3 charakterystyki procesow

3. Charakterystyki procesów
3.1. Charakterystyki statyczne
Charakterystyki statyczne otrzymuje się eksperymentalnie. Eksperyment rozpoczyna się od
wyzerowania badanego urządzenia lub układu, tj. od przyporządkowania wartości przyczynowej 5�e�5�\�
wartości skokowej 5�f�5�\�. Wartości 5�e�5�\�, 5�f�5�\� są najczęściej wartościami znajdującymi się w środku zakresów
pomiarowych 5�e�5�]� - 5�e�5�X� i 5�f�5�]� - 5�f�5�X�. W zakresie pomiarowym wielkości przyczynowej 5�e�5�]� - 5�e�5�X� zmienia się
kolejno jej wartość 5�e�5�V� i po uzyskaniu stanu ustalonego odczytuje odpowiednie wartości 5�f� wielkości
skutkowej 5�f�5�V�. Z otrzymanych wyników eksperymentalnych wykreśla się tzw. charakterystykę
rzeczywistą. Dla układu liniowego, z połączenia linią skrajnych punktów określających zakres
pomiarowy 5�e� i 5�f� otrzymuje się charakterystykę teoretyczną. Charakterystyka teoretyczna jest
odniesieniem do obliczania błędów nieliniowości oraz niejednoznaczności i oszacowania na tej
podstawie klasy dokładności statycznej urządzenia. Na wykrycie niejednoznaczności badanego
urządzenia należy stosować przyrządy pomiarowe o odpowiednio wyższej klasie dokładności od
badanego urządzenia. Otrzymana eksperymentalnie charakterystyka statyczna urządzenia o klasie
dokładności (błędzie względnym) poniżej 2% upoważnia do traktowania badanego urządzenia lub
procesu jako liniowego, o ile nie występują nieliniowości związane z innymi właściwościami niż
statyczne.
Charakterystyka statyczna określa zależność, w stanie ustalonym, sygnału 5�e� od sygnału 5�f� patrz
rys.3.1.
y
charakterystyka
y
k
teoretyczna
charakterystyka
rzeczywista
y
p
x
x
p x
k
Rys.3.1. Poglądowy przebieg charakterystyki statycznej
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
1
Dla podanych i stwierdzonych eksperymentalnie właściwości w ogólnym przypadku, dowolny
liniowy proces o parametrach skupionych opisuje równanie o postaci:
5�[� 5�[�-1
5�Z� 5�Z�-1
5�Q�5�f� 5�Q�5�f� 5�Q�5�f�
5�Q�5�e� 5�Q�5�e� 5�Q�5�e�
5�N�5�[� 5�Q�5�a�5�[� + 5�N�5�[�-1 5�Q�5�a�5�[�-1 + �" + 5�N�1 5�Q�5�a� + 5�N�5�\�5�f� = 5�O�5�Z� 5�Q�5�a�5�Z� + 5�O�5�Z�-1 5�Q�5�a�5�Z�-1 + �" + 5�O�1 5�Q�5�a� + 5�O�5�\�5�e� , (3.1)
5�[� e" 5�Z� .
Dla zależności statycznej 5�a� ", 5�Q�/5�Q�5�a� 0 . Z zależności (3.1) otrzyma się:
5�N�5�\�5�f� = 5�O�5�\�5�e� ,
5�O�5�\�
5�f� = 5�e� ,
5�N�0
5�f� = 5�X�5�e� , (3.2)
5�O�5�\�
5�X� = - wsp. wzmocnienia statycznego (parametr procesu), który zgodnie z rys.3.1 wynosi 5�X� = (5�K�5�X� -
5�N�5�\�
5�L�5�]�)/((5�e�5�X� - 5�f�5�]�)
Przekształcenie 5�?� (Laplace a) dla zerowych warunków początkowych (układ znajduje się w stanie
( )
równowagi) dla wyrażenia 5�[� - 1 wyniesie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5�N�5�[�5�`�5�[�5�L� 5�`� + 5�N�5�[�-15�`�5�[�-15�L� 5�`� + �" + 5�N�15�`� 5�L� 5�`� + 5�N�0 5�L� 5�`� = 5�O�5�Z�5�`�5�Z� 5�K� 5�`� + 5�O�5�Z�-15�`�5�Z�-15�K� 5�`� + �" +
( ) ( )
5�O�15�`� 5�K� 5�`� + �" + 5�O�15�`� 5�K� 5�`� + 5�O�05�K� (5�`�) ,
( )[ ] ( )
5�K� 5�`� 5�N�5�[�5�`�5�[� + 5�N�5�[�-15�`�5�[�-1 + �" + 5�N�15�`� + 5�N�0 = 5�K� 5�`� [5�O�5�Z�5�`�5�Z� + 5�O�5�Z�-15�`�5�Z�-1 + �" + 5�O�15�`� + 5�O�0] ,
5�L�(5�`�) 5�O�5�Z�5�`�5�Z�+5�O�5�Z�-15�`�5�Z�-1+�"+5�O�15�`�+5�O�0
( )
= 5�:� 5�`� = , 5�[� > 5�Z� , (3.3)
5�K�(5�`�) 5�N�5�[�5�`�5�[�+5�N�5�[�-15�`�5�[�-1+�"+5�N�15�`�+5�N�0
5�:�(5�`�) transmitancja operatorowa opisująca ogólną postać procesu jest to jedna z postaci
kanonicznych transmitancji.
Z podanych zapisów wynika: transmitancja operatorowa układu jest to stosunek transformaty
( ) ( )
sygnału wyjściowego 5�L� 5�`� = 5�?� [5�f� 5�a� ] do transformaty sygnału wejściowego
( ) ( )
5�K� 5�`� = 5�?� [5�e� 5�a� ], przy czym transformaty zostały obliczone dla zerowych warunków początkowych.
Obliczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
2
Z zależności (3.3) wynika:
5�L�(5�`�)
( )
5�:� 5�`� = .
5�K�(5�`�)
Wobec czego odpowiedz układu
( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�K� 5�`� " 5�:�(5�`�) . (3.4)
Z twierdzenia o wartości końcowej (patrz przekształcenie Laplace'a) wynika, że wartość
statyczna 5�f�5�`�5�a� sygnału wyjściowego 5�f�(5�a�) wynosi:
( ) ( )
5�f�5�`�5�a� = lim 5�f� 5�a� = lim 5�`� " 5�L� 5�`� . (3.5)
5�a�" 5�`�"
( )
Podstawiając za 5�L� 5�`� zależność (3.4) otrzyma się:
( )
5�f�5�`�5�a� = lim 5�`� " 5�K� 5�`� " 5�:�(5�`�) . (3.6)
5�`�0
Dla obliczenia 5�f�5�`�5�a�należy przyjąć określone wymuszenie 5�K�(5�`�).
Niech 5�e�(5�a�) zmienia się skokowo o wartość 5�e�5�`�5�a� tj.
( )
5�e� 5�a� = 5�e�5�`�5�a� " 1(5�a�) , (3.7)
5�e�5�`�5�a�
( )
5�K� 5�`� = ,
5�`�
Z tego wynika:
5�e�5�`�5�a�
5�f�5�`�5�a� = lim 5�`� " 5�:�(5�`�)| : 5�e�5�`�5�a� , (3.8)
5�`�
5�`�0
5�f�5�`�5�a�
|5�`�=0
= 5�:�(5�`�) . (3.9)
5�e�5�`�5�a�
Ostatecznie otrzyma się:
5�f�5�`�5�a� 5�O�0
= , (3.10)
5�e�5�`�5�a� 5�N�0
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
3
5�O�0
5�f�5�`�5�a� = " 5�e�5�`�5�a� = 5�X� " 5�e�5�`�5�a� . (3.11)
5�N�0
Oznaczenia 5�e�5�`�5�a� i 5�f�5�`�5�a� wprowadzono dla wyraznego zaznaczenia wartości statycznych.
W podobny sposób można bardzo łatwo wyznaczyć dowolną zależność statyczną między
wybranymi sygnałami w układzie, po wcześniejszym określeniu stosownej transmitancji operatorowej
wiążącej rozpatrywane sygnały.
3.2. Charakterystyki dynamiczne czasowe, odpowiedzi układu
Jeżeli dowolny proces lub układ sterowania znajduje się w stanie równowagi i na jego wejście
wprowadzi się jedno z wymuszeń podanych w tablicy 2.1, nazywanych typowymi, to uzyskany przebieg
sygnału wyjściowego tego procesu (układu) nazywa się charakterystyką dynamiczną czasową. Jeżeli
wymuszenie miało przebieg zgodny z funkcją impulsową, to otrzymana charakterystyka dynamiczna
czasowa nazywana jest odpowiedzią impulsową.
W praktyce najczęściej stosuje się charakterystyki skokowe. Charakterystyki impulsowe w wielu
przypadkach są trudne do technicznego wykonania, mają bardziej znaczenie teoretyczne i mogą być
wyznaczone graficznie z charakterystyk skokowych. Wyjątek stanowi zdejmowanie charakterystyk
impulsowych dla układów mechanicznych, np. obracające się (lub nieruchome) wrzeciono obrabiarki.
