Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 2
Wykład 2
Wykład 2
Modelowanie matematyczne
Modelowanie matematyczne
Modelowanie matematyczne
układów dynamicznych
układów dynamicznych
układów dynamicznych
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Plan wykładu:
Plan wykładu:
Wprowadzenie
Modele układów mechanicznych
Transmitancja operatorowa
Modele w przestrzeni stanów
Linearyzacja
Modele układów elektrycznych
Modele układów elektromechanicznych
Modele układów cieplnych i przepływowych
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Model matematyczny obiektu
Modelowanie jest matematycznym opisem zachowania
Modelowanie
się elementów automatyki i obiektów regulacji,
niezbędnym do przeprowadzenia analizy i syntezy ich
działania
TworzÄ…c model wykorzystujemy prawa fizyczne rzÄ…dzÄ…ce
prawa fizyczne
konkretnym układem (np. prawa Newtona, prawa
Kirchhoffa, równanie bilansu masy, zasadę zachowania
energii, itp.)
3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Model matematyczny obiektu
Do opisu modelu najczęściej wykorzystuje się równania
równania
różniczkowe
różniczkowe
Jeden układ może mieć wiele różnych modeli
wiele
matematycznych, w zależności od potrzeb badającego
i konkretnego zastosowania
Ważne jest zachowanie kompromisu pomiędzy prostotą
modelu a dokładnością wyników jego analizy
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modelowanie układów mechanicznych
Sprężyna poddana działaniu siły Fs
FS = k Å" y
czyli
1
y = FS
k
FS y
1
k
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modelowanie układów mechanicznych
TÅ‚umik hydrauliczny
Fd y
dy
1
Fd = c
cD
dt
wprowadzając operator różniczkowania D
n
d
Dn = , n =1,2,...
otrzymamy
dtn
1
y = Fd
Fd = cDy
czyli
cD
6
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modelowanie układów mechanicznych
Zespół masa-tłumik-sprężyna
2
d y dy
F = m + c + ky
2
dt dt
2
F = (mD + cD + k)y
1
Fy
1
y = F
2
mD2 + cD + k
mD + cD + k
7
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modelowanie układów mechanicznych
Model zamocowania jednego koła pojazdu
2
d y dy du
öÅ‚
m + cëÅ‚ - + k(y - u) = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
dt2 dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
2
mD y + cDy + ky = cDu + ku
cD + k
uy
cD + k
y = u
mD2 + cD + k
mD2 + cD + k
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja operatorowa
Rozważmy liniowy, stacjonarny układ zdefiniowany przez
następujące równanie różniczkowe
n n-1 m m-1
d y d y d x d x
an + an-1 +,...,+a0 y = bm + bm-1 +,...,+b0 x
n n-1 m m-1
dt dt dt dt
gdzie n e" m
Dokonując przekształceń Laplace a otrzymamy
bmsm + ... + b1s + b0
Y (s) = X (s)
ansn + ... + a1s + a0
9
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa G(s) jest zdefiniowana jako
Transmitancja operatorowa G(s)
stosunek transformaty Laplace a sygnału wyjściowego Y(s)
do transformaty Laplace a sygnału wejściowego X(s), przy
założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe
bmsm +bm-1sm-1 +...+b1s+b0 Y(s)
G(s)= =
ansn +an-1sn-1+...+a1s+a0 X(s)
Y(t)
X(t)
Y (s)
Y (s)
G(s) =
G(s) =
G(s)
G(s)
G(s)
