Projekt z układów dynamicznych w zastosowaniach.
Alina MalÄ…g
8.01.2016
1 Model Odella
Niech x oznacza liczebność ofiar, a y oznacza liczebność drapieżników. Zakładamy także, że
w środowisku nie występują inne populacje lub nawet jeśli występują to ich liczebność nie
ma wpływu na liczebność drapieżników i ofiar. Zakładamy także, że nie istnieją zewnętrzne
czynniki znacząco wpływające na liczebność obu populacji. Model opisujący zależność pomiędzy
liczebnościami tych dwóch populacji może być opisana następującym układem równań:
x2 = x[x(1 - x) - y] (1)
y2 = y(x - a), (2)
gdzie a 0 oznacza parametr kontroli. Ze względu na poprawność biologiczną bierzemy pod
uwagę tylko wartości x 0 oraz y 0. Powyższy model będziemy nazywali modelem Odella.
2 Punkty stałe układu
Przyrównujemy prawe strony równań (1) i (2) do zera. Stąd otrzymujemy:
x(x - x2 - y) = 0 (3)
y(x - a) = 0 (4)
Z pierwszego równania otrzymujemy, że: x=0 lub x - x2 - y = 0.
Przyjmując x=0 z drugiego równania uzyskujemy y=0. Stąd pierwszym punktem stałym jest
P1=(0,0).
Z drugiego równania otrzymujemy, że: y=0 lub x=a.
Przyjmując y=0 i podstawiając do piewszego równania otrzymujemy x - x2 = 0. Stąd drugim
punktem stałym jest P2=(1,0).
Dla x=a z pierwszego równania otrzymujemy, że a(a-a2 -y) = 0 skąd trzecim punktem stałym
jest P 3 = (a, a - a2).
3 Stabilność punktów stałych
W celu zbadania stabilności punktów stałych układu rozważmy Jakobian dla (1) i (2).
Oznaczmy:
F (x, y) = (x(x - x2 - y), y(x - a)).
Aby zbadać stabilność punktów stałych, zbadamy Jakobian funkcji F:
[ ]
2x - 3x2 - y -x
JF (x, y) = .
y x - a
1
[ ]
0 0
JF (P 1) = JF (0, 0) = .
0 -a
Wartości własne macierzy JF(P1) wynoszą 0 i -a, skąd z twierdzenia Grobmanna-Hartmanna nie
możemy jednoznacznie wnioskować o jego stabilności lub niestabilności. Jednakże poszukujemy
dodatniego punktu bifurkacji skąd punkt P1=(0,0) nie spełnia kryterium poszukiwań.
[ ]
-1 -1
JF (P 2) = JF (1, 0) = .
0 1 - a
Wartości własne macierzy JF(P2) wynoszą -1 i 1-a, skąd z twierdzenia Grobmanna-Hartmanna
wnioskujemy, że dla a < 1 punkt P2 jest siodłem, a dla a 1 jest węzłem stabilnym.
[ ]
a - 2a2 -a
JF (P 3) = JF (a, a - a2) = .
a - a2 0
Rozważmy wartości własne macierzy JF(P3):
[ ]
a - 2a2 -  -a
det =0 .
a - a2 -
Równanie charakterystyczne wygląda następująco:
2 + (2a2 - a) + a2 - a3 = 0
" = (2a2 - a)2 - 4(a2 - a3)
" = 4a4 - 3a2
Rysunek 1: wykres funkcji a2(4a2 - 3)
2
Rozważmy przypadki:
1. " > 0 :
" "
3 3
" = 4a4 - 3a2 > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a " (-", - ) *" ( , ")
2 2
Wówczas wartości własne wynoszą:
" "
-2a2 + a + 4a4 - 3a2 1 -3a2 + 4a4
1 = = -a2 + a +
2 2 2
" "
-2a2 + a - 4a4 - 3a2 1 -3a2 + 4a4
2 = = -a2 + a -
2 2 2
2. " = 0 :
" "
(3) (3)
" = 4a4 - 3a2 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = {- , 0, }
2 2
Otrzymujemy wartość własną:
-2a2 - a
0 =
2
3. " < 0 :
" "
- 3 3
" = 4a4 - 3a2 < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a " ( , 0) *" (0, )
2 2
Obliczmy wartości własne powyższego Jakobianu:
" "
-2a2 + a + 4a4 - 3a2 1 3a2 - 4a4
1 = = -a2 + a + i
2 2 2
" "
-2a2 + a - 4a4 - 3a2 1 3a2 - 4a4
2 = = -a2 + a - i
2 2 2
"
3 1
Dla parametru a " (1, ) otrzymujemy ognisko stabilne, zaÅ› dla parametru a " (0, )
2 2 2
dostajemy ognisko niestabilne. To sugeruje bifurkacjÄ™ Hopfa.