Wówczas wymuszenie impulsowe można zrealizować przez lekkie uderzenie elementem metalowym
we wrzeciono. Poszukiwaną odpowiedzią są najczęściej drgania rejestrowane przez przetwornik
przyspieszeń umieszczony na obudowie wrzeciona.
Wymuszenia liniowo- lub parabolicznie narastające stosuje się m. innymi do: identyfikacji
właściwości dynamicznych procesów, testów (np. test toksyczności spalin w silnikach spalinowych)
tworzenia funkcji sklejanych opisujących wartości zadane w sterowaniu lub do modelowania średnich
wartości zakłóceń.
Z definicji charakterystyki dynamicznej czasowej wynika, że jest to odpowiedz układu,
otrzymana dla zerowych warunków początkowych, na jedno z wymuszeń przedstawionych w tablicy
2.1. Określenie "obliczanie odpowiedzi układu" nawiązuje do sensu fizycznego zadania
matematycznego, które jest nazywane rozwiązaniem równania różniczkowego dla określonych
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
4
warunków początkowych. Te ogólnie określone "warunki początkowe" definiowało zarówno
początkowy stan równowagi układu, jak i funkcję opisującą wymuszenie.
W ogólnym przypadku, dowolny jednowymiarowy układ liniowy może to być rozpatrywany jako
proces, zamknięty układ regulacji lub każdy inny dowolny układ, może być opisany transmitancją
operatorową 5�:�(5�`�) o pierwszej postaci kanonicznej w sposób:
5�O�5�Z�5�`�5�Z�+5�O�5�Z�15�`�5�Z�1+�"+5�O�15�`�+5�O�0
( )
5�:� 5�`� = 5�[� e" 5�Z� . (3.12)
5�N�5�[�5�`�5�[�+5�N�5�[�-15�`�5�[�-1+�"+5�N�15�`�+5�N�0
Wobec tego odpowiedz układu, tj. transformata sygnału wyjściowego 5�L�(5�`�) wynosi:
( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�K� 5�`� 5�:�(5�`�). (3.13)
a oryginał tego sygnału przedstawia się w sposób:
( ) ( ) ( )
5�f� 5�a� = 5�?�-1[5�K� 5�`� 5�:� 5�`� ] . (3.14)
W celu obliczenia odpowiedzi określonego układu w funkcji czasu 5�f�(5�a�) - oryginału funkcji,
konieczna jest znajomość: wymuszenia 5�e�(5�a�), transmitancji operatorowej 5�:�(5�`�) oraz warunków
(5�[�)
( ) ( )
początkowych 5�e� 0+ , 5�e� 0+ , & , 5�e� (0+), w których znajduje się układ w chwili wprowadzania
wymuszenia 5�e�(5�a�).
Obliczanie odpowiedzi skokowej
Rozpatrzona zostanie postać ogólna odpowiedzi układ o transmitancji (3.12), otrzymana dla
wymuszenia skokowego:
( ) ( )
5�e� 5�a� = 5�e�5�`�5�a�5�� 5�a� ,
5�e�5�`�5�a� (3.15)
( )
5�K� 5�`� = .
5�`�
oraz zerowych warunków początkowych.
Przypadek ten przedstawia charakterystykę skokową układu o ogólnej transmitancji
operatorowej (3.12).
Zgodnie z zależnością (3.13) otrzyma się:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
5
5�e�5�`�5�a� 5�O�5�Z�5�`�5�Z�+ 5�O�5�Z�-15�`�5�Z�-1+�"+ 5�O�15�`�+ 5�O�5�\�
( )
5�L� 5�`� = ,5�[� e" 5�Z� . (3.16)
5�`� 5�N�5�[�5�`�5�[�+ 5�N�5�[�-15�`�5�[�-1+�"+ 5�N�15�`�+ 5�N�5�\�
Gdy 5�O�5�f� transmitancja operatorowa 5�:�(5�`�) miała prostą postać, np. byłoby to jedne z
elementarnych właściwości, to przebieg 5�f�(5�a�) można byłoby odczytać bezpośrednio z tablic
transformat. W przypadku złożonym jak ten ogólny, dla posłużenia się tablicami transformat należy
zależność (3.16) rozłożyć na ułamki proste. Wcześniej należy obliczyć pierwiastki równania
charakterystycznego (bieguny układu) rozpatrywanego układu tj.:
5�N�5�[�5�`�5�[� + 5�N�5�[�-15�`�5�[�-1 + �" + 5�N�15�`� + 5�N�5�\� = 0 . (3.17)
Najbardziej ogólny przypadek dotyczy równania charakterystycznego, które posiada 5�X�
pierwiastków jednoktornych (zarówno rzeczywistych jak i zespolonych sprężonych) oraz 5�[� - 5�X�
pierwiastków wielokrotnych, np. o krotnościach 5�Z�, 5�Y�, itd. Wówczas zależność (3.16) może być zapisana
w sposób:
5�4�1 5�4�2 5�4�5�X� 5�5�1 5�5�2
( )
5�L� 5�`� = 5�e�5�`�5�a�(5�`� 5�4�0 + + + �" + + + + & + (5�`�-5�`�5�5�5�Z� + & )
-5�`�5�\� 5�`�-5�`�1 5�`�-5�`�2 5�`�-5�`�5�X� 5�`�-5�`�5�X�+1 (5�`�-5�`�5�X�+1)2 )5�Z�
5�\� 5�X�+5�Z�
(3.18)
Stałe rozkładu określone są przez zależności:
5�?�(5�`�5�X�)
5�4�5�X� =
5�@�2 (5�`�5�X�)
5�Q�5�@�(5�`�)
( )
5�@�2 5�`�5�X� =
5�Q�5�`�
| (3.19)
5�`� = 5�`�5�X�
lub
( )
5�?� 5�`� (5�`�-5�`�5�X�)
5�4�5�X� =
5�@�(5�`�)
|
5�`� = 5�`�5�X�
( )
5�?� 5�`� = 5�O�5�Z�5�`�5�Z� + 5�O�5�Z�-15�`�5�Z�-1 + �" + 5�O�15�`� + 5�O�5�\� , (3.20)
5�@�(5�`�) = 5�N�5�[�5�`�5�[� + 5�N�5�[�-15�`�5�[�-1 + . .. 5�N�15�`� + 5�N�5�\�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
6
( )
5�?� 5�`� (5�`�-5�`�5�X�+1)5�Z�
5�5�5�Z� = ,
|
5�`� = 5�`�5�X�+1
5�Q� ( )
5�5�5�Z�-1 = [5�?� 5�`� (5�`�-5�`�5�X�+1)5�Z� | , (3.21)
( )
5�Q�5�`� 5�@� 5�`�
5�`� = 5�`�5�X�+1
1 5�Q� ( )
5�5�5�Z�-2 = 5�Q�5�`� [5�?� 5�`� (5�`�-5�`�5�X�+1)5�Z� | ,
( )
2 5�@� 5�`�
5�`� = 5�`�5�X�+1
1 5�Q�5�V� ( )
5�5�5�Z�-5�V� = 5�Q�5�`�5�V� [5�?� 5�`� (5�`�-5�`�5�X�+1)5�Z� |
( )
5�V� ! 5�@� 5�`�
5�`� = 5�`�5�X�+1 ,
gdzie:
5�`�5�\� = 0,
5�`�1, 5�`�2, & , 5�`�5�X� - pierwiastki jednokrotne 5�`�0 `" 5�`�1 `" 5�`�2 `" 5�`�3 `" �" `" 5�`�5�X� `" 5�`�5�X�+1 `" 5�`�5�X�+5�[�, zarówno
rzeczywiste jak i zespolone,
5�`�5�X�+1, 5�`�5�X�+2, 5�`�5�X�+3 - przykładowo pierwiastki trzykrotne: 5�Z� = 3, 5�`�5�X�+1 = 5�`�5�X�+2 = 5�`�5�X�+3,
5�`�5�X�+4, 5�`�5�X�+5 - przykładowo pierwiastki dwukrotne: 5�Y� = 2, 5�`�5�X�+4 = 5�`�5�X�+5.
Podany przykład możliwych kombinacji pierwiastków oznacza, że 5�[� = 5�X� + 5�Z� + 5�Y�. Z tablic
transformat można odczytać oryginały funkcji odpowiadające transformatom występującym w
zależności (3.18) i wynoszą one:
( )
5�f� 5�a� = 5�e�5�`�5�a�(5�4�0 + 5�4�15�R�5�`�1"5�a� + 5�4�25�R�5�`�2"5�a� + �" + 5�4�5�X�5�R�5�`�5�X�"5�a� + 5�5�15�R�5�`�5�X�+1"5�a� + 5�5�25�a� 5�R�5�`�5�X�+1"5�a� + �" +
5�5�5�Z� " 5�a�5�Z�5�R�5�`�5�X�+1"5�a� + �" ). (3.22)
W przypadku, gdyby pierwiastki 5�`�1, 5�`�2, & , 5�`�5�X� były rzeczywiste, to byłby koniec obliczeń.
