Praca i energia
PRACA
Praca wykonana przez siłę stałą
Definicja
Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły
F i wektora przesunięcia s
W = F Å"s = FscosÄ…
Przykład
Pracę wykonuje tylko składowa Fs = Fcosą
styczna do przesunięcia s
W > 0 gdy Ä… < 90Ú, W < 0 gdy a > 90Ú
siła tarcia T przeciwstawiająca się ruchowi
W = T·s = T s cos 180° = -T s
(Ä… = 180°)
1
Praca wykonana przez siłę zmienną
Przykład: Zmienna siła F(x) (równoległa do przemieszczenia)
"Wi = Fi"xi
x2
"
W = "xi = F(x) d x
"Fi
lim +"
"x0
i=1
x1
Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach
__
odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywÄ…
F(x) w zadanym przedziale W = F(x2 - x1)
Ogólnie:
"W = F Å""r
praca elementarna
"W = Fx"x + Fy"y + Fz"z
B
praca
W = (r)d r
+"F
A
Przykłady:
h
Praca w polu siły cię\
kości:
W = dy = mgh
+"mg
0
Praca siły dośrodkowej (prostopadłej do toru):
W = 0
Praca przeciw sile sprÄ™\
ystości:
x
x x
kx'2 kx2
W = F(x') d x =
+" +"(kx')d x'= 2 = 2
0 0
0
FS = -kx
F = kx
2
Moc
Definicja
Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w
jakim została ona wykonana.
__
__
Fs
W
Moc średnia P = = Fv
P = dla stałej siły:
t
t
__
dW ds
Moc chwilowa
P = P = F = Fv
dt dt
Jednostki
Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych
powszechnie stosowanÄ… jednostkÄ… mocy jest kilowat (kW), a jednostkÄ… energii
(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ - v0) t2 (v + v0)t
at2 (v öÅ‚
s =ìÅ‚v0t + ÷Å‚ =ìÅ‚v0t + ÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 t 2 2
ENERGIA Energia kinetyczna íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
v - v0 v + v0 mv2 mv0
Praca przy rozpędzaniu ciała
W = F Å" s = maÅ" s = mëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚t = -
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(przeciw sile bezwładności)
t 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Definicja
Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną Ek
ciała o masie m:
mv2
Ek = Ò! W = Ek - Ek 0 = "Ek
2
Prawa
1) Praca wykonana przez siłę F działającą na ciało o masie m jest równa
zmianie energii kinetycznej tego ciała.
2) Wykonana praca została  zmagazynowana w postaci ruchu ciała  ciało
mo\
e oddać tą pracę ale wtedy zmniejszy prędkość.
Jednostki
Jednostką pracy i energii jest w układzie SI d\
ul (J); 1J = 1N·m.
W fizyce atomowej powszechnie u\
ywa siÄ™ jednostki elektronowolt (eV);
1eV = 1.6·10-19 J.
3
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Przykład: rzut pionowy (bez oporu powietrza !!!)
Ciało rzucone do góry, wraca z tą samą prędkością i energią kinetyczną
Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmienia się
Praca wykonana przez siłę grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa zeru
Definicja
Siła jest zachowawcza, je\
eli praca wykonana przez tę siłę nad punktem
materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.
Siła grawitacji jest siłą zachowawczą. Podobnie siła sprę\
ysta wywierana przez sprÄ™\
ynÄ™.
Gdy występuje opór powietrza praca wykonywana przez siłę oporu jest ujemna dla ka\
dej części
cyklu (przeciwstawia się ruchowi ciało) więc zostaje wykonana praca ró\
na od zera
Siła oporu powietrza jest siłą niezachowawczą. Podobnie siła tarcia.
Praca wykonana przez siłę zachowawczą nie zale\
y od wyboru drogi Å‚Ä…czÄ…cej
dwa punkty ale od ich wzajemnego poło\
enia
WA1B +WB2 A = 0
WA2B = -WB2 A
WA1B = -WB2 A
WA1B = WA2B
4
Energia potencjalna
Gdy działają siły zachowawcze, mo\
na wprowadzić pojęcie energii potencjalnej Ep.
EnergiÄ™ potencjalnÄ… mo\
na traktować jako zgromadzoną w polu sił zachowawczych
pracę, która mo\
e być w przyszłości całkowicie odzyskana lub zamieniona na inną
u\
ytecznÄ… formÄ™ energii.
