Chapter Nine
Taylor and Laurent Series
9.1. Taylor series. Suppose f is analytic on the open disk z ?ð z0 <ð r. Let z be any point in
| |
this disk and choose C to be the positively oriented circle of radius _ð, where
z ?ð z0 <ð _ð <ð r. Then for sOðC we have
| |
Kð
z ?ð z0
Å»ð Þðj
1 1 1 1z?ðz
=ð =ð
>ð
0
s ?ð z s ?ð z0 1 ?ð s?ðz0 =ð
Å»ðs ?ð z0Þð ?ð Å»ðz ?ð z0Þð
s ?ð z0
Å»ð Þðj+ð1
j=ð0
z?ðz0
since <ð 1. The convergence is uniform, so we may integrate
| |
s?ðz0
Kð
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
ds =ð ds Å»ðz ?ð z0Þðj,or
Xð >ð Xð
s ?ð z
Å»ðs ?ð z0Þðj+ð1
j=ð0
C C
Kð
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
1 1
fÅ»ðzÞð =ð ds =ð ds Å»ðz ?ð z0Þðj.
Xð >ð Xð
s ?ð z
2^ði 2^ði
s ?ð z0
Å»ð Þðj+ð1
j=ð0
C C
We have thus produced a power series having the given analytic function as a limit:
Kð
fÅ»ðzÞð =ð cjÅ»ðz ?ð z0Þðj, z ?ð z0 <ð r,
| |
>ð
j=ð0
where
fÅ»ðsÞð
1
cj =ð ds.
Xð
2^ði
Å»ðs ?ð z0Þðj+ð1
C
This is the celebrated Taylor Series for f at z =ð z0.
We know we may differentiate the series to get
Kð
fvðÅ»ðzÞð =ð jcjÅ»ðz ?ð z0Þðj?ð1
>ð
j=ð1
9.1
and this one converges uniformly where the series for f does. We can thus differentiate
again and again to obtain
Kð
fÅ»ðnÞðÅ»ðzÞð =ð jÅ»ðj ?ð 1ÞðÅ»ðj ?ð 2Þðuð Å»ðj ?ð n +ð 1ÞðcjÅ»ðz ?ð z0Þðj?ðn.
>ð
j=ðn
Hence,
fÅ»ðnÞðÅ»ðz0Þð =ð n!cn, or
fÅ»ðnÞðÅ»ðz0Þð
cn =ð .
n!
But we also know that
fÅ»ðsÞð
1
cn =ð ds.
Xð
2^ði
Å»ðs ?ð z0Þðn+ð1
C
This gives us
fÅ»ðsÞð
n!
fÅ»ðnÞðÅ»ðz0Þð =ð ds, for n =ð 0, 1, 2, uð .
Xð
2^ði
Å»ðs ?ð z0Þðn+ð1
C
This is the famous Generalized Cauchy Integral Formula. Recall that we previously
derived this formula for n =ð 0 and 1.
What does all this tell us about the radius of convergence of a power series? Suppose we
have
Kð
fÅ»ðzÞð =ð cjÅ»ðz ?ð z0Þðj,
>ð
j=ð0
and the radius of convergence is R. Then we know, of course, that the limit function f is
analytic for z ?ð z0 <ð R. We showed that if f is analytic in z ?ð z0 <ð r, then the series
| | | |
converges for z ?ð z0 <ð r. Thus r ²ð R, and so f cannot be analytic at any point z for which
| |
z ?ð z0 >ð R. In other words, the circle of convergence is the largest circle centered at z0
| |
inside of which the limit f is analytic.
9.2
Example
Let fÅ»ðzÞð =ð expÅ»ðzÞð =ð ez. Then fÅ»ð0Þð =ð fvðÅ»ð0Þð =ðuð =ð fÅ»ðnÞðÅ»ð0Þð =ðuð =ð 1, and the Taylor series for f
at z0 =ð 0is
Kð
1
ez =ð zj
>ð
j!
j=ð0
and this is valid for all values of z since f is entire. (We also showed earlier that this
particular series has an infinite radius of convergence.)
Exercises
1. Show that for all z,
Kð
1
ez =ð e Å»ðz ?ð 1Þðj.