Natomiast jeżeli występują pierwiastki zespolone sprężone, to należy pozbyć się z dziedziny czasu (z
równania 3.22) jednostek urojonych. Dla przybliżenia problemu pokazany zostanie dalszy tok
postępowania dla przypadku gdy 5�X� = 5, 5�Z� = 3, 5�Y� = 2; pierwiastki pojedyncze wynoszą:
5�`�1,2 = -5��1,1 ą 5�W�5�ż�1,2
} . (3.23)
5�`�3,4 = -5��3,4 ą 5�W�5�ż�3,4
5�`�5 = -5�]�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
7
Niech rozpatrywane pierwiastki równania charakterystycznego układu (3.12) posiadają wartości
pokazane poglądowo na rys.3.2.
b� =w�
m
s=s+jw�
s
3
b� =w�
1-z�2
3 o(3)
3
s
1
b� =w�
1-z�2
1 o(1)
1
s
-�a�
s
9
s 1,2
-�a�
5
6 s
3,4
7
s
s 8
10 -p
Re=s�
a� =z� w�
1 1� o(1)
2 2� o(2)
-�b� =w�
1-z�2 a� =z� w�
2 o(2)
s
2
2
-�b� =w�
1-z�2
4 0(4)
s
4
4
Rys.3.2. Przykładowe położenie pierwiastków (5�`�1 `" 5�`�2 `" 5�`�3 `" 5�`�4 `" 5�`�5 `" 5�`�6 `" 5�`�9, 5�`�7 = 5�`�8, 5�`�9 = 5�`�10,
5�[� = 10, 5�X� = 5, 5�Z� = 3, 5�Y� = 2) układu (3.12) na płaszczyznie zespolonej 5�`� = 5�� + 5�W�5��
W zależności (3.23) w rozpatrywanym przykładzie pierwiastki 5�`�1 i 5�`�2 oraz 5�`�3 i 5�`�4 są parami
zespolone sprężone. Po podstawieniu ich wartości wg (3.23) w zależności (3.22) pojawią się jednostki
urojone. Również współczynniki 5�4�1 i 5�4�2 oraz 5�4�3 i 5�4�4 będą zawierały jednostki urojone.
Rozpatrzone zostaną tylko pierwiastki 5�`�1 i 5�`�2. Dla wyeliminowania jednostek urojonych
wykorzystany zostanie wzór Eulera. Do zależności (3.22) należy podstawić wartości pierwiastków (3.23)
oraz zapisać liczby 5�4�1 i 5�4�2 oraz 5�4�3 i 5�4�4 w postaci wykładniczej. Ze względu na ujemne części rzeczywiste
pierwiastków 5�`�1 i 5�`�2 oraz 5�`�3 i 5�`�4 obliczane z nich współczynniki 5�4�1 i 5�4�2 oraz 5�4�3 i 5�4�4 przyjmą wartości
przedstawione poglądowo na rys.3.3.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
8
w�
o
1
1
n
w�
Jm
A1
JmA1
j�1�
-ReA1
Re
-ReA2
-�j�2�
JmA2
A2
Rys.3.3. Położenie liczb 5�4�1 i 5�4�2 na płaszczyznie zespolonej
gdzie:
| |
5�4�1 = 5�4�1 5�R�5�W�5��1 ,
| |
5�4�2 = 5�4�2 5�R�5�W�5��2 ,
| | | |
5�4�1 = 5�4�2 = "(5�E�5�R�5�4�1)2 + (5�<�5�Z�5�4�1)2 = |5�4�1,2| ,
(3.24)
5�E�5�R�5�4�1 = -5�E�5�R�5�4�2 ,
5�<�5�Z�5�4�1 = -5�<�5�Z�5�4�2 ,
| | | |
5��1 = 5��2 = 5��1,2 ,
5��1 = -5��2 . }
Otrzyma się:
5�4�15�R�5�`�15�a� + 5�4�25�R�5�`�25�a� = |5�4�1,2| 5�R�5�W�5��1,25�R�(-5��1,2+5�W�5�ż�1,2) 5�a� + |5�4�1,2| 5�R�5�W�5��1,25�R�(-5��1,2-5�W�5�ż�1,2)5�a� =
|5�4�1,2| 5�R�5��1,25�a�(5�R�5�W�5��1,25�R�5�W�5�ż�1,25�a� + 5�R�-5�W�5��1,25�R�-5�W�5�ż�1,25�a�) = |5�4�1,2| 5�R�5��1,25�a�(5�R�5�W� (5�ż�1,25�a�+5��1,2 + 5�R�5�W�(5�ż�1,25�a�+5��1,2)) =
0,5 |5�4�1,2| 5�R�5��1,2cos(5�ż�1,25�a� + 5��1,2) . (3.25)
5�R�5�W�(5�ż�1,25�a�+5��1,2) + 5�R�5�W� (5�ż�1,25�a�+5��1,2) = 0,5 cos(5�ż�1,25�a� + 5��1,2) . (3.26)
Podobny wynik otrzyma się dla liczb 5�`�3 i 5�`�4 oraz 5�4�3 i 5�4�4.
Ze względu na sens fizyczny, wynikający z właściwości oscylacyjnych elementarnych procesów,
przyjęte wcześniej w zależnościach (3.23), oznaczenia zastąpione zostaną w sposób:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
9
5��1,2 = 5��1,2 = 5� �15��0(1)
2
5�ż�1,2 = 5��1,2 = 5��0(1)"1 - 5� �1
5��3,4 = 5��3,4 = 5� �25��0(2) . (3.27)
2
5�ż�3,4 = 5��3,4 = 5��0(2)"1 - 5� �2}
gdzie:
5� �1, 5� �2 tłumienia względne 0 < 5� � d" 1,
5��0(1), 5��0(2) częstości drgań własnych (naturalne).
Ostatecznie zależność (3.22), dla przyjętych przykładowo pierwiastków układu (3.12) i oznaczeń (3.27),
przyjmuje postać:
2
( )
5�f� 5�a� = 5�e�5�`�5�a�[5�4�0 + 0,5 |5�4�1,2|5�R�5� �15��5�\�(1)5�a� cos (5��0(1)"1 - 5� �1 5�a� + 5��1,2) + 0,5 |5�4�3,4| "
2
5�R�5� �25��0(1)5�a� cos (5��0(2)"1 - 5� �25�a� + 5��3,4) + 5�4�55�R�5�`�55�a� + 5�5�15�R�5�`�65�a� + 5�a� " 5�5�25�R�5�`�75�a� + 5�a�25�5�35�R�5�`�85�a� + 5�6�15�R�5�`�95�a� + 5�6�25�R�5�`�105�a� ].
(3.28)
Stałe 5�4�5�X�, 5�5�5�Z� i 5�6�5�Y� (5�X�=1,2,& ,5, 5�Z�=1,2,3; 5�Y� =1,2 oblicza się z zależności (3.20) i (3.22).
Otrzymana odpowiedz układu, w postaci ogólnej, składa się z następujących funkcji
elementarnych: przebiegu skokowego o wartości 5�4�0, 6. zanikających funkcji wykładniczych (stałe
5�4�5, 5�5�1, 5�5�2, 5�5�3, 5�6�1 i 5�6�2 będą miały znaki ujemne) oraz dwóch wykładniczo-malejących funkcji
2 2
harmonicznych o częstościach tłumionych 5��1 i 5��2 (5��1 = 5��0(1)"1 - 5� �1 , 5��2 = 5��0(1)"1 - 5� �2)
powstałych z pierwiastków zespolonych sprzężonych 5�`�1 i 5�`�2 oraz 5�`�3 i 5�`�4. Zależność (3.28) można
również przedstawić z użyciem funkcji sinus, jeżeli kąty rozwarte 5��1,2 = 90� + 5��1,2 i 5��3,4 = 90� + 5��3,4
zastąpi się kątami ostrymi 5��1,2 i 5��3,4. Części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego
w rozpatrywanym przypadku mają wartości ujemne o różnych wartościach; są wykładnikami funkcji
wykładniczych. Prędkość zanikania (w funkcji czasu) funkcji wykładniczych zależy od wartości
wspomnianych części rzeczywistych pierwiastków. Duże wartości powodują szybkie zanikanie, a małe
wartości wolne zanikanie. Najbardziej znaczący (widoczny) w przebiegu 5�f�(5�a�) będzie wpływ części
rzeczywistych pierwiastków leżących najbliżej osi urojonej (patrz rys.3.2) tj. 5��1,2 i ewentualnie 5��3,4.
Wpływ pierwiastków 5�`�10, 5�`�9, 5�`�8, 5�`�7, 5�`�6 i 5�`�5 na 5�f�(5�a�) w praktyce może nie być widoczny. Pierwiastki te
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
10
mogą w niewielkim stopniu zniekształcić początkowy przebieg funkcji 5�f�(5�a�), szczególnie gdy wartość
| |
pierwiastka 5�`�5 jest co najmniej dwukrotnie większa od wartości [5��3,4] i mogą być pominięte.
( )
5�f� 5�a� H" 5�e�5�`�5�a�[5�4�0 + 0,5 |5�4�1,2|5�R�5� �15��5�\�(1)5�a� cos(5��5�a� + 5��1,2) + 0,5 |5�4�3,4| 5�R�5� �25��0(2)5�a� cos(5��25�a� + 5��3,4)]
(3.29)
Jeżeli [5��3,4] jest ponad dwukrotnie większa od [5��1,2], to zależność (3.29) może być uproszczona do
postaci zawierającej współczynnik 5�4�0 oraz człon ze współczynnikiem |5�4�1,2|.
