Rozdział 9
CiÄ…gi
145
9.1 Definicja ciągu i przykłady
Jakie znasz własności zbioru liczb naturalnych?
Przypomnij sobie definicje funkcji.
Co to jest dziedzina i przeciwdziedzina funkcji?
Jakie znasz sposoby definiowania funkcji?
Czy terminy  funkcja ,  odwzorowanie i  przekształcenie oznaczają to samo?
Co to jest funkcja monotoniczna?
Liczby naturalne od najdawniejszych czasów służą do liczenia przedmiotów i pozwalają po-
równać liczebność zbiorów skończonych. Wykorzystujemy je też bardzo często do  numerowa-
nia przedmiotów, co pozwala na wprowadzenie pewnego porządku w rodzinie  numerowanych
obiektów. Takie właśnie  numerowanie nazywamy ciągiem. W praktyce mamy do czynienia ze
skończonymi zbiorami obiektów, dlatego wykorzystujemy skończone podzbiory liczb naturalnych.
Wygodnie jest jednak posługiwać się zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Dlatego przyjmujemy
następującą definicję.
DEFINICJA
Ciągiem nieskończonym o wartościach w zbiorze X nazywamy dowolną funkcję określo-
ną na zbiorze liczb naturalnych bez zera o wartościach w X.
146
9. CI
GI
UWAGA
Formalnie można by zdefiniować ciąg na całym zbiorze liczb naturalnych. Z przyczyn prak-
tycznych jednak numerowanie zazwyczaj zaczyna siÄ™ od jedynki, a nie od zera, dlatego jako
dziedzinę ciągu najczęściej bierzemy zbiór N \ {0} = N*. Podyktowane jest to tradycją zwią-
zaną z oznaczeniami, szczególnie dla ciągów arytmetycznych i geometrycznych, oraz tym, że
bardzo długo zero nie było zaliczane do liczb naturalnych.
Może się też zdarzyć, że z różnych powodów z dziedziny wypadną inne liczby naturalne 
wtedy również będziemy używali terminu  ciąg .
Można by się więc pokusić o stwierdzenie, że ciągiem nazywamy funkcję określoną na pew-
nym podzbiorze liczb naturalnych (cały zbiór też jest podzbiorem).
Nie wykluczamy użycia terminu  ciąg w sytuacjach, gdy dziedzina nie pokrywa się z N*;
z kontekstu powinno być jasne, o jakie wyjątki chodzi.
Najczęściej zbiór X jest albo podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, albo całym zbiorem R 
wtedy mamy do czynienia z ciągiem liczbowym. W dalszych rozważaniach nieskończony ciąg
liczbowy będziemy nazywać krótko ciągiem.
ZADANIE
Spróbuj zdefiniować ciąg skończony, a następnie porównaj swoją definicję z definicjami słowniko-
wymi i encyklopedycznymi.
Dla ciągów stosujemy nieco inną symbolikę niż dla dowolnych funkcji.

Jeśli dany jest ciąg f: N* X, to obraz elementu n oznaczamy fn zamiast f(n). Częściej używa-
my symboli an, bn, cn itp.
(an )n " N*
Zamiast oznaczenia funkcyjnego a: N* X piszemy albo {an}n " N* lub krócej (an )
 szczególnie gdy dziedzina ciągu nie pokrywa się z N*.
Liczby (albo obiekty) an nazywamy wyrazami ciÄ…gu.
Wynika z tego, że w przypadku ciągów większy nacisk kładziemy na zbiór wartości niż na
samo przyporzÄ…dkowanie.
Ciąg jest szczególnym przypadkiem funkcji, możemy więc określać ciągi podobnie jak funkcje:
 za pomocą słownego opisu,
 przez wypisywanie kolejnych wyrazów,
 za pomocą wzoru ogólnego.
Dla ciągów mamy jeszcze jeden sposób, niedostępny dla innych funkcji:
 za pomocÄ… wzoru rekurencyjnego.
PRZYKA
AD 1
Najprostszy ciąg identycznościowy opisany wzorem an = n.
PRZYKA
AD 2
1
Ciąg odwrotności liczb naturalnych an = , musimy jednak pamiętać, że dla zera wzór nie ma
n
1
2
sensu. Możemy pozbyć się tej niedogodności, wprowadzając wzór an = , w którym zero już
n +1
jest dopuszczone, gdybyśmy chcieli określić ciąg na całym zbiorze liczb naturalnych. Oba ciągi
mają te same wyrazy, chociaż przyporządkowania są różne.
147
9. CI
GI
PRZYKA
AD 3
Ciąg, którego wyrazami są kolejne potęgi liczby 10, czyli symbolicznie an =10n.
PRZYKA
AD 4
Ciągi, w którym kolejnym liczbom naturalnym przyporządkowujemy kolejne liczby pierwsze. Tu
nie możemy podać wzoru opisującego ciąg, gdyż taki wzór nie istnieje.
PRZYKA
AD 5
3n + 4
Dany jest ciąg określony wzorem an = . Widzimy, że ciąg nie jest określony dla
(n -1)(n - 2)(n - 3)
n = 1, 2, 3. Mimo to tak określoną zależność również nazywamy ciągiem (rozszerzając definicję,
jak zasygnalizowaliśmy w uwadze na str. 147). Podobnie jak w przykładzie 2 możemy dokonać
przenumerowania wyrazów tego ciągu tak, żeby otrzymać funkcję określoną na N lub na N*.
UWAGA
Jeśli mamy ciąg rozumiany w ogólniejszym sensie, czyli określony na jakimś podzbiorze zbioru
liczb naturalnych, to zawsze możemy dokonać zmiany numeracji tak, żeby uzyskać funkcję na
całym zbiorze N* dla ciągu nieskończonego lub na jego podzbiorze postaci {1, 2, ..., n} dla
ciągu skończonego.
PRZYKA
AD 6
1 n
ëÅ‚öÅ‚.
Niech an = , Nie jest to ciąg liczbowy; jego wyrazami są pary liczb, które mogą
ìÅ‚
n2 +1 n2 +1÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
być interpretowane jako współrzędne punktów na płaszczyz
nie.
PRZYKA
AD 7
Ciąg można zdefiniować, podając pierwszy wyraz oraz przepis, jak z wyrazu k-krotnego uzyskać
wyraz następny. Przykładowo oraz ak + 1 = ak(k +1). Gdy uzupełnimy o przypadek a0 = 1,
a1 =1
ciąg jest określony dla wszystkich liczb naturalnych. Ogólny wzór można zapisać jako
an =1Å" 2 Å" 3 Å"...Å"n albo an = n!.
PRZYKA
AD 8
Nie zawsze wzór rekurencyjny można zamienić na ogólny. Niech a1 = 2 oraz ak + 1 = ak + 2 .
Dla tego ciągu nie ma eleganckiego wzoru ogólnego.
148
9. CI
GI
*
PRZYKA
AD 9
Niektóre wzory rekurencyjne zamieniają się w zaskakujący sposób na wzory ogólne. Przykładem
może być ciąg Fibonacciego: a1 =1, a2 =1, an + 2 = an + 1 + an. Dowodzi się, że wzór ogólny
(1+ 5)n -(1- 5)n
ma postać an = .
2n 5
Ciąg jest funkcją, a więc stosują się do niego definicje dotyczące funkcji. Dla ciągów jednak
ogólne sformułowania mogą przyjąć nieco inną postać.
Podobnie jak o funkcjach, mówimy o ciągach monotonicznych. Z ogólnej definicji wiemy, że:
 ciąg jest rosnący, gdy dla dowolnych m,n "N z warunku m < n wynika, że am < an,
(an )
 ciąg jest malejący, gdy dla dowolnych m,n "N z warunku m < n wynika, że am > an.
(an )
Można te określenia zastąpić prostszymi:
n "
 ciÄ…g jest rosnÄ…cy, gdy dla N zachodzi an < an + 1,
(an )
n "
 ciÄ…g jest malejÄ…cy, gdy dla N zachodzi an > an + 1.
(an )
Jest to naturalne spostrzeżenie: żeby sprawdzić monotoniczność ciągu liczbowego, wystarczy
porównać jego sąsiednie wyrazy.
PRZYKA
AD 10
3n +1
Zbadamy monotoniczność ciągu danego wzorem an = .
n + 2
W tym celu obliczymy różnicę an + 1  an i sprawdzimy jej znak. Najpierw jednak zobaczmy,
jak wyglÄ…da an + 1 :
3(n +1)+1 3n + 4
an + 1== .