EnergiÄ™ potencjalnÄ… nazywa
siÄ™ energiÄ… (funkcjÄ…) stanu.
Dla siły zachowawczej F:
"Ep = WF zew = -WF
r r
"Ep = (r')d r'= - F(r') d r'
zew
+"F +"
r0 r0
r
Ep (r) = Ep (r0) + "Ep = Ep (r0) - F(r') d r'
+"
r0
Punkt r0 nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak,
\
eby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia Ep(r0) była równa zeru.
Przykłady
Energia potencjalna w pobli\
u powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y0 = 0)
y
Ep ( y) = Ep ( y0) - d y'= mgy
+"(-mg)
y0
Energia potencjalna idealnej niewa\
kiej sprÄ™\
yny (punkt odniesienia x0 = 0)
x
1
Ep (x) = Ep (x0) - d x'= kx2
+"(-kx') 2
x0
5
Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r ").
r r
Mm
Ep (r) = Ep (") - Fd r' = - ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"ëÅ‚- G r'2 öÅ‚d r' =
Mm
íÅ‚ Å‚Å‚
" "
Ep (r) = -G
r
r
Mm Mm
- G = -G
r' r
"
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza to dla dowolnej drogi z A do B
W = "Ek = EkB - EkA
W = -"E = -(EpB - E )
p pA
EkA + EpA = EkB + EpB
Ek + E = const.
p
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, \
e dla ciała
podlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i
potencjalnej jest stała.
Zasada zachowania energii mechanicznej obowiÄ…zuje dla wszystkich
odosobnionych układów ciał tzn. takich, na które nie działają siły zewnętrzne.
W takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał
pozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące.
6
Je\
eli oprócz siły zachowawczej Fz działa jeszcze siła niezachowawcza Fnz (np.
tarcie) to z twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy
Wz + Wnz = "Ek Wz = -"E
p
Wnz = "Ek + "Ep
Siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu a  stracona" energia
mechaniczna zostaje przekształcona na energię wewnętrzną U
Wnz = -"U "Ek + "Ep + "U = 0
Zmiana energii wewnętrznej "U jest równa rozproszonej energii mechanicznej.
Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii
wewnętrznej w układzie odosobnionym nie zmienia się. To jest zasada zachowania
energii całkowitej. Energia mo\
e być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie
mo\
e być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.
Je\
eli uwzględnimy jeszcze siłę Fzew wywieraną na układ przez czynnik zewnętrzny to:
Wzew +Wz +Wnz = "Ek
Wzew = "Ek + "Ep + "U
Praca wykonana przez czynnik zewnętrzny równa jest sumie zmian energii
kinetycznej, potencjalnej i energii wewnętrznej układu.
Zasada zachowania energii nale\
y do najbardziej podstawowych praw fizyki.
Wszystkie nasze doświadczenia pokazują, \
e jest to prawo bezwzględnie
obowiÄ…zujÄ…ce;
nie znamy wyjątków od tego prawa.
7
ZASADY ZACHOWANIA DLA UKA
ADU
ODOSOBNIONEGO (nie działają siły zewnętrzne)
d pcał
Zasada zachowania pędu :
= 0 Ò! pcaÅ‚ = const.
d t
d Lcał
Zasada zachowania momentu pędu :
= 0 Ò! LcaÅ‚ = const.
d t
dEcał
Zasada zachowania energii :
= 0 Ò! EcaÅ‚ = Ek + Ep + U = const.
dt
Przykład 1
F > Tmax
Tmax = fsN = fsmg cos¸
mg sin ¸ > fsmg cos¸
tg¸ > fs
mv2
"Ek =
2
h
"Ep = -WF = -smg sin¸ = - mg sin¸ = -mgh
sin¸
h
"U = -WT = -(-s fkmg cos¸ ) = fkmg cos¸ = mgh fkctg¸
sin¸
mv2
"Ek + "Ep + "U = 0
+ mgh fk cot¸ - mgh = 0 v = 2gh(1- fk ctg¸ )
2
8
Przykład 2
Skoczek na linie "bungee" skacze z punktu A i osiÄ…ga najni\
szy punkt B. Obliczyć
współczynnik sprę\
ystości liny k (F = -kx) jeśli wiadomo, \
e miała ona długość
poczatkową l i podczas skoku rozciagnęła się o x = 50% w stosunku do długości
poczÄ…tkowej. Masa skoczka wynosi m.