Przedstawione rozwiązanie 5�f�(5�a�) można uogólnić następująco:
�� Rozwiązania składają się z sum wykładniczych, co wynika z teorii równań różniczkowych.
Funkcje wykładnicze o postaci 5�R�5�`�5�V�5�a�, 5�V� = 1,2, .. , 5�X� nazywają się modami układu.
�� Przypadek pierwiastka wielokrotnego daje wyrażenia reprezentujące mody o postaci
5�a�25�R�5�`�5�V�5�a� 5�a�5�Z�-15�R�5�`�5�V�5�a�
5�R�5�`�5�V�5�a�, 5�a�5�R�5�`�5�V�5�a�, , & , , (3.30)
2! ( )
5�Z�-1 !
gdzie:
5�Z� jest krotnością pierwiastka.
�� Para biegunów zespolonych sprężonych:
5�`�5�V� = -5�� + 5�W�5�� ,
5�`�5�V�+1 = -5�� - 5�W�5�� , (3.31)
dla 5�� rzeczywiste i 5�� rzeczywiste i niezerowe, prowadzi do postaci modu oscylacyjnego
5�R�5��5�a� sin (5��5�a� + 5��), (3.32)
gdzie:
5�� kąt fazowy
5�� = 5� �5��0 - równoważna stała czasowa. (3.33)
Przestawionej w ogólnym rozwiązaniu odpowiedzi układu, rozkład transmitancji operatorowej
(3.16) na ułamki proste (3.18), posiada interesującą interpretację. Występująca w (3.18) suma
ułamków prostych transmitancji operatorowej (3.16) o postaci:
5�?�(5�`�) 5�4�1 5�4�2 5�4�5�X�
( )
5�:� 5�`� = = + + �" , (3.34)
5�@�(5�`�) 5�`�-5�`�1 5�`�-5�`�2 5�`�-5�`�5�X�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
11
jest sumą równań pierwszego rzędu, o wyjściach z elementów całkujących, które są współrzędnymi
stanu tego układu.
Stałe rozkładu (współczynniki) 5�4�1, 5�4�2, & , 5�4�5�X� nazywają się residuami rozpatrywanej
transmitancji 5�:�(5�`�) w punktach 5�`�1, 5�`�2, & , 5�`�5�X�.
Dalej zostaną przedstawione formy graficzne zapisu (3.34).
Odpowiedz impulsowa
Dla przypadku ogólnego charakterystyki impulsowej układu, otrzymuje się:
( ) ( )
5�e� 0+ = 0, 5�e� 5�a� = 5��(5�a�),
( ) ( )
5�e� 0+ = 0, 5�K� 5�`� = 1,
�"
( )
5�[�
( )
0+ = 0.
5�K�
5�O�5�[�5�`�5�[�+5�O�5�[�-1 5�`�5�[�-1+ �" 5�O�15�`�+5�O�0 5�?�(5�`�)
( )
5�L� 5�`� = 5�N�5�Z�5�`�5�Z�+5�N�5�Z�-1 5�`�5�Z�-1+ �" 5�N�15�`�+5�N�0 = ,
5�@�(5�`�)
5�Z� e" 5�[� .
gdzie:
( )
5�?�(5�`�) - licznik transmitancji operatorowej układu 5�:� 5�`� ,
( )
5�@�(5�`�) - mianownik transmitancji operatorowej 5�:� 5�`� ,
( )
5�@� 5�`� = 0 - równanie charakterystyczne rozpatrywanego układu rzędu 5�Z� .
( )
Ponieważ równanie 5�@� 5�`� = 0 jest 5�[� -tego rzędu, to posiada 5�[� wartości własnych
(pierwiastków). Wartości własne 5�`�1, 5�`�2, & , 5�`�5�[� równania charakterystycznego układu opisanego przez
( )
transmitancję operatorową 5�:� 5�`� , o czym już była mowa, nazywają się biegunami.
( )
Licznik 5�?�(5�`�) transmitancji operatorowej 5�:� 5�`� przyrównamy do zera:
( )
5�?� 5�`� = 0,
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
12
0 0 0
posiada rząd 5�Z� (5�Z� d" 5�[�). Wartości własne 5�`�1 , 5�`�2, . .. 5�`�5�[� tak utworzonego równania nazywają się
0 0 0
zerami transmitancji operatorowej. Bieguny 5�`�1, 5�`�2, & , 5�`�5�[� oraz zera 5�`�1 , 5�`�2, . .. 5�`�5�Z� transmitancji
operatorowej mogą posiadać różne kombinacje wartości: mogą to być wartości pojedyncze i
wielokrotne, rzeczywiste lub zespolone (zespolone występują parami jako sprzężone ze sobą). Dla
przejrzystości wygodnie jest zarówno bieguny jak i zera transmitancji operatorowej przedstawić
graficznie na płaszczyznie zespolonej (patrz rys.3.2).
Ogólną zależność obliczanej odpowiedzi impulsowej układu można przedstawić w sposób
zawierający postać kanoniczną transmitancji operatorowej 5�:�(5�`�) następująco:
(1+5�G�5�W�5�`�) [1 + 25� �5�W�(5�G�5�W�5�`�) + (5�G�5�W�5�`�)2]
( )
5�L� 5�`� = 1 " 5�X� ,
( ) [ ( ) ]
5�F�5�A�+ 1+5�G�5�V�5�`� 1 + 25� �5�V� 5�G�5�V�5�`� + (5�G�5�V�5�`�)2
gdzie:
5�X� - wzmocnienie statyczne układu,
5�G�5�V�, 5�G�5�W� - są to stałe czasowe,
5� �5�V�, 5� �5�W� - współczynniki tłumienia (5� � < 1),
5�A� - liczba biegunów w początku układu współrzędnych (5�`�5�V�=0),
1D
5�G�5�W� = -
5�`�5�W�0 dla 5�Z�2 zer rzeczywistych,
1D 5�`�
5�G�5�V� = - dla 5�[�2 biegunów rzeczywistych,
5�V�
1
5�G�5�W�2 = 1(5��5�W�2 + 5�ż�5�W�2) = dla 5�Z� - 5�Z�2 zer zespolonych sprzężonych,
5��5�W�2
1
5�G�5�V�2 = 1(5��5�V�2 + 5�ż�5�V�2) = dla 5�[� - 5�[�2 biegunów zespolonych sprzężonych,
5��5�V�2
m
1 Tj
D 5�[�
5�X� = 5�>� (
Ti),
1
5�N�5�W�
5� �5�W� = dla 5�Z� - 5�Z�2 zer zespolonych sprzężonych,
D
"
5��5�W�2 + 5�ż�5�W�2
5�N�5�V�
5� �5�V� = dla 5�[� - 5�[�2 biegunów zespolonych sprzężonych,
D
"5��5�V�2 + 5�ż�5�V�2
Kształt odpowiedzi impulsowej 5�f�(5�a�) układu zależy od położenia wartości własnych
5�`�5�V� (biegunów) na płaszczyznie zespolonej. Każda "para" wartości własnych zespolonych sprzężonych
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
13
daje w wyniku jedną odpowiedz impulsową oscylacyjną (patrz obliczanie odpowiedzi skokowej),
narysowaną dwukrotnie na rys.3.4- przy każdym punkcie oddzielnie. Jeżeli rozważany pierwiastek
(biegun) pojawia się w równaniu charakterystycznym z krotnością 5�X�, to wówczas należy pomnożyć
odpowiedz przez (5�a�5�X�/5�X�!).
Im=w�
Płaszczyzna
s=s�+�jw�
P
w�
0
2�
w� 1�-�z� =�b�
0
Re=s�
0
-�1�
cos z� =�Q�
-�a�=�z�w�o

P
Rys.3.4. Odpowiedzi impulsowe układu w zależności od położenia pierwiastka (bieguna) na
płaszczyznie zespolonej 5�`� (obok każdego 5ؙ� przedstawiono przebieg odpowiedzi impulsowej)
Przykładowo, para pierwiastków (biegunów) zespolonych sprzężonych (to układ II rzędu, tj.
5�[� = 2) jest położona w punktach 5�C� i 5�C�' na rys. 3.4, mających część rzeczywistą -5�� = -5� �5��5�\� i część
urojoną ą5�ż� = 5��5�\�"1 - 5� �2. Przeciwprostokątna 5�B�5�C� trójkąta 5�B�5�4�5�C� równa się 5��0 i jest to nietłumiona
część własna odpowiedzi. Kąt 5�4�5�B�5�C� wynosi:
Ś = -5�N�5�_�5�P� cos 5� �.
Wnioski wynikające z rys. 3.4.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
14
1. Wszystkie wartości własne, o dowolnej krotności, leżące w lewej półpłaszczyznie, prowadzą do
odpowiedzi, które zanikają w czasie. Im dalej od osi urojonej leżą one w lewej półpłaszczyznie, tym
szybciej zanikają odpowiedzi. Stała czasowa odpowiedzi, lub obwiedni odpowiedzi, równa się
odwrotności części rzeczywistej wartości własnej ze znakiem ujemnym. Zatem wszystkie wartości
własne leżące wzdłuż danej prostej do osi rzeczywistej mają tę samą stałą czasową.