(n +1)+ 2 n + 3
Wynika z tego, że
3n + 4 3n +1 (3n + 4)(n + 2)-(3n +1)(n + 3) 5
an + 1- an = - = = .
n + 3 n + 2 (n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2)
Widzimy, że różnica jest dodatnia, gdyż licznik i mianownik są dodatnie. Ciąg jest rosnący.
PRZYKA
AD 11
(-1)n
Ciąg dany jest wzorem an =1+ . Badamy jego monotoniczność, czyli najpierw wyznaczamy
n
(-1)n + 1
an + 1=1+
n +1
i liczymy różnicę
(-1)n + 1 (-1)n (-1)n + 1n -(-1)n(n +1) (-1)n + 1(2n +1)
an + 1- an =1+ -1- = = .
n +1 nn(n +1) n(n +1)
Skorzystaliśmy z tego, że -(-1)n =(-1)n + 1.
Jeśli n jest parzyste, to (-1)n + 1 = -1. Natomiast jeśli n jest nieparzyste, to (-1)n + 1 =1.
CiÄ…g nie jest ani rosnÄ…cy, ani malejÄ…cy.
149
9. CI
GI
PRZYKA
AD 12
1 1 1
Ciąg określony jest przez wypisanie początkowych wyrazów 1,  1, 2,  , 4,  , 8,  , ... .
2 4 8
Widzimy, że ten ciąg również nie jest monotoniczny, gdyż różnica sąsiednich wyrazów jest raz
dodatnia, a raz ujemna.
*Ważnym pojęciem jest również pojęcie ciągu ograniczonego.
DEFINICJA
Ciąg (an ) jest ograniczony, gdy istnieje taka liczba K > 0, że wszystkie wyrazy ciągu należą
do przedziału ( K; K ).
Wykorzystując pojęcie wartości bezwzględnej, możemy zapisać
an < K , dla każdego n"N.
Rozważa się też ciągi ograniczone z góry lub z dołu. Ciąg (an ) jest ograniczony z góry, gdy
n"
istnieje taka liczba L, że dla każdego N a < L.
n
ZADANIE
Sformułuj definicję ciągu ograniczonego z dołu.
PRZYKA
AD 13
1 1
2
Ciąg o wyrazie ogólnym an = jest ograniczony. Tu np. K = 2, ale może być równe , 100
n 2
albo innej liczbie większej od 2.
PRZYKA
AD 14
Ciąg jest ograniczony z dołu, ale nie jest ograniczony z góry.
an = n2
PRZYKA
AD 15
Ciąg an =(-1)n n5 nie jest ograniczony ani z dołu, ani z góry.
PRZYKA
AD 16
3n +1
Znany nam już ciąg an = jest ograniczony. Na pierwszy rzut oka trudno przewidzieć, jaka
n + 2
liczba jest liczbÄ… ograniczajÄ…cÄ…. Wez
my na przykład liczbę 3. Ciąg jest rosnący i wszystkie jego
wyrazy są dodatnie, wystarczy więc sprawdzić, dla jakich n zachodzi nierówność
3n +1
< 3.
n + 2
Do rozwiązania jest typowa nierówność wymierna
150
9. CI
GI
3n +1
- 3 < 0.
n + 2
Po prostych przekształceniach wygląda ona następująco:
5
- < 0,
n + 2
a ta zależność jest prawdziwa dla dowolnego n naturalnego.
Jak ustalić liczbę ograniczającą ciąg? Nie ma jednej metody pozwalającej ją wyznaczyć
i w wielu przypadkach nie jest to łatwe. Tylko w specjalnych sytuacjach można to zrobić względ-
nie prosto. W ostatnim przykładzie można przyjrzeć się wykresowi funkcji homograficznej, której
wartości w naturalnych argumentach są identyczne z wyrazami tego ciągu.
ZADANIE
Narysuj wykres odpowiedniej funkcji homograficznej i wyciÄ…gnij wnioski dotyczÄ…ce ostatniego
przykładu.
PRZYKA
AD 17
Czy potrafimy sprawdzić, że znany nam już ciąg określony rekurencyjnie a1= 2, an + 1 = 2 + an
jest ograniczony?
Można wyznaczyć przybliżenia kolejnych wyrazów (np. za pomocą kalkulatora) i przekonać
się, że nie przekroczą one liczby 2. I co dalej? Z pomocą przychodzi indukcja matematyczna.
Proponujemy twierdzenie:
Dla dowolnej liczby naturalnej (różnej od zera)
an < 2.
Warto zauważyć, że można tak przenumerować wyrazy, by nie trzeba było zakładać odrzu-
cenia zera.
Pierwszy krok jest oczywisty:
a1 = 2 < 2.
W drugim kroku z założonej nierówności ak < 2 mamy wywnioskować, że ak + 1< 2 .
Zatem
ak + 1 = 2 + ak < 2 + 2 = 4 = 2.
Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność jest prawdziwa dla dowolnego n i ciąg
jest ograniczony z góry przez 2, a ponieważ wyrazy są dodatnie, to ciąg jest ograniczony.
Spójrzmy jeszcze na wykresy ciągów. W układzie współrzędnych wykres ciągu jest repre-
(an )
zentowany przez punkty o współrzędnych (n;an ). Jeśli ciąg jest opisany wzorem i znana jest
funkcja f o takiej własności, że f (n) = an, to punkty wykresu ciągu są również punktami wykresu
tej funkcji, tyle że funkcji o takiej własności jest nieskończenie wiele.
151
9. CI
GI
PRZYKA
AD 18
Dla ciągu an = 2n -1 odpowiednią funkcją, której wykres
zawiera punkty wykresu tego ciÄ…gu, jest funkcja liniowa
postaci f (x ) = 2x -1. Można też wskazać inne funkcje
o tej własności, ale wzory nie będą już takie proste.
ZADANIA
1. Dla ciÄ…gu opisanego wzorem wyznacz wskazane wyrazy:
n
a) an = , wyznacz: a1, a10, a2k, a4k  1,
n +1
b) bn = sin(Ä„n), wyznacz: b2, b100, b101, bk 2, b2k, b2k  1,
c) cn =(-1)2n 3n, wyznacz: c0, c12, c2k, c2k  1.
2. Zbadaj monotoniczność ciągów:
2n +1
an = ,
a)
3n + 2
n2
b) bn = ,
2 - 3n
1
c) cn = (-1)n + ,
n
d) reszta z dzielenia n przez 10,
d =
n
e) - n2 +1,
un = 3n
f) pn =(-1)n 210n.
3. Ciąg (an ) jest ciągiem rosnącym. Co możesz powiedzieć o monotoniczności ciągu:
a)
bn =-an,
b) bn = pan , dla p > 0,
c) bn = an + 4,
d) bn = 3a2n?
4. Sprawdz
, który z następujących ciągów jest ciągiem ograniczonym, ograniczonym tylko z gó-
ry lub tylko z dołu:
4n + 7
a) an = ,
6n + 5
b) bn = 2n + 4n,
1
c) cn =(-1)n ,
5n
d) dn = cos(2002nĄ ).
9.2 CiÄ…g arytmetyczny
PRZYKA
AD 1
Na pewną wieżę prowadzi 300 schodów. Na jakie wysokości wznoszą się kolejne stopnie, jeśli
wysokość każdego stopnia wynosi 12 cm? Jak wysoka jest ta wieża?
152
9. CI
GI
Pierwszy stopień ma wysokość 12 cm i każdy następny wznosi się o 12 cm wyżej, czyli
poziomy wznoszenia się stopni tworzą ciąg 12, 24, 36, 48, ... . Ostatni wyraz ciągu jest równy
300Å"12 = 3600 i to jest wysokość wieży.
W przeogromnej rodzinie ciągów możemy wyróżnić pewne ciągi o specjalnych własnościach.
Ciągami mającymi liczne ważne i przydatne cechy są ciągi arytmetyczne, czyli ciągi, w których
kolejne wyrazy powstajÄ… przez dodanie ustalonej liczby do poprzednich.
DEFINICJA
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg skończony lub nieskończony, w którym różnica mię-
dzy sąsiednimi wyrazami jest stała.
Symbolicznie: ciÄ…g (an ) jest arytmetyczny, gdy
" r "n:an + 1 - an = r .
Specjalnie nie określamy dziedziny, żeby w jednej definicji ująć ciągi zarówno skończone, jak
i nieskończone.
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
UWAGA
Aby ciąg można było uznać za arytmetyczny, musi mieć przynajmniej trzy wyrazy. Ciągów
dwuwyrazowych nie uznajemy za arytmetyczne.