X (s)
X (s)
Symbol graficzny elementu automatyki
10
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja operatorowa
Elementy wielowymiarowe określa macierz transmitancji, na
przykład
G11(s) G12(s) Å" G1m(s)
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
Å" Å" Å" G2m(s)śł
ïÅ‚ śł
G(s) =
ïÅ‚ śł
Å" Å" Å" Å"
ïÅ‚
(s) Å" Å" Gnm(s)śł
n1
ðÅ‚G ûÅ‚
Yi (s)
Gik (s) =
- przy założeniu, że wszystkie
X (s)
k
pozostałe wartości wejściowe i
warunki początkowe są równe
zero
11
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Własności transmitancji
Transmitancja układu automatyki jest jego modelem
matematycznym
Transmitancja jest własnością samego układu, niezależną
od wielkości i natury sygnału wejściowego
Transmitancja przedstawia związki pomiędzy sygnałami
wyjściowym i wejściowym, nie dostarcza natomiast żadnej
informacji dotyczącej fizycznej struktury układu
Transmitancje wielu fizycznie różnych układów mogą być
identyczne
12
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Właściwości transmitancji
Jeśli transmitancja układu jest znana, to możemy określić
sygnał wyjściowy dla różnych sygnałów wejściowych
Raz określona transmitancja daje pełny opis charakterystyk
dynamicznych układu, w odróżnieniu od jego opisu
fizycznego
Postać transmitancji operatorowej stanowi kryterium
klasyfikacji elementów automatyki
13
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modelowanie w przestrzeni stanów
Stan układu dynamicznego to najmniejszy zbiór
Stan układu dynamicznego
zmiennych stanu takich, że ich znajomość w chwili t = t0,
zmiennych stanu
wraz ze znajomością sygnału wejściowego u(t) dla t e" t0
w pełni określa zachowanie układu w każdej chwili t e" t0 ,
Wektor stanu określa jednoznacznie stan x(t) układu
Wektor stanu
w każdej chwili t e" t0 , gdy tylko stan przy t=t0 jest dany
i określony jest sygnał wejściowy u(t) dla t e" t0 ,
Przestrzeń stanów to n-wymiarowa przestrzeń, w której
Przestrzeń stanów
każdy stan może być przedstawiony przez punkt w tej
przestrzeni. 14
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dynamika układu
Warunki
x(0)
poczÄ…tkowe
Wyjście
Wejście
Dynamika układu
Dynamika układu
Dynamika układu
u(t) y(t)
Stan
Stan x(t)
x(t)
W układach fizycznych zmiennymi stanu x(t) są takie wielkości
fizyczne jak: napięcie, prąd, prędkość, pozycja, temperatura,
ciśnienie, itp.
15
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Własności metody zmiennych stanu
Liczba zmiennych stanu, które w pełni określają własności
dynamiczne układu jest równa liczbie elementów, które są
zdolne magazynować energię w układzie (np. sprężyna,
tłumik, pojemność, indukcyjność) lub rzędowi równania
różniczkowego opisującego wspomniany układ,
Stosując metodę zmiennych stanu można przedstawić
równanie różniczkowe n-tego rzędu (opisujące model
układu) jako n równań różniczkowych pierwszego rzędu
16
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania przestrzeni stanów
Zakładając, że
u1(t),u2(t),...,ur(t)  sygnały wejściowe
y1(t),y2(t),...,ym(t)  sygnały wyjściowe
x1(t),x2(t),...,xn(t)  zmienne stanu