2. Wszystkie wartości własne pojedyncze, leżące na osi urojonej, prowadzą do odpowiedzi o stałej
amplitudzie (tj. na granicy stabilności). Dla krotności większej niż jeden, odpowiedz rośnie z czasem i
nie jest stabilna.
3. Wszystkie wartości własne w prawej półpłaszczyznie, prowadzą do odpowiedzi rosnącej
nieograniczonej i wskazują zatem na to, że rozpatrywane układy są niestabilne.
4. Wszystkie wartości własne, leżące wzdłuż tej samej linii poziomej mają taką samą częstotliwość
oscylacji tłumionych 5�5� = 5��0"1 - 5� �2, pojawiającą się w odpowiedzi. Im dalej od osi rzeczywistej leżą
wartości własne, tym większe są częstotliwości odpowiedzi.
5. Wszystkie wartości własne leżące wzdłuż tego samego promienia wychodzącego z początku układu
współrzędnych mają ten sam współczynnik tłumienia. Wszystkie takie wartości własne będą zatem
wskazywać na to, że stosunek dwu kolejnych amplitud odpowiedzi oscylacyjnej jest stały. Z drugiej
strony wszystkie takie wartości własne będą dawać w wyniku tę samą całkowitą liczbę oscylacji zanim
odpowiedz wygaśnie.
6. W przypadku układu wyższego rzędu można stosować superpozycję i odpowiedz impulsowa równa
się wtedy sumie poszczególnych odpowiedzi zaznaczonych na rys. 4.4. Aby móc powiedzieć, że układ
ma dominującą odpowiedz drugiego rzędu, rozmieszczenie wartości własnych musi być następująca:
dwie wartości własne zespolone sprzężone muszą leżeć stosunkowo blisko osi urojonej, podczas gdy
wszystkie pozostałe muszą leżeć daleko w lewej półpłaszczyznie. Im dalsza jest ta separacja, tym lepsza
jest aproksymacja odpowiedzi układu przez dominującą odpowiedz drugiego rzędu.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
15
Z przedstawionej analizy wynika, że jest możliwe przewidywanie przemieszczania się wartości
własnych układu w funkcji głównych parametrów. Określone położenie wartości własnych układu, to
ściśle odpowiadający temu przebieg czasowy odpowiedzi układu, z którego wynikają określone
wskazniki jakości. Na tej podstawie powstała graficzna metoda konstruowania wykresu miejsc
geometrycznych wartości własnych układu (metoda projektowania układu) opracowana przez W.R.
Evansa [Evans, W.R. Control System Dynamics. New York: McGraw-Hill, 1953].
3.3. Charakterystyki dynamiczne częstotliwościowe
Charakterystyki dynamiczne częstotliwościowe są elementem tzw. analizy częstotliwościowej
sygnałów, której ogólne podstawy przedstawione zostały w punkcie Opis matematyczny sygnałów ,
w szczególności w opisie sygnału okresowego w szeregu Fouriera.
Charakterystyki częstotliwościowe należą do grupy dynamicznych. Określają zachowanie układu
w sinusoidalnym stanie ustalonym. Jeżeli na wejście układu liniowego i stacjonarnego zostanie
wprowadzony sygnał sinusoidalny, to po wygaśnięciu stanów przejściowych na wyjściu pojawi się
również sygnał sinusoidalny o tej samej częstotliwości. W ogólnym przypadku sygnał wyjściowy będzie
posiadał inną amplitudę niż sygnał wejściowy i będzie opózniony w fazie. Układ można w zupełności
opisać wykorzystując podane zachowanie, a mianowicie przedstawiając stosunek amplitudy na wyjściu
do amplitudy na wejściu i różnicy faz w całym zakresie częstotliwości wymuszającej od zera do
nieskończoności.
Charakterystyki częstotliwościowe mogą być zdejmowane eksperymentalnie i na ich podstawie
można dokonywać identyfikacji właściwości dynamicznych procesów. Ze względu na jednoznaczność
między formą graficzną opisu procesów wyrażoną przez charakterystyki częstotliwościowe i formą
analityczną, w postaci operatorowej, znając tę drugą formę można wykreślić charakterystyki
częstotliwościowe dowolnych procesów. Są bardzo ważnym i wygodnym narzędziem
wykorzystywanym w syntezie układów sterowania.
Podstawy teoretyczne
Za stan sinusoidalny uznaje się stan, w którym wszystkie procesy przejściowe zakończyły się
wygasły. Z obserwacji liniowych, stacjonarnych układów wynika, że jeżeli na wejście wprowadzi się
wymuszenie sinusoidalne:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
16
( )
5�e� 5�a� = 5�4�5�e� sin 5��5�a�, (3.35)
to po pewnym czasie na wyjściu pojawi się również sygnał sinusoidalny o postaci:
( )
5�f� 5�a� = 5�4�5�f� sin(5��5�a� + 5��). (3.36)
Dalej zostanie wykazane, że odpowiedz układu będzie miała postać (3.36).
x
Ax
t
0
2p�
T=
w�
y
Ay
t
0
2p�
T=
t�
w�
t�=�j�
w�
( ) ( )
Rys.3.5. Przebiegi wejściowe 5�e� 5�a� i wyjściowe 5�f� 5�a� układu w stanie ustalonym dla wymuszenia
sinusoidalnego
Wykonując eksperyment, dla różnych częstości wymuszenia, oraz odnotowując wartości 5�4�5�e�, 5�4�5�f�
oraz 5��:
5��
5�� = 25�� ,
5�G�
5�� = 5��5�� [rad] . (3.37)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
17
można sporządzić charakterystyki we współrzędnych liniowych, przedstawiające zmiany stosunku
5�4� (5��)
amplitud 5�4�5�f� = 5�@�(5��) i przesunięcia fazowego 5��(5��) w funkcji częstotliwości 5�� badanego układu.
(5��)
5�e�
Poglądowo taką charakterystykę przedstawia rys.3.6.
Ay
M(w�)�=�
Ax
w�
j�(�w�)�
0
w�
p�
2
Rys.3.6. Poglądowy przebieg charakterystyki 5�@�(5��) i 5��(5��) we współrzędnych liniowych
( ) ( )
Interesujący jest formalny związek między tak otrzymanymi sygnałami 5�e� 5�a� i 5�f� 5�a� . Z definicji
transmitancji operatorowej układu wynika:
5�?� [5�4�5�f� sin(5��5�a�+5��)
5�L�(5�`�)
( )
5�:� 5�`� = = . (3.38)
5�K�(5�`�) 5�?� [5�4�5�e� sin 5��5�a�]
Wielkości 5�4�5�e� i 5�4�5�f� są stałymi, a sygnały (3.35) i (3.36) są wyrażone za pomocą identycznej funkcji,
przy czym sygnał odpowiedzi (3.36) posiada przesunięcie 5��. Wobec tego zależność (3.38) można zapisać
w sposób:
5��
5�4�5�f�
5�?� [sin 5��5�a�]
5�`�
5��
( )
5�:� 5�`� = 5�?� [sin 5��5�a�] 5�R� (3.39)
5�4�5�e�
Ponieważ 5�`� = 5�W�5��, to transmitancja operatorowa 5�:�(5�`�) w postaci transmitancji widmowej 5�:�(5�W�5��) jest
równa:
5�:�(5�`�)|
= 5�:�(5�W�5��), (3.40)
5�`� = 5�W�5��
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
18
i wówczas zależność (3.39), po uproszczeniach, przyjmuje postać:
5�4�5�f�
( )
5�:� 5�W�5�� = 5�R�5�W�5��. (3.41)
5�4�5�e�
( )
Otrzymana postać transmitancji widmowej 5�:� 5�W�5�� , dla określonej częstości 5�� = 5��5�V�, jest
postacią wykładniczą liczby zespolonej 5�4�, która dla 5�� = -5��5�V� posiada również liczbę zespoloną
sprzężoną 5�4�2 (rys.3.7 (a)).
a) b)
Im
w�=w�
i
Im
A
P(w�i)
w�= Re
Re
j�
0
-�j�
w�=0
-�j�
Q(w�i)
w�
i
A
Rys.3.7. Interpretacja graficzna: a) zależność (3.39) dla 5�� = 5��5�V�, b) zależność (3.39) dla 5�� = 0 � +",
linią przerywaną zaznaczono 5�:�(5�W�5��) dla 5�� = 0 � -".
Oznacza to, że zależność (3.41), dla 5�� = 0 � +", będzie zbiorem punktów na płaszczyznie
zespolonej (rys.3.7 (b)), tworzących krzywą ciągłą.
5�4�5�f�(5��)
Stosunek amplitud jest modułem transmitancji widmowej (3.41), co można zapisać
5�4�5�e�(5��)
również w sposób:
5�4�5�f�(5��)
| |
5�:�(5�W�5��) = = "5�C�(5��)2 + 5�D�(5��)2 = 5�@�(5��) , (3.42)
5�4�5�e�(5��)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
19
gdzie:
5�C�(5��) - część rzeczywista transmitancji widmowej,
5�D�(5��) - część urojona transmitancji widmowej.