>ð
j!
j=ð0
n
2. What is the radius of convergence of the Taylor series >ð cjzj for tanh z ?
j=ð0
3. Show that
Kð
Å»ðz ?ð iÞðj
1
=ð
>ð
1 ?ð z
Å»ð1 ?ð iÞðj+ð1
j=ð0
for z ?ð i <ð 2 .
| |
1
4. If fÅ»ðzÞð =ð , what is fÅ»ð10ÞðÅ»ðiÞð ?
1?ðz
5. Suppose f is analytic at z =ð 0 and fÅ»ð0Þð =ð fvðÅ»ð0Þð =ð fvðvðÅ»ð0Þð =ð 0. Prove there is a function g
analytic at 0 such that fÅ»ðzÞð =ð z3gÅ»ðzÞð in a neighborhood of 0.
6. Find the Taylor series for fÅ»ðzÞð =ð sin z at z0 =ð 0.
7. Show that the function f defined by
9.3
sin z
for z ®ð 0
z
fÅ»ðzÞð =ð
1 for z =ð 0
is analytic at z =ð 0, and find fvðÅ»ð0Þð.
9.2. Laurent series. Suppose f is analytic in the region R1 <ð z ?ð z0 <ð R2, and let C be a
| |
positively oriented simple closed curve around z0 in this region. (Note: we include the
possiblites that R1 can be 0, and R2 =ð Kð.) We shall show that for z 6ð C in this region
Kð Kð
bj
fÅ»ðzÞð =ð ajÅ»ðz ?ð z0Þðj +ð ,
>ð >ð
Å»ðz ?ð z0Þðj
j=ð0 j=ð1
where
fÅ»ðsÞð
1
aj =ð ds, for j =ð 0, 1, 2, uð
Xð
2^ði
Å»ðs ?ð z0Þðj+ð1
C
and
fÅ»ðsÞð
1
bj =ð ds, for j =ð 1, 2, uð .
Xð
2^ði
Å»ðs ?ð z0Þð?ðj+ð1
C
The sum of the limits of these two series is frequently written
Kð
fÅ»ðzÞð =ð cjÅ»ðz ?ð z0Þðj,
>ð
j=ð?ðKð
where
fÅ»ðsÞð
1
cj =ð , j =ð 0, Ä…ð1, Ä…ð2,uð .
Xð
2^ði
Å»ðs ?ð z0Þðj+ð1
C
This recipe for fÅ»ðzÞð is called a Laurent series, although it is important to keep in mind that
it is really two series.
9.4
Okay, now let s derive the above formula. First, let r1 and r2 be so that
R1 <ð r1 ²ð z ?ð z0 ²ð r2 <ð R2 and so that the point z and the curve C are included in the
| |
region r1 ²ð z ?ð z0 ²ð r2. Also, let @ð be a circle centered at z and such that @ð is included in
| |
this region.
fÅ»ðsÞð
Then is an analytic function (of s) on the region bounded by C1, C2, and @ð, where C1 is
s?ðz
the circle z =ð r1 and C2 is the circle z =ð r2. Thus,
| | | |
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
ds =ð ds +ð ds.
Xð Xð Xð
s ?ð z s ?ð z s ?ð z
C2 C1 @ð
fÅ»ðsÞð
(All three circles are positively oriented, of course.) But Xð ds =ð 2^ðifÅ»ðzÞð, and so we have
s?ðz
@ð
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
2^ðifÅ»ðzÞð =ð ds ?ð ds.
Xð Xð
s ?ð z s ?ð z
C2 C1
Look at the first of the two integrals on the right-hand side of this equation. For sOðC2, we
have z ?ð z0 <ð s ?ð z0 , and so
| | | |
1 1
=ð
s ?ð z
Å»ðs ?ð z0Þð ?ð Å»ðz ?ð z0Þð
1 1
=ð
s ?ð z0 1 ?ð Å»ð z?ðz0 Þð
s?ðz0
Kð
z ?ð z0 j
1
=ð
>ð
s ?ð z0 s ?ð z0
j=ð0
Kð
1
=ð Å»ðz ?ð z0Þðj.