układ dynamiczny może być opisany równaniami
różniczkowymi
&
x1(t)= f1(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,ur;t)
&
x2(t)= f2(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,ur;t)
Å"
Å"
Å"
&
xn(t)= fn(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,ur;t)
17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania przestrzeni stanów
y1(t) = g1(x1 ,x2 ,K,xn ;u1 ,u2 ,K,ur ;t)
Sygnały wyjściowe
y2(t) = g2(x1 ,x2 ,K,xn ;u1 ,u2 ,K,ur ;t)
Å"
Å"
Å"
ym(t) = gm (x1 ,x2 ,K,xn ;u1 ,u2 ,K,ur ;t)
DefiniujÄ…c
x1(t) f1(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,ur ;t)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x ïÅ‚
(t)śł f2(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,ur ;t)śł
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" Å"
x(t) = (x,u,t) =
ïÅ‚ śł, f ïÅ‚ śł
Å" Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" Å"
ïÅ‚ ïÅ‚
(t)śł fn(x1, x2,K, xn;u1,u2,K,ur ;t)śł
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
18
n ûÅ‚
ðÅ‚x śł ðÅ‚ ûÅ‚
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania przestrzeni stanów
oraz
y1(t) g1(x1, x2,K,xn;u1,u2,K,ur;t) u1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y ïÅ‚g ïÅ‚u
(t)śł (x1, x2,K,xn;u1,u2,K,ur;t)śł (t)śł
2 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" Å" Å"
y(t)= g(x,u,t) = u(t)=
ïÅ‚ śł, ïÅ‚ śł, ïÅ‚ śł
Å" Å" Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" Å" Å"
ïÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚
(t)śł (x1,x2,K,xn;u1,u2,K,ur;t)śł (t)śł
ïÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
m ûÅ‚
ðÅ‚y śł ðÅ‚gm ûÅ‚ ðÅ‚ur ûÅ‚
równania przybierają postać
&
x(t) = f (x, u, t)  równanie stanów
równanie stanów
y(t) = g(x, u, t)
 równanie wyjść
równanie wyjść
19
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania przestrzeni stanów
Po linearyzacji wokół wybranego punktu pracy, równania te
można zapisać w postaci
x1(t)
a11 a12 L a1n x1(t) u1(t)
îÅ‚& Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x
(t)śł ïÅ‚a a22 L a2nśł ïÅ‚ (t)śł îÅ‚b11 L b1r Å‚Å‚ ïÅ‚ (t)śł
2 21 2
śł ïÅ‚u śł
ïÅ‚& śł ïÅ‚ śł ïÅ‚x2 śł+ïÅ‚ M
= M
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M M M M
ïÅ‚ śł
ïÅ‚& śł ïÅ‚
n1
(t)śł ïÅ‚ an2 L annûÅ‚ ðÅ‚xn(t)śł ðÅ‚b L bnrûÅ‚ ïÅ‚u (t)śł
ðÅ‚xn ûÅ‚ ðÅ‚an1 ûÅ‚ ðÅ‚ r ûÅ‚
y1(t) c11 c12 L c1m x1(t) u1(t)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y
(t)śł ïÅ‚c c22 L c2mśł ïÅ‚ (t)śł îÅ‚d11 L d1r Å‚Å‚ ïÅ‚ (t)śł
2 21 2
śł ïÅ‚u śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚x2 śł
= +ïÅ‚ M M
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M M M M
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
m1
(t)śł ïÅ‚ cn2 L cmnûÅ‚ ðÅ‚xn(t)śł ðÅ‚d L dmrûÅ‚ ïÅ‚u (t)śł
m
ðÅ‚y ûÅ‚ ðÅ‚cm1 ûÅ‚ ðÅ‚ r ûÅ‚
20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania przestrzeni stanów
Dla układu niestacjonarnego
Dla układu niestacjonarnego
Zlinearyzowana postać równania stanów i równania wyjść w
postaci wektorowo-macierzowej jest następująca
x(t)= Ax(t)+ Bu(t)
Å„Å‚ &
òÅ‚y
(t)= Cx(t)+ Du(t)
ół
Schemat blokowy liniowego układu sterowania w przestrzeni
stanów
D(t)
D(t)
D(t)
u x
u x
..