Argument 5��(5��) (przesunięcie fazowe) wynosi:
5�D�(5��)
5�� = 5�N�5�_�5�P� 5�a�5�T� . (3.43)
5�C�(5��)
Przedstawiona na rys.3.7 (b) forma graficzna transmitancji widmowej jest charakterystyką
częstotliwościową układu, równoważnią formie graficznej przedstawionej na rys.3.6.
Należy jeszcze wykazać, czy prawdziwe jest wyrażenie (3.36). Dla wejścia sinusoidalnego o
postaci (3.35) transformata ma postać:
( )
5�e� 5�a� = 5�4�5�e� 5�`�5�V�5�[� 5��5�a�
5�4�5�e�5�� . (3.44)
( ) [ ( )]
5�K� 5�`� = 5�?� 5�e� 5�a� =
5�`�2 + 5��2
Z definicji transmitancji operatorowej wynika:
5�?� (5�`�) 5�4�5�e� 5��
( ) ( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�K� 5�`� " 5�:� 5�`� = " . (3.45)
5�@� (5�`�) 5�`�2 + 5��2
( )
Dla pierwiastków 5�`�1, 5�`�2, & , 5�`�5�[� równania charakterystycznego 5�@� 5�`� = 0, zależność (3.45) można
przedstawić w sposób:
5�4�0 5�4�" 5�4�1 5�4�2
0
( )
5�L� 5�`� = + + + + �" , (3.46)
5�`�-5�W�5�� 5�`�+5�W�5�� 5�`�-5�`�1 5�`�-5�`�2
gdzie:
5�4�0 i 5�4�" - liczby zespolone sprzężone,
0
5�4�1, 5�4�2 , & , - współczynniki rozkładu 5�:�(5�`�) na ułamki proste.
Podstawiając 5�`� = 5�W�5�� obliczy się 5�4�0 i 5�4�" w sposób:
0
( ) ( )
5�:� 5�`� 5�4�5�e� 5�� 5�:� 5�W�5�� 5�4�5�e� 5�� 5�4�5�e� 5�:� (5�W�5��)
5�4�5�\� = [ ] = = , (3.47a)
5�`�+5�W�5�� 2 5�W�5�� 25�W�
5�`� = 5�W�5��
5�4�5�e� 5�:� (-5�W�5��)
5�4�" = . (3.47b)
0
-15�W�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
20
Dla otrzymania sinusoidalnie ustalonego stanu układu stabilnego, należy poddać odwrotnemu
przekształceniu Laplace a tylko dwa pierwsze wyrazy po prawej stronie równania (3.45). Pozostałe
wyrazy równania (3.46) reprezentują w dziedzinie czasu stan przejściowy (nieustalony). Otrzyma się:
5�4�0 5�4�"
0
5�f�(5�a�)5�`�5�a� = 5�?�-1[5�`�-5�W�5�� + ] . (3.48)
5�`�+5�W�5��
Po podstawieniu zależności (3.47) i dokonaniu odwrotnego przekształcenia Laplace a, uzyska
się wynik:
( ) (-5�W�5��
5�:� 5�W�5�� 5�:� )
5�f�(5�a�)5�b�5�`�5�a� = 5�4�5�e� [ 5�R�5�W�5��5�a� -
5�R�5�W�5��5�a�] . (3.49)
25�W� 25�W�
Ponieważ transmitancja widmowa 5�:�(5�W�5��) jest ogólnie liczbą zespoloną (patrz zależność (3.41) o
modelu (8) i fazie (9), co można dla 5�:�(5�W�5��) i 5�:�(-5�W�5��) zapisać jako:
( ) ( )
5�:� 5�W�5�� = 5�@� 5�� 5�R�+5�W�5��(5��) , (3.50a)
(-5�W�5�� = 5�@� 5�� 5�R�-5�W�5��(5��) . (3.50b)
5�:� ) ( )
Po podstawieniu (3.50a) i (3.50b) do wyrażenia (3.49) uzyskuje się:
+5�W�
[ ( )]-5�R�-5�W� [5��5�a� + 5�� (5��)]
( )
5�f�(5�a�)5�`�5�a� = 5�4�5�e� 5�@� 5�� [5�R� 5��5�a�+5�� 5�� ] . (3.51)
25�W�
Wykorzystując w zależności (3.51) wzór Eulera o postaci:
5�R�+5�W�5��-5�R�-5�W�5��
sin 5�� = , (3.52)
25�W�
otrzyma się:
( )
5�f�(5�a�)5�`�5�a� = 5�4�5�e� 5�@� 5�� 5�`�5�V�5�[� [5��5�a� + 5��(5��)]
Z porównania zależności (3.51) z zależnością (3.52) wynika, że
( )
5�f�(5�a�)5�`�5�a� = 5�4�5�f� sin [5��5�a� + 5�� 5�� ] , (3.53)
gdzie:
5�4�5�f� = 5�4�5�e� 5�@�(5��) .
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
21
5�4�5�f�(5��)
( )
Liczba 5�@� 5�� = jest stosunkiem modułów, nazywanym wzmocnieniem układu i jest
5�4�5�e�(5��)
funkcją częstotliwości 5��. Nazywana też jest charakterystyką częstotliwościową amplitudową lub
charakterystyką modułu rys.3.6 (a).
( )
Z rys.3.5 wynika, że ujemna wartość 5�� 5�� oznacza opóznienie się wyjścia za wejściem.
( )
Przesunięcie fazowe 5�� 5�� jest funkcją częstotliwości. Jeżeli 5�Z� i 5�[� są stopniami wielomianów
odpowiednio licznika 5�?�(5�`�) i mianownika 5�@�(5�`�) transmitancji operatorowej układu 5�:�(5�`�), wówczas dla
( )
5�� " przesunięcie fazowe 5�� 5�� wynosi:
5�[�-5�Z�
5��(5��) , (3.54)
5��/2
dla 5�� " .
Podana zależność dotyczy tzw. układów minimalnofazowych, tj. takich które nie zawierają
elementów z tzw. czystym opóznieniem typu 5�R�5��5�`� lub zer i biegunów dodatnich.
( )
Zależność 5�� 5�� , wykreślona w funkcji częstotliwości, nazywa się charakterystyką
częstotliwościową fazową (rys.3.6 (b)).
Postać charakterystyki częstotliwościowej amplitudowo-fazowej (rys.3.7 (b)) przedstawiona na
( )
płaszczyznie zmiennej zespolonej (nazywanej też płaszczyzną 5�:� 5�W�5�� , mającej osie rzeczywistą i
urojoną, nazywa się wykresem Nyquista.
W praktyce najczęściej korzysta się z charakterystyki częstotliwościowej, która tak jak rys.3.6,
przedstawia oddzielnie przebieg modułu i przebieg fazy, ale wyrażonej w skali logarytmicznej (rys.3.8),
przy czym moduł 5�@�(5��) przedstawia się w sposób:
( ) ( )
5�?� 5�� = 20 log 5�@� 5�� [5�Q�5�5�] . (3.55)
( )
Wartość logarytmu modułów 5�?� 5�� wyraża się w decybelach [dB]. Oś rzędnych log 5�� wyrażona
jest w dekadach a oś odciętych w poziomach co 20dB. Przebiegi charakterystyk przedstawia się w
sposób uproszczony, za pomocą odcinków linii prostych (asymptot), zaznaczając częstość załamania
(tzw. częstość sprzęgającą).
1
5��5�V� = ,
5��5�V�
} (3.56)
( )
5�?� 5��5�V� = 0 ,
( )
występującą dla 5�?� 5��5�V� = 0. Nachylenie asymptot, wynoszące, np. -205�Q�5�5�/5�Q�5�R�5�X�, oznacza się
współczynnikiem kierunkowym -1, 5�Q�5�Y�5�N� + 205�Q�5�O�/5�Q�5�R�5�X� będzie to +1.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
22
Taka postać charakterystyki częstotliwościowej nazywana jest wykresem Bodego.
Charakterystyki częstotliwościowe są sporządzone także dla układów nieliniowych. Należy
wówczas przestrzegać, by amplituda wymuszenia 5�4�5�e� miała wartość stałą dla wszystkich częstotliwości
5��. Inna wartość 5�4�5�e� odpowiada innej charakterystyce elementu nieliniowego ponieważ 5�4�5�e�1 (5��1) ą
5�4�5�f�1 (5��1)
5�4�5�f�2 (5��2)
.
5�4�5�e�2 (5��2)
Charakterystyki częstotliwościowe elementarnych procesów (podstawowych elementów)
Korzystając z zależności (3.40), (3.42) i (3.43), można wyznaczyć charakterystyki
częstotliwościowe dla elementarnych procesów na podstawie ich transmisji operatorowej.
Dla właściwości proporcjonalnych transmitancja operatorowa wynosi:
( )
5�:� 5�`� = 5�X� . (3.57)
Z zależności (3.40) wynika:
( )
5�:� 5�W�5�� = 5�:�(5�`�) ( )
|5�`� = 5�W�5��= 5�X� = 5�C� 5�� + 5�W�5�D�(5��) . (3.58)
Oznacza to, że
( )
5�C� 5�� = 5�X� ,
( )
5�D� 5�� = 0 .
