaczniki:
-2 -3 4 1 8 6 2 0 8
sin x cos x 2i 1 + i
a) , b) , c) 1 0 2 , d) 0 2 8 , e) 1 3 -1 ,
- cos x sin x 1 - i -i
1 -1 3 0 0 3 0 2 -1
3 0 0 0 2 3 0 4 16 0 5 -1 2 0 -1 1
5 -1 2 0 1 0 -2 -1 8 1 4 -2 1 -1 0 -2
f) , g) , h) , i) ,
-1 2 4 -2 7 14 21 28 16 0 3 0 -1 2 1 2
0 1 3 0 -1 2 0 -2 -16 1 2 3 3 -1 -1 -1
3 2 -1 -1 0 -5 0 1
0 3 1 -2 1 0 -1 -2
j) , k) .
1 -1 0 2 -2 -1 1 2
-2 0 3 -1 3 0 -4 1
Wyniki: a) 1, b) 0, c) -5, d) 6, e) 14, f) -30, g) 245, h) -200, i) 0, j) -27,k) -46.
1
Zadanie 6. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy A, jeżeli:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
2 0 0 1 2 1
ïÅ‚ śł
2 0 1 1 -1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
a) A = , b) A = -2 1 0 , c) A = -1 -1 0 , d) A = .
ðÅ‚ ûÅ‚
-4 1 1 -1 1 -1
4 -2 1 1 5 1
1 -1 -1 1
Sprawdzić poprawność obliczeń (AA-1 = I = A-1A).
Zadanie 7. Rozwiązać równania macierzowe, wykorzystując macierz odwrotną:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 2
1 2 1 -1 3 2
ðÅ‚ ûÅ‚
a) X = , b) Y 0 1 -1 = ,
0 4 -1 1 0 -2
1 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 2 0 0 0 2 0
0 3 -1 4 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
c) K = , d) 2 1 0 X + 2I = 4 0 0 .
1 9 -1 2 0 2
4 -2 1 0 -4 0
Zadanie 8. Znalez
ć wartości i wektory własne macierzy rzeczywistych:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
4 1 -5 1 3 0
2 -1 5 -3 2 5
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a) A = , b) B = , c) C = , d) D = 0 -3 5 , e) E = 3 -2 -1 .
1 4 -3 5 0 2
0 0 2 0 -1 1
Zadanie 9. Dla jakich wartości parametru p " R podane układy równań są układami Cramera:
Å„Å‚ Å„Å‚
Å„Å‚
3x
ôÅ‚ - y + z + u = 1 2x
ôÅ‚ - py + u = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
x + 3y + 3z = px
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
x + y - z - u = 0 y - 2z - u = 5
a) 3x + y + 3z = py , b) , c) .
ół ôÅ‚ -x + 3z + pu = 0
ôÅ‚ -x + 3z + u = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 3y + z = pz
ół ół
2x + 2y - z = 2 x + 2y - z = 0
Zadanie 10. Podane układy Cramera rozwiązać stosując wzory Cramera.
Å„Å‚ Å„Å‚
2x + y
òÅ‚ - z = 2 4x
òÅ‚ - z = 3
3x - y = 1
a) , b) x - y - z = -1 , c) 2x + y - z = 5 ,
-2x + 3y = 4
ół ół
3x + 2y = 1 x - 3y - 2z = 0
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
2x
òÅ‚ - 2y - z = 2 3x x
òÅ‚ - z = -1
òÅ‚ - y - z = 0
d) 3y + z = -2 , e) x - y - 2z = 1 , f) 3y + 4z = 3 .
ół ół ół
x - 2y - z = 1 2y + 3z = -2 2x - 4y - 5z = -1
Więcej przykładów dotyczących macierzy wraz z odpowiedziami można wygenerować na stronach:
pl.numberempire.com/matrixcalculator.php
oraz
bazywiedzy.com/wyznacznik-macierzy-program.php
Program rozwiązujący układy równań :
bazywiedzy.com/uklady-rownan.php
2