( (
( (
u(t) x(t) x(t) y(t)
+
+
t t
t t
B(t) +"+"dt C(t)
B(t) +" dt C(t)
B(t) dt C(t)
+
+
) )
) )
A(t)
A(t)
A(t)
21
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania przestrzeni stanów
Dla układu stacjonarnego
Dla układu stacjonarnego
&
x(t)= Ax(t)+ Bu(t)
Å„Å‚
òÅ‚y
(t)= Cx(t)+ Du(t)
ół
gdzie:
A  macierz stanu n×n
B  macierz wejÅ›cia (sterowania) n×r
C  macierz wyjÅ›cia (odpowiedzi) m×n
D  bezpoÅ›rednia macierz transmisji m×r
n  ilość stanów, r  ilość wejść, m  ilość wyjść
x(t)  wektor stanu, u(t)  wektor wejść, y(t)  wektor wyjść
22
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 1. Układ wibroizolacji
F(t)  wejście (siła zewnętrzna)
h(t)  wyjście (przemieszczenie masy)
& &
mh&(t)+ ch(t)+ kh(t) = F(t)
Zamiana zmiennych
x1 = h(t)
üÅ‚
żł  zmienne stanu
&
&
x2 = h(t) = x1
þÅ‚
u = F(t)
 zmienna wejściowa
y = h(t)
 zmienna wyjściowa
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 1. Układ wibroizolacji
1 c k
& &
h&(t) = F(t)- h(t) - h(t)
m m m
Zastępujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu układem
dwóch równań pierwszego rzędu
&
x1 = x2
Å„Å‚
ôÅ‚
Równanie wyjść ma
òÅ‚ k c 1
y = x1
& postać
x1 - x2 + u
2
ôÅ‚x = -
ół m m m
W postaci wektorowo-macierzowej równania stanów i wyjść
mogą być zapisane jako
0 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
&
x1 x1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1
k c 1
y = [1 0]îÅ‚x Å‚Å‚
= ïÅ‚ śł + ïÅ‚ śł u
ïÅ‚x śł
ïÅ‚x śł ïÅ‚x śł
-
&
ïÅ‚-
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ðÅ‚ m mśł ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ïÅ‚mśł
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 1. Układ wibroizolacji
0 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
k c 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = B = C = [1 0]
-
ïÅ‚- ïÅ‚mśł
m mśł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Schemat blokowy układu wibroizolacji
25
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania stanu Ô! Transmitancja
Zależność pomiędzy równaniami stanu i wyjścia
a transmitancją operatorową, dla układu z jednym wejściem
i jednym wyjściem
sX (s) = AX (s) + BU (s)
Å„Å‚
òÅ‚Y (s) = CX (s) + DU (s)
ół
Przekształcając
-1
X(s) = [sI - A] BU(s)
-1
Y(s) = C[sI - A] BU(s) + DU(s)
Y(s)
Y(s)
-1
-1
G(s)= = C[sI - A] B + D
G(s)= = C[sI - A] B + D
U(s)
U(s)
26
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Linearyzacja
Model matematyczny układu jest zawsze przybliżeniem
rzeczywistego charakteru zjawisk fizycznych w nim
zachodzÄ…cych,
Równania otrzymane w modelu najczęściej są równaniami
nieliniowymi,
Ze względu na łatwość analizy dąży się do zastąpienia
równań nieliniowych równaniami liniowymi,
Linearyzacja jest procesem tworzenia modelu liniowego,
Linearyzacja
który aproksymuje model nieliniowy.
27
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Linearyzacja
Charakterystyki statyczne elementów nieliniowych
wy
wy
wy
we
we we
Nasycenie
Nieliniowość kwadratowa
Strefa nieczułości
28
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Linearyzacja statyczna polega na:
przeniesieniu układu współrzędnych do punktu pracy,
zastąpieniu sygnałów w opisie matematycznym
odchyleniami tych wartości w punkcie pracy,
zastąpieniu krzywej, reprezentującej zależności y od x,
stycznÄ… do niej w punkcie pracy.
29
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Linearyzacja statyczna
Niech y = f (x)
"x = x - x0
"y = y - y0
"y = k"x
df (x)
k =
x=x0
dx
df (x)
"y = "x
x=x0
dx
30
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 2. Linearyzacja funkcji y = x2
Wybieramy punkt pracy (Xi, Yi) i rysujemy stycznÄ… do krzywej
w tym punkcie.