kx2
mgh = mg(h - l - x) +
2
EA = mgh
kx2
- mgl - mgx = 0
2
2
k(1/ 2l)
dla x = 0.5l : - mgl - mg(1/ 2l)= 0
2
1 3
k l2 = mgl
kx2
EB = mg(h - l - x) + 8 2
2
12mg
k =
l
-doskonale niesprÄ™\
yste
Zderzenia:
-doskonale sprÄ™\
yste
-inne
doskonale niesprÄ™\
yste:
- zas. zach. energii mechanicznej - niespełniona
- zas. zach. pędu - spełniona
p1+p2=p
m1v1x + m2v2 x
Å„Å‚v '=
x
ôÅ‚
m1 + m2
m1v1x + m2v2x = (m1 + m2)v'x
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
òÅ‚m v1y + m2v2 = (m1 + m2)v'y
1 y
ół ôÅ‚vy '= m1v1y + m2v2 y
ôÅ‚
m1 + m2
ół
v'= vsm
9
doskonale sprÄ™\
yste:
- zas. zach. energii mechanicznej - spełniona
Ek1+Ek2=Ek1 + Ek2
- zas. zach. pędu - spełniona
p1+p2=p1 + p2
d`" niecentralne
`"0 -
`"
`"
d=0 - centralne
przykład zderzenia niecentralnego
m1v1 = m1v1'cos¸1 + m2v2 'cos¸2
Å„Å‚
zas. zach. pędu
òÅ‚0 = m1v1'sin¸1 - m2v2'sin¸2
ół
1 1 1
(v1')2 + (v2')2
zas. zach. energii
m v2 = m m
1 1 1 2
2 2 2
przypadek szczególny: zderzenie centralne ( ¸1= ¸2=0 ) oraz m1=m2=m
mv1 = mv1'+mv2'
Å„Å‚
ôÅ‚
v1 = v1'+v2'
Å„Å‚ v1'= 0
Å„Å‚
òÅ‚1 1 1
òÅ‚ òÅ‚v '= v1
2
1
ôÅ‚2 m v2 = 2 m (v1')2 + 2 m (v2')2 1
ół 2
ół ółv = (v1')2 + (v2')2
10
przykÅ‚ad zderzenia centralnego ( ¸1= ¸2=0 )
m1v1 = m1v1'+m2v2'
Å„Å‚
zas. zach. pędu
ôÅ‚
òÅ‚1 1 1
1
ôÅ‚2 m1v2 = 2 m1(v1')2 + 2 m2 (v2')2 zas. zach. energii
ół
Å„Å‚m1(v1 - v1') = m2(v1 + v1')
m1(v1
Å„Å‚ - v1') = m2v2'
v1'`" v1
òÅ‚
òÅ‚
1
ół(v + v1') = v2'
1 2
ółm (v1 - v1')(v1 + v1') = m (v2')2
m1
Å„Å‚v '= - m2
v
1
1
ôÅ‚
m1(v1
Å„Å‚ - v1') = m2v2'
m2 + m1
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
1 ôÅ‚v2'= 2m1 v1
ół(v + v1') = v2'
ôÅ‚ m2 + m1
ół
przypadek szczególny gdy m1=m2=m:
v1'= 0
Å„Å‚
òÅ‚v '= v1
ół 2
przypadek szczególny: odbicie od bardzo du\
ej masy tzn. M>>m
m1
m1
Å„Å‚v ' = - M m1 / M
Å„Å‚v ' = - 1
0
v v
1 1 1 1
ôÅ‚ ôÅ‚
M Å„Å‚v1 ' H" -
m1 + M m1 / M + 1 v
1
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚v2 ' = 2 m1 v1 ôÅ‚v2 ' = 2 m1 v 1
' 0
ółv2
ôÅ‚ M + m1 ół M + m1
ôÅ‚
ół
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
1 1 1
(v1')2 + M (v2')2
m v2 = m
1 1 1
m1v1 H" -m1v1 + Mv2 ' 2 2 2
2
1 1 1 v1
ëÅ‚ öÅ‚
2m
1
2m1v1 H" Mv2' (v1')2 + M
m v2 = m ìÅ‚ ÷Å‚
1 1 1
2 2 2 M
íÅ‚ Å‚Å‚
2m1v1 1 1
v2'H" (v1')2
m v2 H" m
1 1 1
M 2 2
0
11