Stąd wynika:
| | ( )
5�:� (5�W�5��) = 5�@� 5�� = 5�X� ,
( )
5�� 5�� = 0 , } (3.59)
( )
5�?� 5�=�5�� = 20 log 5�X� .
Przebieg modułu procesu o właściwościach proporcjonalnych jest stały, nie zależny od częstości
5�� i jest to prosta równoległa do osi 5�Y�5�\�5�T� 5�� w odległości od tej osi 20 5�Y�5�\�5�T� 5�X�. Przesunięcie fazowe wynosi
zero.
Właściwości inercyjne pierwszego rzędu opisuje transmitancja operatorowa
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
23
1
( )
5�:� 5�`� = . (3.60)
5�G�5�`�+1
Postępując jak poprzednio otrzyma się:
1 1-5�W�5��5�G� 1 5��5�G�
( ) |
5�:� 5�W�5�� = 5�:�(5�`�) = " = - 5�W� , (3.61)
1+5�W�5��5�G� 1-5�W�5��5�G� 1 + 5��25�G�2 1 + 5��25�G�2
5�`� = 5�W�5��
1
( )
5�C� 5�� =
,
1 + 5��25�G�2
-5��5�G�
( )
5�D� 5�� =
,
1 + 5��25�G�2
1
(3.62)
| | ( )
5�:�(5�W�5��) = 5�@� 5�� = ,
"1 + 5�G�25��2
( )
5�� 5�� = 5�N�5�_�5�P� 5�a�5�T� = -5��5�G�,
1
( )
! 5�� = 20 log ("1 + 5�G�25��2) = 20 log "1 + 5�G�25��2 .}
L(w�)
[dB]
+80
+60
+40
+20
0
0,1 1 10 100
0,001
0,01
logw�
-20
j�
+�p�/�2�
0,001 0,01 0,1 1 10 100
logw�
-�p�/�2�
-�p�.�
Rys.3.8. Współrzędne charakterystyki częstotliwościowej wyrażone w skali logarytmicznej
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
24
W podobny sposób wyznacza się charakterystyki częstotliwościowe dla pozostałych elementów
podstawowych. W tablicy 3.2 zostały przedstawione charakterystyki częstotliwościowe, w formie
wykresów Nyquista i Bodego, dla elementów podstawowych oraz innych występujących w wyniku
przekształceń elementów.
Tablica 3.2. Charakterystyki częstotliwościowe najczęściej występujących elementarnych procesów
[dB] L(w�)
40
20logk
20
1
Im
0
Element
10
0,1
Re -1 1 100 logw�
k
bezinercyjny
0
j�
( )
5�:� 5�`� = 5�X�
0
0,1
-1
1
100 logw�
10
[dB] L(w�)
40
20log k
-1
Im
20
2
-20dB/dek
Re
w�=� w�=�0�
Element inercyjny
0
1
1 rzędu -1 w�s=1/T
logw�
0,1 1 10 100
j�(w�)
1
1 w�s=1/T 10 100
( )
5�:� 5�`� = 0
5�G�5�`� + 1
w�s=1/T logw�
1 dekada
p�
p�
dek
4
4
w�s=1/T
p�
2
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
25
L(w�)
[dB]
40
-1
Im
20
1
w�=�T
logw�
0
0,1 1 10 100
-1
3
Re
-20
Element całkujący
0
w�=�
1
( )
5�:� 5�`� = j� (�w�)�
5�G�5�`�
-1 0 0,1 10 100
1
w�=�0
logw�
p�
2
L(w�)
[dB]
40
+1
20
Im
1
w�s=�
T logw�
0
w�=�
0,1 1 10 100
4 -1
Układ
-20
różniczkujący
w�=�0 Re j� (�w�)�
( )
5�:� 5�`� = 5�G�5�`� p�
2
0
-1 0 0,1 1 10 100
logw�
[dB] L(w�)
20
0
Im -1
0,1 1 10 100
logw�
5 w�s=1/T
w�=�
1R e
-20
0
Element
w�=�0� -2
oscylacyjny
-40
( )
5�:� 5�`� j�
1
-1
0,1 1 10 100
=
5�G�25�`�2 + 25��5�G�5�`� + 1
w�s=1/T
logw�
0
p�
2
-p�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
26
[dB] L(w�)
40
w�s=�1/T
20log k
-1
20
-20dB/dek
Im
0
6
Re
-1 w�s=1/T
w�=�0� w�=� logw�
0,1 1 10 100
Element inercyjny
j�(w�)
- 1
niestabilny 1 10 100
0
logw�
w�s=1/T
1
( )
5�:� 5�`� =
5�G�5�`� - 1
1 dekada
w�s=1/T
p�
2
w�s=�1/T
p�
40
20log k
-1
20
-20dB/dek
7
Im
0
Element inercyjny
-1 w�s=1/T
logw�
0,1 1 10 100
niestabilny
j�(w�)
Re
w�=� w�=�0�
1
1 dekada
( )
5�:� 5�`� =
p�
1
1 - 5�G�5�`�
2
p�
4
1 w�s=1/T 10 100
0
logw�
[dB] L(w�)
40
+1
20
-1
w� 0 0,1 1 1 10 100
logw�
T
8 Im
j�
Element
0
różniczkujący z
logw�
-1 0,1 1 10 100
inercją
Re
w�=�0�
p�
5�G�5�`� + 1
2
0 1
1
T
p�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
27
[dB] L(w�)
40
+1
20
-1
w� 0 0,1 1 1 10 100
logw�
9
T
Im
j�
Element
p�
różniczkujący z
inercją 1
Re
w�=�0� T
5�G�5�`� - 1
-1 0
p�
2
0
1
-1 0,1 1 10 100 logw�
T
[dB] L(w�)
40
+1
Im
20
-1 0 0,1 1 10 100
Re
0 1
10
logw�
w�s=1/T
w�=�0�
Element
j�
różniczkujący
( )
5�:� 5�`� = 1 - 5�G�5�`�
0 0,1 1 10 100
-1
logw�
w�s=1/T
w�=�
p�
4
p�
2
W tablicy 3.2 nie została przedstawiona charakterystyka częstotliwościowa właściwości
opózniających.
( )
5�:� 5�`� = 5�R�5��5�`� . (3.63)
W przypadku właściwości opóznionych występuje tylko przesunięcie fazowe, bez
zniekształcenia kształtu sygnału. Moduł i faza mają postać:
| | ( ) ( ) [ ] [ ]
5�:�(5�W�5��) = 1, 5�� 5�� = arg 5�:� 5�W�5�� = -5��5�� 5�_�5�N�5�Q� = -57,3 5��5�� 5�`�5�a�5�\�5�]�5�[�5�V� . (3.64)
Przedstawione w tablicy 3.2, najczęściej występujące elementy procesów, można zapisać w postaci
podanych niżej czynników lub ich kombinacji w sposób:
( )ą1
5�X� /5�`�5�A�, 1 + 5�G�5�`� , (1 + 25� �5�G�5�`� + 5�`�2)ą1
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
28
lub (3.65)
( )ą1 ( )2
5�X� /5�W�5��5�A�, 1 + 5�W�5��5�G� , [1 + 5�W�25� �5�� + 5�W�5�� ]ą1 .
W celu uniwersalnego przedstawienia charakterystyk częstotliwościowych, dla dowolnych
stałych czasowych 5�G�, można wprowadzić znormalizowaną częstotliwość 5�ś� w sposób:
5�ś� = 5��5�G� . (3.66)
Wówczas właściwości inercyjne (1 + 5�G�5�`�)-1 i oscylacyjne (1 + 25� �5�G�5�`� + 5�G�25�`�2)-1 i ich
odwrotności przyjmą postacie:
( )
(1 + 5�Wܩ)ą1, [1 + 25� � 5�Wܩ + (5�Wܩ)2]ą1 . (3.67)
Dla zależności 5�X�/5�`�5�A�, charakterystyki częstotliwościowe wynoszą:
5�X� 5�X� 5�X� 5��
( )
|(5�W�5��)5�A�| = , 5�� 5�� = arg = - 5�A�. (3.68)
5��5�A� (5�W�5��)5�A� 2
Z tego wynika, że przesunięcie fazowe 5��(5��) ma stałą wartość a przebieg modułu 5�?�(5��) jest
prostą stałego nachylenia -205�A�[5�Q�5�5�/5�Q�5�R�5�X�] i przecina oś odciętych dla częstotliwości 5�� = (5�X�)1/5�A�. Na
rys.3.2 przedstawione zostały wykresy Bodego w funkcji częstotliwości bezwymiarowych 5�ś� dla
właściwości: inercyjnych pierwszego rzędu, oscylacyjnych oraz opózniających, przedstawionych za
pomocą zależności (3.67); 5�A� = - 1. Częstości sprzęgające 5�ś�5�`�, nazywane też częstotliwościami
załamania, dla przebiegu (a) i (b) wynoszą 1.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
29
Rys.3.9. Charakterystyki częstotliwościowe (wykresy Bodego) w funkcji bezwymiarowej dla
właściwości: a) inercyjnych pierwszego rzędu, b) oscylacyjnych, c) opózniających
Charakterystyki dla wykładnika 5�A� = +1 będą odbiciem lustrzanym charakterystyk pokazanych
na rys.3.9. Charakterystyki częstotliwościowe o postaciach przedstawionych na rys.3.9, nazywane są
szablonami Bodego, ponieważ umożliwiają wykreślenie charakterystyk częstotliwościowych układów o
transmitancji ogólnej przedstawionej w postaci czynnikowej, złożonej z czynników (3.65).