>ð
s ?ð z0
Å»ð Þðj+ð1
j=ð0
9.5
Hence,
Kð
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
ds =ð ds Å»ðz ?ð z0Þðj
Xð >ð Xð
s ?ð z
s ?ð z0
Å»ð Þðj+ð1
j=ð0
C2 C2
Kð
fÅ»ðsÞð
=ð . ds Å»ðz ?ð z0Þðj
>ð Xð
s ?ð z0
Å»ð Þðj+ð1
j=ð0
C
For the second of these two integrals, note that for sOðC1 we have s ?ð z0 <ð z ?ð z0 , and so
| | | |
1 ?ð1 ?ð1 1
=ð =ð
s?ðz0
s ?ð z z ?ð z0 1 ?ð Å»ð z?ðz0 Þð
z ?ð z0 ?ð Å»ðs ?ð z0Þð
Å»ð Þð
Kð Kð
s ?ð z0 j
?ð1 1
=ð
>ð >ð
z ?ð z0 z ?ð z0 =ð ?ð Å»ðs ?ð z0Þðj
z ?ð z0
Å»ð Þðj+ð1
j=ð0 j=ð0
Kð Kð
1 1
=ð ?ð Å»ðs ?ð z0Þðj?ð1 1 =ð ?ð
>ð >ð
z ?ð z0 s ?ð z0 z ?ð z0
Å»ð Þðj j=ð1 Å»ð Þð?ðj+ð1 Å»ð Þðj
j=ð1
As before,
Kð
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
1
ds =ð ?ð ds
Xð >ð Xð
s ?ð z
s ?ð z0 z ?ð z0
Å»ð Þð?ðj+ð1 Å»ð Þðj
j=ð1
C1 C2
Kð
fÅ»ðsÞð
1
=ð ?ð ds
>ð Xð
s ?ð z0 z ?ð z0
Å»ð Þð?ðj+ð1 Å»ð Þðj
j=ð1
C
Putting this altogether, we have the Laurent series:
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
1 1
fÅ»ðzÞð =ð ds ?ð ds
Xð Xð
s ?ð z s ?ð z
2^ði 2^ði
C2 C1
Kð Kð
fÅ»ðsÞð fÅ»ðsÞð
1 1 1
=ð ds Å»ðz ?ð z0Þðj +ð ds .
>ð Xð >ð Xð
2^ði 2^ði
s ?ð z0 s ?ð z0 z ?ð z0
Å»ð Þðj+ð1 Å»ð Þð?ðj+ð1 Å»ð Þðj
j=ð0 j=ð1
C C
Example
9.6
Let f be defined by
1
fÅ»ðzÞð =ð .
zÅ»ðz ?ð 1Þð
First, observe that f is analytic in the region 0 <ð z <ð 1. Let s find the Laurent series for f
| |
valid in this region. First,
1 1 1
fÅ»ðzÞð =ð =ð ?ð +ð .
z
z ?ð 1
zÅ»ðz ?ð 1Þð
From our vast knowledge of the Geometric series, we have
Kð
1
fÅ»ðzÞð =ð ?ð ?ð zj.
>ð
z
j=ð0
Now let s find another Laurent series for f, the one valid for the region 1 <ð z <ð Kð.
| |
First,
1 1 1
=ð .
z 1
z ?ð 1
1 ?ð
z
1
Now since <ð 1, we have
| |
z
Kð Kð
1 1 1 1
=ð =ð z?ðj =ð z?ðj,
>ð >ð
z 1 z
z ?ð 1
1 ?ð
z
j=ð0 j=ð1
and so
Kð
1 1 1
fÅ»ðzÞð =ð ?ð +ð =ð ?ð +ð z?ðj
>ð
z z
z ?ð 1
j=ð1
Kð
fÅ»ðzÞð =ð z?ðj.
>ð
j=ð2
Exercises
8. Find two Laurent series in powers of z for the function f defined by
9.7
1
fÅ»ðzÞð =ð
z2Å»ð1 ?ð zÞð
and specify the regions in which the series converge to fÅ»ðzÞð.
9. Find two Laurent series in powers of z for the function f defined by
1
fÅ»ðzÞð =ð
zÅ»ð1 +ð z2Þð
and specify the regions in which the series converge to fÅ»ðzÞð.
1
10. Find the Laurent series in powers of z ?ð 1for fÅ»ðzÞð =ð in the region 1 <ð z ?ð 1 <ð Kð.
| |
z
9.8