PRZYKA
AD 2
Najprostszym ciągiem arytmetycznym jest ciąg stały. Wtedy jego różnica jest równa 0.
PRZYKA
AD 3
Innym prostym ciągiem arytmetycznym jest ciąg kolejnych liczb naturalnych, czyli ciąg określony
wzorem an = n.
PRZYKA
AD 4
Ciąg kolejnych liczb nieparzystych też jest ciągiem arytmetycznym, podobnie jak ciąg kolejnych
liczb parzystych. W obu przypadkach różnica wynosi 2.
PRZYKA
AD 5
Ciąg określony wzorem an = nk, gdzie k jest dowolną liczbą naturalną różną od zera, jest ciągiem
arytmetycznym. Sprawdz
my to.
Wyznaczamy an + 1=(n +1)k i liczymy
an + 1 - an =(n +1)k - nk = nk + k - nk = k.
Różnica jest więc stała (niezależna od n).
153
9. CI
GI
PRZYKA
AD 6
Ciąg, którego początkowe wyrazy wyglądają następująco: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..., nie jest aryt-
metyczny.
PRZYKA
AD 7
CiÄ…g postaci an = n2 nie jest arytmetyczny.
ZADANIA
1. Podaj przykład ciągu arytmetycznego o wyrazach nie będących liczbami naturalnymi.
2. Podaj przykłady ciągów arytmetycznych o różnicy 1, których wyrazy nie są liczbami naturalnymi.
PRZYKA
AD 8
1
an = 7
Zbadamy, czy ciÄ…g opisany wzorem - n jest ciÄ…giem arytmetycznym.
5
1
Najpierw wyliczamy
an + 1= 7 - (n +1).
5
Następnie badamy różnicę
11 1
an + 1 - an = 7 - (n +1)- 7 + n = - .
55 5
Różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.
PRZYKA
AD 9
Czy ciÄ…g dany wzorem an = n2 +1 jest arytmetyczny?
Postępujemy już standardowo:
an + 1 - an =(n +1)2 +1- n2 -1= 2n +1.
Różnica jest zależna od n, ciąg nie może być arytmetyczny.
Prostota definicji ciągu arytmetycznego sugeruje możliwość podania ogólnego opisu takiego
ciągu w zależności od różnicy i pierwszego wyrazu.
Przypatrzmy się kolejnym wyrazom ciągu arytmetycznego o różnicy r i pierwszym wyrazie a1:
a2 = a1 + r,
a3 = a2 + r = a1 + 2r,
a4 = a3 + r = a1 + 3r,
a5 = a4 + r = a1 + 4r,
...
TWIERDZENIE
Jeśli ciąg (an ) jest arytmetyczny, to an = a1 +(n -1)r.
154
9. CI
GI
* Widzimy, że wzór jest prawdziwy dla kilku początkowych liczb naturalnych.
Nie wystarcza to jednak do przeprowadzenia formalnego dowodu.
Jest to twierdzenie o liczbach naturalnych, możemy więc zastosować zasadę indukcji mate-
matycznej. Rozumowanie nie jest trudne; warto mu się przyjrzeć, gdyż jest typowe dla dowodów
indukcyjnych.
Krok pierwszy już został sprawdzony.
Przypuśćmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla k, musimy stąd wyprowadzić prawdzi-
wość twierdzenia dla k + 1.
Z definicji
ak + 1 = ak + r ,
a z założenia indukcyjnego wiemy, że ak = a1 + (k -1)r , czyli
ak + 1 = a1 +(k -1)r + r = a1 + kr ,
o co chodziło.
Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.
Zauważmy jeszcze, że na podstawie definicji
an - an - 1 = an + 1 - an.
Wyliczając an, otrzymujemy ciekawą zależność:
an - 1 + an + 1
an = .
2
TWIERDZENIE
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (z wyjątkiem pierwszego i ostatniego w ciągach skończo-
nych) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.
Jeśli mamy pewne dane dotyczące ciągu arytmetycznego, to możemy wyznaczyć cały ciąg,
czyli wskazać pierwszy wyraz i różnicę, bo ze wzoru odtworzymy już każdy wyraz.
PRZYKA
AD 10
r =-15
,
Wyznacz ciąg arytmetyczny, gdy wiemy, że a7 = 68 i .
,
Do wyznaczenia całego ciągu wystarczy znalez
ć pierwszy wyraz.
Wiemy, że
a7 = a1 + 6 Å"(-1,5),
czyli
a1= 68 - 6 Å"(-1,5) =158.
, ,
Ciąg arytmetyczny ma postać an =15,8 +(n -1)(-15).
,
PRZYKA
AD 11
Wyznacz ciÄ…g arytmetyczny, majÄ…c dane a6 = 4 i a16 =10.
Rozwiązanie sprowadza się do ułożenia i rozwiązania układu równań
Å„Å‚
a6 = a1 + 5r
òÅ‚
= + 15r .
a a
ół 16 1
Dokładniej
4 = a1 + 5r
Å„Å‚
òÅ‚10 = + 15r .
a1
ół
3
Bez trudu wyliczymy, że a1 =1 oraz r = .
5
155
9. CI
GI
PRZYKA
AD 12
2
Dla jakich wartości x liczby 2, 2x, x - 2 tworzą ciąg arytmetyczny?
Domyślamy się, że kolejność elementów tego ciągu ma być taka jak w temacie zadania.
Z definicji ciÄ…gu arytmetycznego
2
2x - 2 = x - 2 - 2x
i stÄ…d
2
x - 4x = 0.
RozwiÄ…zaniem jest x = 0 lub x = 4.
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Bezpośrednio z definicji ciągu arytmetycznego uzyskamy wniosek dotyczący monotoniczności
ciÄ…gu arytmetycznego:
TWIERDZENIE
Jeśli różnica r ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeśli natomiast jest
ujemna, ciÄ…g jest malejÄ…cy.
Oczywiście, gdy różnica jest równa zeru, to ciąg jest stały.
Własnością ciągu arytmetycznego, niezwykle ważną w zastosowaniach, jest istnienie wzoru
na sumę kolejnych jego wyrazów. Bardzo często musimy obliczać sumy różnych ciągów liczbo-
wych. Jeśli są to wyrazy ciągu arytmetycznego, to obliczenia bardzo się upraszczają.
Wprowadz
my oznaczenie
Sn = a1 + a2 + ... + an.
Jest to suma n pierwszych wyrazów ciągu i może być zdefiniowana dla dowolnego ciągu,
niekoniecznie arytmetycznego.
Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
TWIERDZENIE
Jeśli ciąg (an ) jest arytmetyczny, to
a1 + an
Sn = Å"n.
2
Wzór ten jest bardzo użyteczny.
PRZYKA
AD 13
Wyznaczyć sumę n pierwszych kolejnych liczb nieparzystych.
156
9. CI
GI
Kolejne liczby nieparzyste tworzą ciąg arytmetyczny, którego wyraz ogólny ma postać
an = 2n -1, a różnica jest równa 2.
Ze wzoru
1+ 2n -1
Sn =Å" n = n2.
2
Wynik dość zaskakujący, prawda?
Podobnie znajdziemy sumÄ™ n kolejnych liczb parzystych dodatnich:
2 + 2n
Sn = Å" n = n(n +1).
2
* Rodzi się pytanie: skąd ten wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego?
Jest to twierdzenie o liczbach naturalnych, wolno nam więc zastosować zasadę indukcji. Za
jej pomocą zależność można udowodnić, ale nie mamy wytłumaczenia, skąd się to wzięło.
Spróbujmy odwołać się do geometrii. Dla uproszczenia załóżmy, że wyrazy an są dodatnie.
Wzór możemy interpretować jako pole pewnej figury  jest to połowa pola prostokąta o bokach
długości a1 +an i n.
Zauważmy, że
ak + an - k + 1 = a1 + (k -1)r + a1 + (n - k + 1-1)r =
= a1 + kr - r + a1 + nr - kr =
= a1 + a1 + (n -1)r = a1 + an.
Dodając parami odpowiednie wyrazy ciągu arytmetycznego skończonego, zawsze dostanie-
my sumÄ™ wyrazu pierwszego i ostatniego. Wyobraz
my sobie teraz, że ai jest reprezentowany
przez prostokąt o bokach długości 1 i właśnie ai. Po zsumowaniu pól prostokątów ak i an - k + 1
otrzymamy pole prostokÄ…ta o bokach a1 + an i n.