Y
Y = Yi + y + µ H" Yi + y
y dY
- nachylenie w
=
( xi , yi )
x dX punkcie (Xi, Yi),
dY d
2
y = x = (X ) x = 2Xix
dX dX
( xi,yi ) ( xi,yi )
X
Y H" Yi + 2 X x
i
31
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Linearyzacja dynamiczna
Linearyzacja dynamiczna polega na rozwinięciu nieliniowych
funkcji w szereg Taylora w otoczeniu punktu pracy.
szereg Taylora
& &
F( y,y,K,y(n) ,u,u,K,u(m) )= 0
"F
F(y,K , y(n),u,K ,u(m))= F(y0 ,u0 )+ "y +
"y
(y0 ,u0 )
"F "F
(n)
&
+ "y + K + "y +
&
"y "y(n)
(y0 , u0 ) (y0 , u0 )
"F "F
+ "u +K+ "u(m) + Rn = 0
"u "u(m) (y0,u0 )
(y0, u0 )
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Linearyzacja dynamiczna
Można przyjąć Rn= 0 dla niewielkich przyrostów
"F "F "F
&
"y + "y + K + "y(n) +
&
"y "y "y(n)
(y0 ,u0 ) (y0 ,u0 ) (y0 ,u0 )
"F "F
+ "u + K + "u(m) = 0
"u "u(m) (y0 , u0 )
()
y0 , u0
Dla układu stacjonarnego w punkcie pracy odpowiadającym
stanowi równowagi, pochodne cząstkowe występujące w
równaniu są stałe
& &
an"y(n) +an-1"y(n-1) +K+a1"y +a0"y =bm"u(m) +K+b1"u +b0"u
33
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 3. Wahadło proste
&&
IÅš + mgl sin Åš = M
g M
&&
Åš + sin Åš =
2
l ml
Zakładając, że dla małych kątów
sinÅšH"Åš
g
É =
- częstości drgań własnych
l
g M
2
&&
I = ml - moment bezwładności
Åš + Åš =
2
względem osi obrotu
l
ml
M - przyłożony moment
34
zewnętrzny
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 4. Obwód elektryczny: rezystor + cewka z rdzeniem
¨ (i) = k Å" i , k = const
d¨ (t)
+ (Rd + R)i(t) = u(t)
dt
( )+ ( + R i t = u t
k di t
Rd ) ( ) ( )
dt
2 i(t)
Powyższe równanie nieliniowe zapisujemy w postaci ogólnej
di(t),u(t) = 0
îÅ‚i Å‚Å‚
F (t),
ïÅ‚ śł
dt
ðÅ‚ ûÅ‚
35
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przyjmujemy punkt pracy ustalonej przy napięciu u0 i prądzie i0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"F k
"F
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"F
ëÅ‚ öÅ‚
=
= -1
ìÅ‚ ÷Å‚
= R + Rd
ìÅ‚ ÷Å‚ di
ìÅ‚ ÷Å‚
2 i0
"u
" íÅ‚ Å‚Å‚(u , i0 )
"i ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚(u , i0 )
0
0
íÅ‚ dt Å‚Å‚(u , i0 )
0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"F "F di "F
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"i + " + "u = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"i dt "u
íÅ‚ Å‚Å‚(u , i0 ) ìÅ‚ " di ÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚(u , i0 )
0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ dt Å‚Å‚(u , i0 )
0
k di
( + Rd )"i + " = "u
R
Po podstawieniu
dt
2 i0
"i = i "u = u
Przyjmując oraz otrzymujemy liniowe równanie
różniczkowe
k di
Å" + (R + Rd )i = u
dt
2 i0
36
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modele układów elektrycznych
Modele układów elektrycznych budujemy przede wszystkim w
oparciu o prawo Ohma i prawa Kirchhoffa.