Charakterystyki częstotliwościowe układu złożonego
Przez "układ złożony" rozumie się układ, na który składa się kilka połączonych szeregowo
elementów podstawowych. W przypadku układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym, rozpatruje się
charakterystykę częstotliwościową układu otwartego 5�:�5�H�0(5�`�), która jest połączeniem szeregowym
następujących elementów funkcjonalnych: regulatora 5�:�5�E�(5�`�), urządzenia wykonawczego (nastawnika)
5�:�5�J�(5�`�), sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�) i przetwornika pomiarowego 5�:�5�C�5�C�(5�`�):
( )
5�:�5�H�0 5�`� = 5�:�5�E�(5�`�) " 5�:�5�J�(5�`�) " 5�:�5�]�(5�`�) " 5�:�5�]�5�]�(5�`�) . (3.69)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
30
Po podstawieniu do zależności (3.69) poszczególnych właściwości, należy dokonać ewentualnie
dalszego ich rozpisania i uporządkowania na elementarne procesy (3.65) + (tablica 3.2). W wyniku
uzyska się transmitancję operatorową, którą ogólnie można zapisać w postaci czynnikowej jako iloczyn
elementarnych procesów w sposób:
(1 + 5�G�5�V�5�`�) [1 + 25� �5�W�5�G�5�W�5�`� + (5�G�5�W�5�`�)]
5�X�
( )
5�:�5�H�0 5�`� = . (3.70)
[ ( )]
5�`�5�A� (1 + 5�G�5�X�5�`�) 1 + 25� �5�Y�5�G�5�Y�5�`� + 5�G�5�Y�5�`�
W transmitancji (3.70) nie został uwzględniony element opózniający, który też może w układzie
występować. Zależność (3.70) można również zapisać ogólnie w sposób:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5�:� 5�`� = 5�:�1 5�`� " 5�:�2 5�`� " 5�:�3 5�`� " �" 5�:�5�[� 5�`� (3.71)
Transmitancja widmowa dla ogólnej postaci czynnikowej (3.71), z uwzględnieniem właściwości
poszczególnych procesów zapisanych w formach elementarnych, przedstawia się następująco:
( ) |5�`�=5�W�5�� ( ) ( ) ( ) ( )
5�:� 5�W�5�� = 5�:�(5�`�) = 5�@�1 5�� 5�R�-5�W�5��1(5��) " 5�@�2 5�� 5�R�-5�W�5��2(5��) " 5�@�3 5�� 5�R�-5�W�5��3(5��) " �" 5�@�5�[� 5�� 5�R�-5�W�5��5�[�(5��)
(3.72)
lub
( ) ( )
5�:� 5�W�5�� = 5�@� 5�� 5�R�-5�W�5��(5��)
gdzie:
(3.73)
( ) "5�[�
5�@� 5�� = 5�@�5�V�(5��) , 5�Z�oduł układu ,
5�V�=1
( ) "5�[� ( )
5�� 5�� = 5��5�V� 5�� , faza układu .
5�V�=1
}
( )
Ponieważ moduł 5�@� 5�� układu złożonego z kilku połączonych szeregowo transmitancji
operatorowych jest równy iloczynowi poszczególnych modułów, to przedstawiając charakterystyki
poszczególnych elementów we współrzędnych logarytmicznych, po ich graficznym zsumowaniu,
otrzyma się przebieg modułu wypadkowego układu. Z podanego powodu stosuje się do sporządzenia
charakterystyki amplitudowej (modułu) i fazowej współrzędne przedstawione na
rys. 3.3:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
31
a) dla modułu 5�Y�5�\�5�T�5�� i 5�?�(5��),
b) dla fazy 5�Y�5�\�5�T�5�� i 5��(5��), (3.74)
gdzie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5�?� 5�� = 20 5�Y�5�\�5�T�5�@� 5�� = 20 5�Y�5�\�5�T�5�@�1 5�� + 20 5�Y�5�\�5�T�5�@�2 5�� + 20 5�Y�5�\�5�T�5�@�3 5�� + �" 20 5�Y�5�\�5�T�5�@�5�[�1 5��
Podsumowanie:
Charakterystykę częstotliwościową, na którą składa się z przebiegu modułu (charakterystyka
amplitudowa) i przebiegu argumentu (charakterystyka fazowa), można sporządzić w następujące
sposoby:
a) Po zapisie transmitancji operatorowej układu w postaci iloczynu czynników (3.69), należy na
współrzędnych 5�?�(5��) i 5�Y�5�\�5�T� 5�� oraz 5��(5��) i 5�Y�5�\�5�T� 5�� wykreślić przebiegi asymptotyczne modułów i
argumentów poszczególnych czynników (tablica 3.2) i zsumować je graficznie. Dla ustalenia
poszczególnych przebiegów na osi 5�Y�5�\�5�T�5��, należy określić dla każdego elementu częstotliwość
sprzęgającą. Otrzymuje się w ten sposób uproszczoną charakterystykę (asymptotyczną), która może
być przydatna, np. do oceny stabilności układu, korekcji nastaw regulatora, oraz określenia pasma
przenoszenia.
b) Podobnie jak w (a) należy zapisać transmitancję operatorową układu w postaci czynnikowej (3.70) i
( )
posłużyć się współrzędnymi 5�Y�5�\�5�T� 5�ś� 5�� - 5�Y�5�\�5�T� 5�ś� (bezwymiarowymi). Dla poszczególnych przebiegów
na osie współrzędnych należy nanieść szablony pokazane na rys.3.9. Ustalenie położenia
charakterystyk poszczególnych elementów na osi 5�Y�5�\�5�T� 5�ś�, dokonuje się za pomocą częstotliwości
5�X�D Następnie należy zsumować
sprzęgających 5�ś�5�`�. Podobnie ustala się położenia elementu
5��5�A�.
graficznie charakterystyki poszczególnych elementów dla otrzymania przebiegów wypadkowych, ale
zaleca się wcześniejsze wykreślenie asymptot (tak jak w (a)) a dopiero naniesienie dokładnych
poprawek przebiegu w punktach załamania charakterystyki - w punktach wyznaczonych przez
częstotliwości sprzęgające 5�ś�5�`�.
Charakterystyki przybliżone (asymptotyczne) są wystarczające tylko dla pierwszej fazy
projektowania układu. W fazie końcowej należy wykreślić charakterystyki dokładne i w tym celu można
posłużyć się opisem metody (b) lub stosownym programem komputerowym.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
32
Szablony pokazane na rys.3.9 należy stosować bardzo ostrożnie i umiejętnie dla układów
minimalnofazowych.
Układy minimalnofazowe to takie, które zawierają tzw. czynniki modyfikujące, co w
transmitancji operatorowej (3.70) można stwierdzić przez wystąpienie znaku "-" przed 5�G�5�V� lub (2 5� �5�W�5�G�5�W�).
Takie elementy przesuwają wyłącznie fazę od 0 - 1800 wraz ze wzrostem częstotliwości 5��. Układy nie
minimalnofazowe zawierają bieguny dodatnie lub zera dodatnie i są niestabilne.
Opóznienie fazy powoduje także element opózniający:
( )
5�:� 5�`� = 5�R�-5��5�`� (3.75)
lub też transmitancje, które wynikają z rozwinięcia tego elementu w szereg Taylora:
1 - 0,55��5�`�
( )
5�:� 5�`� =
1 + 0,55��5�`�
} . (3.76)
( )2-6 5��5�`� + 12
5��5�`� ( )
( )
5�:� 5�`� =
( )2 ( )
5��5�`� + 6 5��5�`� + 12
Częstotliwość unormowana 5�ś� dla elementu opózniającego (13) wynosi
5�ś� = 5��5�� (3.77)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
33

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Charakteryzowanie procesów poligraficznych i technik drukowania
3 Charakterystyka procesów odwracalnych
charakterystyka procesów spalania
Charakterystyka procesorow Pentium
PERSWAZJA CHARAKTERYSTYKA PROCESU (PERSUASION
Spawanie TIG Charakterystyka procesu, dobór urządzeń
Procesy wydawnicze podział i charakterystyka publikacji wydawniczych (wykład 2)
II Słownik pojęć Proces realizacji sieci, charakterystyka istniejącej sieci
procesy
Escherichia coli charakterystyka i wykrywanie w zywności Cz I
Wyświetlacz MMI z 6 kanałowym procesorem dźwięku (9VD)
07 Charakteryzowanie budowy pojazdów samochodowych
I grupa układu pierwiastkow i charakterystyka najważniejszych pierwiasków

więcej podobnych podstron