W ten sposób, jak głosi anegdota, miał postąpić młody Gauss, gdy będąc uczniem, rozwią-
zywał zadanie o zsumowaniu kolejnych liczb od 1 do 100 (w innych wersjach do 80).
Poprawny dowód w ogólnym przypadku nie obejdzie się jednak bez zastosowania indukcji
matematycznej.
PRZYKA
AD 14
Znajdz
liczby naturalne spełniające równanie 1+ 2 + 3 + ... +(n -1) = n.
Po lewej stronie mamy sumę wyrazów ciągu arytmetycznego kolejnych liczb naturalnych;
wykorzystujemy wzór
(1+ n -1)(n -1)
= n
2
i po przekształceniu otrzymujemy
n2 - n = 2n,
a stąd n = 3 lub n = 0. Liczbę 0 należy odrzucić (dlaczego?).
PRZYKA
AD 15
Oblicz sumę dwucyfrowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1.
Poszukiwane liczby to 13, 17, 21, ..., 97. Nie podlega dyskusji, że tworzą one ciąg arytme-
tyczny. Znamy pierwszy jego wyraz i ostatni. Trzeba jeszcze sprawdzić, ile wyrazów ma ten ciąg.
Można policzyć  na palcach , ale to wiąże się z możliwością pomyłki. Spróbujmy liczbę wyrazów
policzyć formalnie.
157
9. CI
GI
Wiemy, że a1=13, r = 4, an = 97. Korzystamy ze wzoru na postać n-krotnego wyrazu:
97 = 13 + (n  1)4,
i otrzymujemy n = 22.
Teraz już bez trudu znajdujemy sumę
13 + 97
S22 = Å" 22 =1210.
2
Podobnie możemy znajdować sumy różnych specjalnych ciągów.
ZADANIA
an  k + an + k
1. Sprawdz
, że dla wyrazów ciągu arytmetycznego an = , dla k < n.
2
2. Wyznacz ciÄ…g arytmetyczny, gdy dane sÄ…:
a) a3 =1, a6 = 8,
b) a2= 0, a10 =12,
c) a5 = 4, a7 = -4,
1
d) a4 = , a8 = 2.
2
3. Wyznacz sumÄ™ wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 7.
4. Wyznacz sumÄ™ liczb trzycyfrowych podzielnych przez 13.
5. Wyznacz sumÄ™ wszystkich liczb mniejszych od 2000 podzielnych przez 39.
9.3 CiÄ…g geometryczny
Zbadaliśmy własności ciągu, w którym różnica sąsiednich
wyrazów była stała. Teraz sprawdzimy, jak zachowuje się ciąg
o stałym ilorazie sąsiednich wyrazów.
Taki ciÄ…g nazywamy geometrycznym.
DEFINICJA
Skończony lub nieskończony ciąg (an ) nazywamy ciągiem
geometrycznym, gdy spełniony jest warunek
"q "R"n: an + 1 = qan.
LiczbÄ™ q nazywamy ilorazem ciÄ…gu geometrycznego (an ) .
UWAGA
Gdybyśmy zapisali definicję tak, jak najczęściej określa się potocznie ciąg geometryczny, że
iloraz sąsiednich wyrazów jest stały, tj.
an + 1
= q,
an
to należałoby przyjąć założenie q `" 0, które jest niewygodne w wielu konkretnych sytuacjach.
158
9. CI
GI
ZADANIE
Sformułuj precyzyjnie definicję ciągu geometrycznego bez użycia symboli.
PRZYKA
AD 1
CiÄ…g o wyrazach 2, 4, 8, 16, 32, ..., czyli ciÄ…g postaci an = 2n, jest ciÄ…giem geometrycznym.
PRZYKA
AD 2
Ciąg stały jest ciągiem geometrycznym.
PRZYKA
AD 3
3
CiÄ…g postaci an = jest ciÄ…giem geometrycznym.
10n
PRZYKA
AD 4
Ciąg kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie jest ciągiem geometrycznym, podobnie jak ciągi
trzecich, czwartych i innych potęg kolejnych liczb naturalnych.
PRZYKA
AD 5
CiÄ…g jest ciÄ…giem geometrycznym.
an =(-1)n
PRZYKA
AD 6
n
Sprawdz
, czy ciąg określony wzorem an = jest ciągiem geometrycznym.
n -1
n +1
Liczymy an + 1= i
n
n +1
an + 1 n (n +1)(n -1)
= = .
an n n2
n -1
Iloraz jest zależny od n, ciąg nie może być geometryczny.
Wypiszmy kilka wyrazów ciągu geometrycznego i spróbujmy przewidzieć wzór ogólny.
a2 = a1q
2
a3 = a2q = a1q
2 3
a4 = a3q = a2q = a1q
Nasze spostrzeżenia możemy ująć w twierdzenie.
159
9. CI
GI
TWIERDZENIE
Dla ciągu geometrycznego (an ) o ilorazie q prawdziwy jest wzór
n - 1
an = a1q .
* Uzasadnienie przeprowadzamy, posługując się zasadą indukcji matematycznej.
Krok pierwszy został już sprawdzony powyżej.
k - 1
Dla k z założonej prawdziwości wzoru ak = a1q wyprowadzimy prawdziwość wzoru
k
ak + 1 = a1q
:
k - 1 k
ak + 1 = akq = a1q q = a1q .
Na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe.
Podobnie jak ciÄ…g arytmetyczny, ciÄ…g geometryczny jest jednoznacznie wyznaczony przez
pierwszy wyraz i iloraz.
PRZYKA
AD 7
Wyznacz ciąg geometryczny, wiedząc, że a3 - a1 = 9 i a5 - a3 = 36 .
Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny:
2
a1q - a1 = 9,
4 2
a1q - a1q = 36.
Iloraz jest różny od zera, podobnie jak pierwszy wyraz, więc np. z pierwszego równania wyli-
czamy
9 + a1
2
q =
a1
i wstawiamy do drugiego równania
(9 + a1)2 9 + a1
a1 2 - a1 = 36,
a1 a1
(9 + a1)2 - a1(9 + a1) = 36a1.
UpraszczajÄ…c, otrzymamy
27a1= 81,
czyli a1 = 3, a q = 2 lub q =  2.
PRZYKA
AD 8
Mamy bardzo cienką ( nieskończenie cienką ) kwadratową kartkę papieru o boku 1m. Składamy
ją wzdłuż boków na cztery części i tak złożoną ponownie na cztery części, potem znów itd. Ile razy
musimy składać tak naszą kartkę, żeby jej bok po złożeniu był mniejszy niż 10 8 m?
1 1 1 1 1 1
DÅ‚ugoÅ›ci boków skÅ‚adanej kartki tworzÄ… ciÄ…g: 1, , Å" , Å" Å" , ....
2 2 2 2 2 2
1
Możemy przyjąć, że , gdyż jest to długość boku po pierwszym złożeniu.
a1=
2
1
Naturalnie, jest to ciÄ…g geometryczny o ilorazie q = . Nasze zadanie sprowadza siÄ™ do
2
wyznaczenia n, gdy
n - 1 n
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
an = Å" = <10-8.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
160
9. CI
GI
Mamy do czynienia z nierównością, w której niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.
Dokładniej takie równania i nierówności będziemy badać w rozdziale 11. Tu możemy oszacować
liczbę n, posługując się kalkulatorem, wystarczy bowiem znalez
ć takie n, by
2n >108.
n e" 27
Znajdujemy, że .  Wystarczy zatem dwadzieścia siedem razy złożyć kartkę  na czwo-
ro , żeby osiągnąć... średnicę atomu.
Ciąg geometryczny jest pod wieloma względami podobny do ciągu arytmetycznego, tylko
dodawanie zastępujemy mnożeniem. Będziemy mogli więc odszukać odpowiednią zależność po-
między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego. Z zależności
an + 1 an
=
an an - 1
wynika następujące twierdzenie.
TWIERDZENIE
Dla dowolnego wyrazu ciÄ…gu geometrycznego (z wyjÄ…tkiem pierwszego i ostatniego w ciÄ…gu
skończonym) o wyrazach dodatnich
an = an -1an + 1.
Średnia arytmetyczna została zastąpiona średnią geometryczną.
ZADANIE
Czy powyższe twierdzenie można uogólnić na ciągi geometryczne o dowolnych wyrazach lub na
pewne typy takich ciągów?
* Nieco bardziej skomplikowany niż w przypadku ciągów arytmetycznych jest problem mo-
notoniczności.