Rezystor Indukcyjność
Pojemność
i
R
i
C
i
L
di
du
u = R Å" i
u = L
i = C
dt
dt
37
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 5. Obwód elektryczny RLC
di
Stosujemy II prawo Kirchhoffa u1 = Ri + L + u2
dt
2
d u2
di
du2
= C
i = C
2
dt dt
dt
2
du2 d u2
u1 = RC + LC + u2
2
dt dt
1 R 1
&& &
u2 = u1 - u2 - u2
LC L LC
38
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 5. Obwód elektryczny RLC
&
x1 = x2
Å„Å‚
x1 = u2
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ 1 R 1
& & &
= u2 = x1 u - x2 - x1
ółx2 2
ôÅ‚x =
LC L LC
ół
Równanie stanu i równanie wyjścia
0 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚îÅ‚ x1 Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
&
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 R 1
y = [1 0]îÅ‚ x1 Å‚Å‚
= ïÅ‚ śłïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+ u
ïÅ‚x śł
ïÅ‚x śł
-
&
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ïÅ‚- śł śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
LC L LC
ðÅ‚ ûÅ‚ðÅ‚x2 ûÅ‚ ïÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚
1
Transmitancja operatorowa
k = 1 , É0 =
LC
2
kÉ0
G(s) =
R C
2
¾ =
s2 + 2¾É0s +É0
2 L
39
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modele układów elektromechanicznych
Przykład 6. Silnik prądu stałego sterowany od strony wirnika
V - napięcie zasilające (we)
¸ - poÅ‚ożenie kÄ…towe waÅ‚u silnika (wy)
J - moment bezwładności
b  współczynnik tarcia lepkiego
di
Å„Å‚L
+ Ri = V - e
- równanie spadków napięć w obwodzie wirnika
ôÅ‚
dt
ôÅ‚
ôÅ‚J¸& b¸& T
&
+ =
- równanie dynamiki wału silnika
òÅ‚
ôÅ‚e = k2¸&
- siła elektromotoryczna
ôÅ‚
ôÅ‚
- moment mechaniczny silnika
ółT = k1i
40
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 6. Silnik prądu stałego sterowany od strony wirnika
di
Å„Å‚L
+ Ri = V - k2¸&
ôÅ‚
dt - model silnika prądu stałego
òÅ‚
ôÅ‚J¸&
&
+ b¸& = k1i
ół
É = ¸&
Dla , gdzie É - prÄ™dkość kÄ…towa waÅ‚u silnika
&!(s) k1
G(s) = =
transmitancja
V(s) k2k1 + (R + sL)(b + Js)
x1 = É , x2 = i
Równanie stanu i wyjścia dla zmiennych stanu
b k1
îÅ‚ Å‚Å‚
0
îÅ‚ Å‚Å‚
-
&
x1 x1
ïÅ‚ śł
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1
J J
ïÅ‚ śł u
y = [1 0]îÅ‚x Å‚Å‚
= +
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚x śł
ïÅ‚x śł ïÅ‚ śł
k2 R
&
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ïÅ‚- - śłðÅ‚x2 ûÅ‚ ïÅ‚ L śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ L L ûÅ‚
41
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modelowanie układów cieplnych i przepływowych
Przepływ ciepła
Energia cieplna przepływająca przez ciało jest wprost
proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otoczenia,
zgodnie ze wzorem
q - przepływ energii cieplnej [J/s]
1
q = ( T 1 - T 2 )
R - opór cieplny [°C/JÅ"s]
R
T - temperatura [°C]
Dopływ energii cieplnej do ciała wpływa na jego
temperaturÄ™, zgodnie z relacjÄ…
dT 1
= Å" q
C - pojemność cieplna [J/°C]
dt C
42
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 7. Dynamiczny model zjawisk cieplnych w pokoju
Ci - pojemność cieplna powietrza wewnątrz pokoju
To - temperatura otoczenia,
Ti - temperatura w pokoju
R1 - opór cieplny ścian pokoju
R2  łączny opór cieplny sufitu i podłogi pokoju
dTi
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
= Å" + Å"(To - Ti)
ìÅ‚ ÷Å‚
dt Ci R1 R2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ciepło właściwe cv przy stałej objętości jest przeliczane na
pojemność cieplną C
C = m Å" cV
43
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 7. Dynamiczny model zjawisk cieplnych w pokoju
Przewodność cieplna k, która jest związana z oporem
cieplnym R, określona jest zależnością
1 k Å" A
A - pole przekroju poprzecznego
=
l - długość drogi przepływu ciepła
R l
Sumaryczny przepływ energii opisuje wymianę ciepła, która
może zachodzić pomiędzy masą ciepłą a zimną. W takim
przypadku:
dm
- szybkość przepływającej masy
dt
dm
powietrza o temperaturze Ti
q = Å" cv Å"(Ti - T o)
wypływającej na zewnątrz
dt
pokoju o temperaturze To.