Aby udowodnić występowanie bifurkacji Hopfa dla układu, sprawdz
my, czy istnieje parametr a
dla którego spełnione są założenia twierdzenia o bifurkacji Hopfa:
Aby zachodziła bifurkacja Hopfa część rzeczywista wartości własnych musi być równa 0, a jej
część urojona różna od 0.
StÄ…d otrzymujemy:
Re1,2 = 0
1 1
-a2 + a = 0 Ô! a = 0 lub a =
2 2
3
Ponadto:
"
3a2 - 4a4
Im1,2 = Ä… = 0
8
2
Sprawdz
my, dla jakich wartości parametru a, część urojona się zeruje:
"
3a2 - 4a4
Ä… = 0
2
" "
3 3
a = 0 lub a = lub a = -
2 2
{ " " }
- 3 3
StÄ…d a " R/ , 0, .
2 2
1
A
ącząc przypadki otrzymujemy, że bifurkacja Hopfa zachodzi dla parametru a =
2
4 Portrety fazowe
Rozważmy portrety fazowe modelu Odella:
1
1. dla parametru, w którym występuje bifurkacja a =
2
1
2. dla parametru mniejszego niż a = , a=0.4
2
1
3. dla parametru większego niż a = , a=0.6
2
Ad.1
1
Rozważmy układ z parametrem a = . Wówczas model przyjmuje postać:
2
x2 = x[x(1 - x) - y] (5)
y2 = y(x - 0.5), (6)
1
Punkty stałe powstałego układu to: A1 = (0, 0) A2 = (1, 0) A3 = (1, ). Ze względu na badaną
2 4
bifurkację interesuje nas tylko punkt A3. Układ w otoczeniu tego punktu jest centrum.
Rysunek 2: Przypadek 1
4
Ad.2
Rozważmy układ z parametrem a = 0.4. Wówczas model przyjmuje postać:
x2 = x[x(1 - x) - y] (7)
y2 = y(x - 0.4), (8)
Punkty stałe powstałego układu to: B1 = (0, 0) B2 = (1, 0) B3 = (0.4, 0.24). Ze względu na
badaną bifurkację interesuje nas tylko punkt A3. Układ w otoczeniu tego punktu jest ogniskiem
niestabilnym.
Rysunek 3: Przypadek 2
Ad.3
Rozważmy układ z parametrem a = 0.6. Wówczas model przyjmuje postać:
x2 = x[x(1 - x) - y] (9)
y2 = y(x - 0.6), (10)
Punkty stałe powstałego układu to: B1 = (0, 0) B2 = (1, 0) B3 = (0.6, 0.24). Ze względu na
badaną bifurkację interesuje nas tylko punkt A3. Układ w otoczeniu tego punktu jest ogniskiem
stabilnym.
5
Rysunek 4: Przypadek 3
Zachowanie układu dla podanych parametrów sugeruje bifurkację superkrytyczną. Aby potwier-
dzić naszą hipotezę obliczymy współczynnik A.
Oznaczmy:
f(x, y) = x[x(1 - x) - y],
g(x, y) = y(x - a).
Wówczas:
fx = 2x - 3x2 - y gx = y
fxx = 2 - 6x gxx = 0
fxxx = -6 gxxx = 0
fy = -x gy = x
fyy = 0 gyy = 0
fyyy = 0 gyyy = 0
fxy = -1 gxy = 1
Wówczas współczynnik A będzie miał postać:
"
1 1 -3 + 2
A = (fxxx+fxyy+gxxy+gyyy)+ [fxy(fxx+fyy)-gxy(gxx+gyy-fxxgxx+gyyfyy] = < 0,
16 16É 8
"
3a2-4a4
gdzie É = Im =
2
"
3a2-4a4
PrzyjmujÄ…c É = - wartość parametru A bÄ™dzie mniejsza od otrzymanej, zatem również
2
ujemna.
Otrzymany współczynnik A jest mniejszy od zera, a co za tym idzie otrzymana bifurkacja jest
1
superkrytyczna. Oznacza to, że dla parametru a < dostajemy następujący cykl graniczny:
2
6
Rysunek 5: cykl graniczny
Cykl graniczny jest przyciągający, dlatego też zewnętrzna orbita nawija sie od niego od ze-
wnÄ…trz.
Rysunek 6: Orbita nawija siÄ™ z zewnÄ…trz na cykl graniczny.
1
Podsumowując: dla a < mamy punkt stacjonarny niestabilny i jednocześnie rozwiązanie
2
1
okresowe stabilne zaś po przej- ściu przez a = dostajemy punkt stabilny, a rozwiązanie
2
okresowe zanika.
7