Przykładowo:
 gdy a1 > 0 i q > 1, to ciÄ…g jest rosnÄ…cy,
 gdy a1 > 0 i q " (0; 1), to ciÄ…g jest malejÄ…cy.
Podobnie będzie w innych przypadkach.
ZADANIA
1. Przeanalizuj inne przypadki monotoniczności ciągu, gdy pierwszy wyraz lub iloraz są liczbami
ujemnymi. Czy konieczne są założenia o pierwszym wyrazie ciągu?
2. Czy istnieją różne od stałych ciągi geometryczne, które nie są monotoniczne?
Do przedyskutowania został jeszcze problem sumy kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Najpierw sformułujmy twierdzenie.
TWIERDZENIE
Dla ciągu geometrycznego (an ) o ilorazie q `" 1 prawdziwa jest zależność
n
1-q
Sn = a1Å" .
1-q
161
9. CI
GI
* Znów mamy do czynienia z twierdzeniem o liczbach naturalnych, można by więc zastoso-
wać zasadę indukcji. Spróbujmy jednak uzasadnić wzór inaczej.
Z określenia symbolu wynika, że
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an.
Pomnóżmy obie strony równości przez q:
Snq = a1q + a2q + a3q + ... + anq,
i skorzystajmy z własności ciągu geometrycznego:
Snq = a2 + a3 + ... + an + anq = Sn - a1 + anq.
Po przekształceniu otrzymujemy:
Snq - Sn = anq - a1,
n - 1
Sn(q -1)= a1q q - a1,
czyli
n
q -1
Sn = a1Å" .
q -1
Zwyczajowo wzór na sumę zapisujemy tak jak w tezie twierdzenia.
ZADANIE
Wyznacz S , gdy q = 1.
n
PRZYKA
AD 9
1
Wyznaczmy sumÄ™ S dla ciÄ…gu postaci an = .
n
2n
1
1
W tym zadaniu q = i a1= . Wystarczy więc podstawić je do wzoru
2
2
1
1-
1
2n 1
Sn = Å" =1- .
1
22n
1-
2
1 1
q = :
Jeśli rozważymy ciąg postaci an = , to a1 =1 i
2n - 1 2
1
1-
2n ìÅ‚ 1 öÅ‚.
Sn =1Å" = 2 Å"ëÅ‚1-
÷Å‚
1
íÅ‚ 2n Å‚Å‚
1-
2
Jeśli iloraz jest większy od 1, to ciąg rośnie zaskakująco szybko.
PRZYKA
AD 10
Pewna osoba przekazała wiadomość-plotkę 5 innym osobom w ciągu godziny. Każda z tych osób
znów w ciągu godziny przekazała wiadomość innym 5 osobom itd. Ile osób pozna wiadomość po
5, 10 i 15 godzinach?
Jest to typowy ciÄ…g geometryczny okreÅ›lony wzorem an = 5 Å" 5n - 1 . Wypiszmy kilka poczÄ…tko-
wych wyrazów: a1 = 5, a2 = 25, a3 = 125, a4 = 625, a5 = 3125, a10 = 9 765 635 i dalej
162
9. CI
GI
a12 = 244 140 625, a13 = 1 220 703 125, a14 = 6 103 515 625. Po wyliczeniu odpowiedniej
sumy S okazuje się, że po 5 godzinach wiadomość powinna być znana w niewielkim miasteczku,
n
po 10 godzinach w państwie o liczbie ludności bliskiej liczbie mieszkańców Czech, po 12 godzi-
nach wiadomość znana by była w państwie o liczbie ludności zbliżonej do liczby mieszkańców
Stanów Zjednoczonych, a po 14 wiedziałaby o plotce ludność całej Ziemi z naddatkiem. Pytanie
o 15 godzin nie bardzo ma sens, bo wtedy liczba przekracza pięciokrotnie liczbę ludności kuli
ziemskiej.
Podobnie jest z tzw. łańcuszkami św. Antoniego: każdy uczestnik łańcuszka powinien wysłać
listy do 20 osób. Na szczęście w praktyce nie udaje się idealnie zrealizować wszystkich założeń
i plotki zbytnio się nie rozchodzą, nie jesteśmy zasypywani  łańcuszkowymi listami, a rozmnaża-
jąca się szarańcza nie pokrywa całej kuli ziemskiej.
Pokażemy jeszcze kilka zastosowań ciągów geometrycznych.
PRZYKA
AD 11
Zakładamy w banku roczną lokatę terminową. Poinformowano nas, że oprocentowanie w banku
w skali rocznej wynosi 8%. Kapitalizacja odsetek następuje po roku. Postanawiamy wyłożyć 1000 zł.
Ile będziemy mieli oszczędności po 5, 10, 15 latach (pomijamy inflację i różne podatki oraz
prowizje, które w trakcie oszczędzania mogą zostać wprowadzone).
Najpierw wyjaśnijmy, że okres kapitalizacji odsetek to czas, po którym do złożonej kwoty
dopisuje się odsetki. Może to być miesiąc, kwartał, rok albo inny okres.
Z warunków zadania wynika, że kapitalizacja następuje po roku, czyli do 1000 zł bank dopisze
nam po upÅ‚ywie roku 80 zÅ‚, czyli nasz kapitaÅ‚ wyniesie 1000 + 0,08 Å" 1000 = 1000(1+ 0,08) =
=1080.
Po 2 latach do kwoty 1080 zÅ‚ dopisujemy 8% tej sumy i otrzymujemy 1080 + 0,08 Å" 1080 =
= 1080(1 + 0,08) = 1000(1 + 0,08)2.
Po 3 latach uzyskamy kwotÄ™ 1000(1+ 0,08)3.
Bez trudu formułujemy ogólny wzór: kwota po n latach będzie równa
1000 Å" (1,08)n.
Teraz już możemy rozwiązać zadanie, korzystając z kalkulatora.
H" H"
Po 5 latach bÄ™dziemy mieć 1000 Å" (1,08)5 1000 Å" 1,469328077 1469,33 zÅ‚, po 10 la-
tach 2158,92 zł, a po 15 latach 3172,17 zł. Nie należy jednak zapominać, że w ciągu 15 lat
może ulec zmianie oprocentowanie, zmieni się inflacja i prawo, a tym samym siła nabywcza
naszych pieniędzy.
Po analizie ostatniego przykładu możemy podać ogólny wzór na oprocentowanie oszczędno-
ści, nazywany też wzorem na procent składany:
K = K (1+ r )n.
n
ëÅ‚podanym
Liczba K jest początkową kwotą oszczędności, p rocznym oprocentowaniem
ìÅ‚
íÅ‚
8
öÅ‚
w postaci ułamka, np. , a n liczbą lat. Zakładamy oczywiście, że okres kapitalizacji wy-
÷Å‚
100 Å‚Å‚
nosi rok.
*
ZADANIE
Wyprowadz
podobny wzór na procent składany, gdy okres kapitalizacji jest inny, np. wynosi
miesiąc lub kwartał.
163
9. CI
GI
Wspominaliśmy o inflacji. Prześledz
my jeszcze jeden przykład.
PRZYKA
AD 12
Przypuśćmy, że miesięczna inflacja wynosi 1%. Jaka jest inflacja roczna?
Inflacja p% oznacza, że ceny wzrosły o p% w rozważanym okresie. Jeszcze bardziej obra-
zowo: jeśli coś na początku okresu kosztowało np. 100 zł i p = 1, to pod koniec kosztowało
100 + 0,01 Å" 100 = 100(1+ 0,01).
p
Poziom cen po danym okresie (np. po miesiÄ…cu) zmieni siÄ™ w stosunku 1+ , a w naszym
100
zadaniu o 1+ 0,01. Widzimy tu podobieństwo z dopiero co opisywanym procentem składanym.
Po 2 miesiącach mamy więc poziom cen (1+ 0,01)2, po trzech (1+ 0,01)3 itd.
Po roku poziom cen przedstawia się następująco (101)12 H"1,126 , a to daje inflację roczną
,
w wysokości 12,6%.
ZADANIA
1. Sprawdz
, że dla dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego (z wyjątkiem pierwszego i ostat-
niego w ciągu skończonym) o wyrazach dodatnich an = an  k an + k , dla k < n.
2. Wyznacz ciÄ…g geometryczny, gdy znane sÄ…:
a) a2= 2, a4 = 2 2,
b) a9 = 3, a4 = -3,
c) a5 = 4000, a2= 4.