44
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przepływ cieczy nieściśliwych
Równanie bilansu natężenia przepływu płynu wynika z
zasady zachowania masy
dm
= qwe - qwy
dt
gdzie:
m  masa cieczy wewnątrz opisywanego układu
qwe  masowe natężenie przepływu na wejściu układu
qwy  masowe natężenie przepływu na wyjściu układu
45
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 8. Zbiornik z wodą
q
dh 1
we
)
= ( - qwy
qwe
dt AÁ
ciśnienie p
1
h
gdzie:
q
wy
A  powierzchnia zbiornika
Á  gÄ™stość wody
h = m/AÁ - wysokość sÅ‚upa wody
m  masa wody w zbiorniku
46
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 9. Napełnianie zbiornika cieczą
Objętościowe natężenie przepływu cieczy Q przez opór
hydrauliczny RF
R
F
P
1
P
Q
h
1
Q = ( p1 - p )
RF
p1 - ciśnienie zasilania
p - ciśnienie w zbiorniku
RF - opór hydrauliczny
Jest ono równe zmianie objętości cieczy w zbiorniku
dh
A - powierzchnia przekroju zbiornika
Q = A
dt
47
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 9. Napełnianie zbiornika cieczą
Ciśnienie hydrostatyczne cieczy można wyrazić jako
Á - gÄ™stość cieczy
p =Á Å" g Å"h
g - przyspieszenie ziemskie
A
1 dh A dp
= C
- pojemność
F
( p1 - p) = A =
Á Å" g
hydrauliczna
RF dt Á Å" g dt
Równanie opisujące proces napełniania zbiornika
dp
C RF + p = p1
F
dt
48
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 10. Napełnianie zbiornika gazem
Równanie stanu gazu
G  masa gazu
T  temperatura gazu
pV = GRT
V  objętość gazu
gaz
T
RF  stała gazowa
RF
Masowe natężenie przepływu
P1
P
1
Qm = (p1 - p)
RF
Qm
V
dG V dp
Qm = =
dt RT dt
dp
V
C =
C RF + p = p1
F
F
RT 49
dt
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Postacie matematycznych modeli liniowych
systemów dynamicznych
Równanie różniczkowe
n n-1
d y(t)+ an-1 d y(t)+,...,+a y(t)=
an
0
n n-1
dt dt
m m-1
d u(t)+ bm-1 d u(t)+,...,+b u(t)
= bm
0
m m-1
dt dt
Transmitancja operatorowa
m m -1
Y (s) bm s + bm -1s + ... + b1s + b0
G (s) = =
n n -1
U (s) an s + an -1s + ... + a1s + a0
&
Równania stanu i wyjścia x(t)= Ax(t)+ Bu(t)
Å„Å‚
òÅ‚
50
y(t)= Cx(t)+ Du(t)
ół
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Temat wykładu: Modelowanie matematyczne układów dynamicznych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Związki pomiędzy poszczególnymi
postaciami modeli
Równanie
Równanie
różniczkowe
różniczkowe
Równania Transmitancja
Równania Transmitancja
stanu i wyjścia operatorowa
stanu i wyjścia operatorowa
51