3. Zastanów się, jaki ciąg tworzą odwrotności wyrazów ciągu geometrycznego.
4. Zbadaj, czy kwadraty kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego tworzą ciąg geometryczny.
5. Zastanów się, jaki ciąg tworzą różnice kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
6. Zbadaj monotoniczność następujących ciągów geometrycznych:
1 1
a)
a1=- , q =- ,
2 2
b)
a1=-2, q = 3 -1,
1
c) a1=-4, q = ,
5
d) a1= 3, q = - 3.
7. Sprawdz
, czy iloczyn ciągów geometrycznych jest ciągiem geometrycznym.
* 9.4 Granica ciÄ…gu
Wylicz przybliżenia dziesiętne kilku wyrazów ciągów
1 1 1+(-1)n
an = , bn = n , ,
cn =1+ an = .
n n
n
Napisz kilka (kilkanaście) kolejnych przybliżeń licz-
by Ä„, 2, 7.
Wybierz dowolną liczbę dodatnią, którą można
wpisać do kalkulatora, i wykonaj na niej wielo-
krotnie operacjÄ™ . Naciskaj klawisz z tym sym-
bolem. Co daje się zauważyć? Wykonaj podobny
M. C. Escher
eksperyment z innymi klawiszami funkcyjnymi.
164
9. CI
GI
PRZYKA
AD 1
Podzielmy odcinek (np. odcinek jednostkowy na osi odciętych) na pół. Następnie prawy odcinek
podziału znów podzielmy na pół itd. Choć operacje można wykonywać w nieskończoność, to
wydaje się, że jeżeli dodamy długości wszystkich odcinków z lewej strony podziałów, to dostanie-
my skończoną długość całego odcinka wyjściowego.
1
ëÅ‚ öÅ‚
Jeśli wypiszemy kolejne wyrazy ciągu , to zauważymy, że są one coraz mniejsze i jakby
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
zbliżają się do zera. Podobnie będzie z wyrazami ciągów i . Natomiast wyrazy
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n2
n
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
( n )
ciągów (n2) i  uciekają do nieskończoności, a w ciągu (-1)n n3 wyrazy  rozbiegają się
w dwie strony. Używając wielokrotnie na kalkulatorze klawisza  sin do losowo wybranej liczby,
widzimy, że o tak generowanym ciągu nic specjalnie sensownego nie można powiedzieć.
Przyglądając się różnym ciągom, zauważamy, że ich wyrazy czasem jakby skupiają się wokół
wyróżnionych liczb, czasem rozbiegają się zupełnie. Ma-
tematycy postanowili precyzyjnie opisać takie zachowa-
nie ciągów. Okazało się to niezwykle ważne nie tylko
w samej matematyce, ale również w jej zastosowaniach
w fizyce, technice i innych dziedzinach działalności ludzi.
W ten sposób pojawiło się jedno z najważniejszych
pojęć matematyki  granica. Termin ten jest wykorzy-
stywany w różnych sytuacjach (zob. np. podrozdział 6.2.,
str. 95). My zajmiemy się granicami ciągów.
Definicja granicy ciągu będzie nas informować, kie-
dy dana liczba może być uznana za granicę badanego
ciÄ…gu.
Podamy najpierw definicjÄ™ opisowÄ….
Liczbę g nazwiemy granicą ciągu (an ) przy n zmierzającym do nieskończoności, gdy dla
dowolnej liczby µ > 0 możemy znalez
ć taki wskaz
nik n0, że dla wszystkich wskaz
ników więk-
(g
szych od n0 wyrazy ciÄ…gu leżą w przedziale - µ; g + µ).
(g jest otoczeniem licz-
PrzedziaÅ‚ - µ; g + µ)
by g. Otoczenie liczby to przedział, w którego
wnętrzu znajduje się ta liczba; ogólnie nie musi
to być przedział tak  symetryczny jak w defi-
nicji granicy.
Definicję możemy zapisać również tak:
Liczbę g nazwiemy granicą ciągu (an ) przy n zmierzającym do nieskończoności, gdy dla
dowolnego otoczenia g możemy znalez
ć taki wskaz
nik n0, że dla wszystkich wskaz
ników
większych od n0 wyrazy ciągu leżą w tym otoczeniu.
Symbolicznie zapisujemy definicję następująco:
"µ > 0 "n0"n > n0:an"(g - µ;g + µ )
albo
"µ > 0 "n0"n > n0: an -g < µ.
165
9. CI
GI
g a z definicji
Zapis an"(g - µ;g + µ ) oznacza, że - µ < an < g + µ i dalej -µ < an -g < µ,
wartoÅ›ci bezwzglÄ™dnej wiemy, że an -g < µ , stÄ…d równoważność zapisu.
To, że ciąg (an ) ma granicę g, zapisujemy symbolicznie
liman = g
n "
i czytamy: granica ciągu (an ) przy n zmierzającym do nieskończoności jest równa g.
UWAGA
W definicji napisane jest  dla dowolnego otoczenia albo  dla dowolnej liczby µ > 0 
w domyÅ›le chodzi o bardzo maÅ‚e otoczenia i bardzo maÅ‚e liczby µ. Zależy nam na tym, żeby
wyrazy ciągu były  blisko granicy.
Zwrot  przy n zmierzającym do nieskończoności często będzie opuszczany.
PRZYKA
AD 2
1
an =
Sprawdzimy, czy ciąg ma granicę 0 przy n zmierzającym do nieskończoności.
n
Wybieramy dowolne (czyli otoczenie liczby 0). Musimy teraz dobrać taki wskaz
nik n0,
µ > 0
że dla n > n0
1
< µ.
n
Ta nierówność powinna być spełniona, możemy zatem spróbować z niej wyznaczyć n
w zależnoÅ›ci od µ:
1< nµ,
1
< n.
µ
1
Czyli dla wybranego µ wskaz
nik n0 musi być większy od , a wtedy będziemy mieli gwaran-
µ
1
ëÅ‚ öÅ‚
(-µ; µ).
cję, że dla n > n0 wyrazy ciągu będą leżeć w przedziale
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Jakie n0 wybieramy? Wystarczy, żeby tylko spełniało warunek < n0 , poza tym może być
µ
dowolne.
Wyznaczmy takie n0 dla konkretnych µ.
1
Gdy µ = , to n0 >10 , czyli możemy wziąć n0 równe 11, 12, 123 albo nawet 1423 itd.
10
1
µ =
Gdy , to n0 >10 000 , czyli n0 może być równe 10 001, 10 234 itd.
10 000
35
359 043 453
µ =
Gdy , to n0 >=10 258 384,73 , możemy więc przyjąć za n0
359 043 453
35
liczby 10 258 385, 20 000 000 itd.
Ze wzglÄ™du na to, że dla każdego µ potrafimy znalez
ć odpowiednie n0, prawdziwa jest rów-
ność
1
li" = 0.
m
n
n
166
9. CI
GI
PRZYKA
AD 3
1
Sprawdzimy, czy
lim = 0.
n "
n + 3
Znów do wybranego µ > 0 musimy dobrać wskaz
nik n0, żeby dla n > n0 spełniona była
nierówność
1
< µ.
n + 3
Właśnie z tej nierówności oszacujemy poszukiwane n0:
1< µ n + 3 ,
1
< n + 3.
µ
Możemy obie strony nierówności podnieść do kwadratu, gdyż mamy do czynienia z liczbami
dodatnimi.
Otrzymujemy
22
11
ëÅ‚ öÅ‚< n + 3, czyli - 3 < n.
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
µµ
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Wiemy już, jak do µ dobierać n0. Liczba 0 jest rzeczywiÅ›cie granicÄ… badanego ciÄ…gu.
ZADANIE
W powyższym ciÄ…gu wskaż n0 dla wybranych konkretnych µ.
PRZYKA
AD 4
CiÄ…g nie ma granicy.
an =(-1)n
Jaka liczba mogłaby być jego granicą? Nie 1, bo
ëÅ‚1- 1 1
öÅ‚
; 1+
w przedziale nie mieszczÄ… siÄ™ wyrazy
ìÅ‚÷Å‚
2 2
íÅ‚Å‚Å‚
, których jest nieskończenie wiele. Z analo-
a2n - 1=-1
gicznych powodów  1 nie może być granicą. Rów-
nież żadna inna liczba rzeczywista nie może być kan-
dydatką na granicę, bo zawsze znajdziemy przedział-
-otoczenie, w którym nie ma żadnych wyrazów
badanego ciÄ…gu.
Można zadać pytanie: ile granic może mieć ciąg?
Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
TWIERDZENIE
Jeśli ciąg ma granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
Bez obaw zatem możemy wyznaczać granice ciągów, o ile tylko istnieją.
167
9. CI
GI
Posługując się bezpośrednio definicją, można udowodnić, że:
1. jeśli ciąg (an ) jest stały, czyli dla każdego n wyraz a = a, to liman = a,
n
n "
1
2.
lim = 0,
n "
n
1
3. lim = 0,
n "
n2
1
4. lim = 0 , dla k " N \ {0},
n "
nk
1
5.
lim = 0,
n "
2n
1
6. dla p > 1.
lim = 0,
n
n "
p
Bardziej skomplikowane są uzasadnienia następujących zależności:
n
7.
lim n =1,
n "
n
8. lim a =1, dla a > 0,
n "
n
9. lim q = 0, dla q <1.
n"
ZADANIE
Dla ciągów podanych w punktach 1 9 wypisz kilka lub kilkanaście wyrazów, wykorzystując
kalkulator lub jakiÅ› program komputerowy.
Wyznaczanie granic na podstawie definicji jest trudne i uciążliwe. Ponadto musi być znany
 kandydat na granicÄ™. Bardzo pomocne w wyznaczaniu granic sÄ… rozliczne twierdzenia opisu-
jące ich własności.
Jednym z fundamentalnych twierdzeń jest twierdzenie następujące.
TWIERDZENIE
Jeśli li"an = a i lim bn = b, to:
m
n n "
1.
li" + bn ) = a+ b,
m(an
n
2. lim(anbn )= ab,
n "
an a
3. lim = , przy założeniu, że b `" 0.
n "
bn b
W szczególności z twierdzenia wynika wniosek.
WNIOSEK
1. lim(Ä…an ) = Ä…a, a"
dla R
n "
lim(an - bn ) = a- b
2.
n "
168
9. CI
GI
ZADANIE
Wypowiedz powyższe twierdzenie i wniosek, nie używając symboli.
UWAGA
W twierdzeniu wyraz
nie jest zaznaczone, że granica sumy istnieje, o ile istnieją poszczegól-
ne granice. Podobnie jest dla iloczynu i ilorazu. W praktyce często liczymy granicę sumy,
zakładając milcząco, że granice składników istnieją. Może się jednak zdarzyć, że istnieje
granica sumy, mimo iż nie istnieją granice składników. Wtedy oczywiście założenia twierdze-
nia nie są spełnione.
PRZYKA
AD 5
Niech an =(-1)n i bn =(-1)n + 1 . Wtedy an +bn =(-1)n +(-1)n + 1 =(-1)n(1+(-1)) = 0,
czyli
li" +bn ) = 0 , ale granice poszczególnych ciągów nie istnieją.
m(an
n
PRZYKA
AD 6
n2 +1
Oblicz granicÄ™ lim .
n "
2n2 + n
Milcząco zakładamy, że granica istnieje i niejako na wyrost stosujemy twierdzenie o granicy
sumy, iloczynu i ilorazu. Najpierw jednak przekształcamy ogólny wyraz ciągu, dzieląc licznik
i mianownik przez n2:
n2 1 1
+ 1+
n2 +1
li" n2 n2 = li" n2 .
m m
lim =
n "
2n2 + nn 2n2 nn 2 + 1
+
n
n2 n2
Teraz stosujemy (wciąż  awansem ) odpowiednie twierdzenia:
1
1+
n2 1+ 0 = 1 .
lim =
n " 1
2 + 0 2
2 +
n
Co by było, gdybyśmy natrafili na ciągi składowe nie mające granic? Trzeba by szukać
innych metod liczenia granic.
PRZYKA
AD 7
n2
Oblicz granicÄ™ lim sinëÅ‚ 2n öÅ‚.
÷Å‚
n "
n4 + n3 ìÅ‚ n +1Å‚Å‚
íÅ‚
169
9. CI
GI
Stosując podobną metodę jak w poprzednim przykładzie, wyznaczymy granicę
n2
lim = 0. Natomiast z drugą granicą jest poważny kłopot; nie umiemy sobie z nią pora-
n "
n4 + n3
dzić. Można pokazać, że nie istnieje, więc nie da się stosować twierdzenia o granicy iloczynu.
Wrócimy jeszcze do tego przykładu.
Najpierw zwróćmy uwagę na dwie sprawy. Pierwsza to pytanie: dlaczego w przykładzie 6
najpierw przekształcaliśmy ułamek, a dopiero potem wyznaczaliśmy granicę? I drugi problem
związany z pierwszym: co można powiedzieć np. o granicy ciągu an = n2?
Granice niewłaściwe
Poznaliśmy przykłady ciągów mających granicę i takich, któ-
re jej nie majÄ…. W pewnych sytuacjach, gdy granica nie istnie-
je, wygodnie jest tę granicę jednak wprowadzić, choć nie
będzie to liczba rzeczywista. Tak pojawiają się właśnie
granice niewłaściwe, w odróżnieniu od tych liczbo-
wych.
Przyjrzyjmy siÄ™ zachowaniu ciÄ…gu .
an = n2
Jego wyrazy rosną nieograniczenie; dla każdej licz-
by naturalnej jej kwadrat jest istotnie większy od
niej. Żadna liczba rzeczywista nie może być gra-
nicą tego ciągu, mamy bowiem nieskończenie wiele
kwadratów liczb naturalnych większych od tej licz-
by. Intuicja podpowiada, że ciąg  ucieka do nie-
skończoności. Nieskończoność nie jest liczbą, ale
możemy pokusić się o uogólnienie definicji granicy.
Powiemy, że ciąg (an ) jest rozbieżny do +", gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0
można wskazać taki wskaz
nik n0, że dla wszystkich wskaz
ników n > n0 wyrazy ciągu należą
do przedziału (M;+").
Jeśli potraktujemy nieskończoność jak liczbę, a przedziały jak otoczenia, to możemy dopa-
trzyć się podobieństwa ze zwykłą, skończoną granicą.
Założenie, że M > 0, nie jest konieczne. Można brać dowolne liczby rzeczywiste, ale
w praktyce wygodnie jest ograniczyć się do liczb dodatnich, co niczego nie zmienia.
+" +"
Zamiast  rozbieżny do  mówimy też często  zbieżny do  . Granice niewłaściwe nazy-
wamy też granicami nieskończonymi.
Symbolicznie zapisujemy tę definicję następująco:
"M > 0 "n0"n > n0:an > M ,
i granicÄ™ oznaczamy
liman =+".
n "
Analogicznie opisujemy ciągi rozbieżne do -":
"K < 0 "n0"n > n0:an < K
z oznaczeniem
lim an =-".
n "
170
9. CI
GI
ZADANIE
Wypowiedz bez użycia symboli definicję ciągu rozbieżnego do -"
.
PRZYKA
AD 8
n
Ciągi o wyrazach ogólnych an = n , bn = n , cn = nk ( k " N), dn = p (p > 1) są rozbieżne
do +".
k "
Natomiast ciągi an =-nk ( N), bn =-pn (p > 1) są rozbieżne do -"
.
A co będzie, gdy dodamy ciąg rozbieżny do nieskończoności do ciągu mającego granicę
skończoną? Wtedy suma też jest rozbieżna do nieskończoności.
TWIERDZENIE
Jeśli i lim bn = b, to lim(an +bn ) = +".
liman =+"
n"
n " n "
W skrócie zapisuje się to twierdzenie jak działanie arytmetyczne:
+" + b = +".
Takich nowych wzorów mamy więcej:
+" + " = +", -" + b = -", -" - " = -".
Dla mnożenia zapisujemy następująco:
 a Å"(+")= +" , gdy a > 0, i aÅ"(+")= -" , gdy a < 0,
 aÅ"(-")= -" , gdy a > 0, i aÅ"(-")= +" , gdy a < 0,
 (+")Å"(+")= + " =(-")(-"), (+")Å"(-")= -" =(-")(+").
ZADANIE
Zapisz powyższe równości w postaci twierdzeń o granicach.
Dla pewnego typu wyrażeń nie ma jednoznacznych twierdzeń. Przykładowo, nie ma twier-
0 "
dzenia dla symbolu lub . Jeśli i limbn = 0 , to niczego sensownego nie możemy
liman = 0
0 "
n " n "
an
powiedzieć o granicy . Wszystko zależy od natury poszczególnych ciągów.
bn
PRZYKA
ADY 9 12
1
an
k
bn =
9. Niech an = i , wtedy lim = k , .
k `" 0
n n "
n bn
1 1 an
10. Niech an = i bn = , wtedy lim =+" .
n "
n n3 bn
an
 1
1
11. Niech an = i , wtedy lim =-" .
bn =
n "
n bn
n4
(-1)n 1 an
an =
12. Jeżeli i , to lim nie istnieje.
bn =
n "
n
n bn
171
9. CI
GI
0
Widzimy więc, że wszystko jest możliwe. Dlatego wyrażenie nazywamy symbolem nie-
0
oznaczonym. Symbolami nieoznaczonymi są także
"
, 0 Å" ", "  ".
"
PRZYKA
AD 13
4 2
Oblicz granicÄ™ lim 2n + 3n3 - 4n + 5n -144.
n "
Wyłączamy najwyższą potęgę przed nawias:
3 4 5 144
öÅ‚
lim 2n4 + 3n3 - 4n2 + 5n -144 = lim n4 ëÅ‚2 + - + - = +".
ìÅ‚÷Å‚
n " n "
íÅ‚ n n2 n3 n4 Å‚Å‚
Z wyjątkiem ciągu stałego granice w nawiasie są równe 0, czyli cały ciąg w nawiasie dąży
do 2, a ciąg (n4) jest rozbieżny do +".
Granice i nierówności
Zwrócimy jeszcze uwagę na użyteczne twierdzenia ustalające związki między granicami cią-
gów i nierównościami. Najpierw rozważmy następujące twierdzenia.
TWIERDZENIE
Jeśli dla każdego n zachodzi nierówność an d" bn i oba ciągi mają granice, to liman d" lim bn .
n " n "
Bardzo przydatne przy wyznaczaniu granic jest tzw. twierdzenie o trzech ciÄ…gach.
TWIERDZENIE (O TRZECH CI
GACH)
Jeżeli trzy ciągi spełniają następujące warunki:
(an ),(bn ),(cn )
1. dla dowolnego n an d" bn d" cn ,
2. lim an = lim cn = g,
n " n "
to również lim bn = g .
n "
W obu twierdzeniach wystarczy założyć, że nierówności są spełnione dla wszystkich n, po-
czÄ…wszy od pewnego n0.
PRZYKA
AD 14
n2
Powróćmy do granicy . Nie mogliśmy sobie poradzić z drugim członem.
lim sinëÅ‚ 2n öÅ‚
÷Å‚
n "
n4 + n3 ìÅ‚ n +1Å‚Å‚
íÅ‚
Zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach. Najpierw przypomnijmy, że
-1d" sin x d"1,
172
9. CI
GI
czyli również
2n
-1d" sin d"1,
n +1
i dalej
ëÅ‚ öÅ‚
n2 n2 2n n2
 d" sinìÅ‚ ÷Å‚ d"
n4 + n3 n4 + n3 íÅ‚ n +1Å‚Å‚ n4 + n3
Skrajne ciągi są zbieżne do 0, zatem
n2
lim sinëÅ‚ 2n öÅ‚ = 0.
÷Å‚
n "
n4 + n3 ìÅ‚ n +1Å‚Å‚
íÅ‚
Rozwiążmy jeszcze jeden przykład.
PRZYKA
AD 15
Oblicz granicÄ™ lim( n +1 - n ).
n "
Widzimy, że nie można zastosować twierdzenia o granicy sumy, gdyż mamy do czynienia
"-"
z symbolem . W takich przypadkach próbujemy pozbyć się różnicy pierwiastków. Można
to zrobić, mnożąc i dzieląc różnicę przez sumę tych pierwiastków:
( n +1- n )( n +1+ n)
lim( n +1 - n ) = lim =
n " n "
n +1+ n
n +1- n 1
= lim = lim .
n " n "
n +1+ n n +1+ n
Zauważamy, że
1 1
0 d"d" .
n +1+ n 2 n
1
Stosujemy twierdzenie o trzech ciągach, a ponieważ lim = 0,
otrzymujemy
n "
2 n
1
lim( n +1 - n)= lim = 0.
n " n "
n +1+ n
Podamy jeszcze jeden użyteczny fakt pozwalający liczyć granice ciągów.
Niech f będzie funkcją elementarną, tzn. jedną z funkcji rozważanych w szkole (wielomia-
nem, funkcją wymierną, funkcją trygonometryczną, pierwiastkiem lub nie omówioną jeszcze
funkcją wykładniczą lub logarytmiczną). Załóżmy, że li"an = a i f(a) jest określone. Wówczas
m
n
lim f (an )= f (a).
n "
PRZYKA
AD 16
Wyznacz granicÄ™ lim sinëÅ‚ 2Ä„n +1öÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
n "
íÅ‚ 2n - 3 Å‚Å‚
Zastosujemy powyższą metodę:
1
ëÅ‚öÅ‚
2Ä„ +
ìÅ‚÷Å‚
n
lim sinëÅ‚ 2Ä„n +1öÅ‚ = sinëÅ‚ 2Ä„n +1öÅ‚ = sinìÅ‚nlim
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚nlim ÷Å‚" 3 = sinÄ„ = 0.
n " "
íÅ‚ 2n - 3 Å‚Å‚ íÅ‚ 2n - 3 Å‚Å‚
ìÅ‚÷Å‚
2 -
íÅ‚ n Å‚Å‚
173
9. CI
GI
2Ä„n +1
ëÅ‚ öÅ‚
MilczÄ…co zaÅ‚ożyliÅ›my, że ciÄ…g ìÅ‚ ÷Å‚ ma granicÄ™ i funkcja sinus jest w niej okreÅ›lona.
íÅ‚ 2n - 3 Å‚Å‚
Gdyby tak nie było, musielibyśmy szukać innych sposobów liczenia tej granicy.
ZADANIA
1. Dla danych ciągów spróbuj przewidzieć, czy mogą mieć granice.
1 1 1
a) 1, ,2, ,3, ,5,...
2 3 4
1 1 1 1 1
b) ,- , ,- , ,...
5 10 15 20 25
c) 0,1, 0,11, 0,111, 0,1111, ...
d) 12, 23,4, 134, 0,3, 0,03, 0,003, 0,0003, ...
(-1)n n2
e) an =
5n3 + 2n
2. Oblicz granice:
2n +1 4n2 3Ä„n2 +124
a) , b) lim , c) lim ,
li"
m
n n " n "
3n + 5 12n4 -13n2 +15 12n2 -11n +117
d) -12n3 + 4), lim(1+ 3n3 - n4 +15n).
e)
lim(n5
n " n "
3. Wyznacz granice następujących ciągów:
a) b) an = 3n + 5 - 3n - 4,
an = 4n2 + 2n - 4n2 + 2,
2n + 5n
3n + 2 ëÅ‚ öÅ‚, d) =
ëÅ‚öÅ‚cos 3n
c) an = an ,
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 5n5 -10n Å‚Å‚ 3n + 5n
íÅ‚ n4 +1Å‚Å‚
n2 +1-1
e)
an = .
2n
* 9.5 Szereg geometryczny
Jeśli dany jest ciąg (an ), to możemy utworzyć nowy ciąg składający się z sum kolejnych
wyrazów ciągu wyjściowego:
S1 = a,
1
S2 = a1 + a2,
S3 = a1 + a2 + a3,
...
Sn = a1 + a2 + ... + an.
Nowy ciąg nazywamy ciągiem sum cząstkowych (albo częściowych) ciągu (an )
(Sn )n
i badamy jego własności jak własności każdego innego ciągu. Specjalną interpretację ma grani-
174
9. CI
GI
ca ciągu . Domyślamy się, że jest to jakby suma nieskończona a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
(Sn )n
i tak zazwyczaj jest interpretowana.
CiÄ…g sum czÄ…stkowych (Sn )n jest nazywany szeregiem o wyrazach a , a jego granica
n
sumą szeregu. Gdy szereg ma sumę, to mówimy o nim, że jest zbieżny. Zarówno dla sumy, jak
i dla samego szeregu jest używany ten sam sugestywny symbol
"
"1an.
n =
Z kontekstu przeważnie wynika, o jaką interpretację symbolu chodzi.
Badanie zbieżności szeregów jest na ogół problemem trudnym i wymaga stosowania specjal-
nych twierdzeń i technik. Tylko w szczególnych przypadkach można stosunkowo łatwo przewidy-
wać zachowanie szeregów. Jednym z takich przypadków jest szereg geometryczny.
DEFINICJA
CiÄ…g sum czÄ…stkowych ciÄ…gu geometrycznego (an ) nazywamy szeregiem geometrycznym,
a jego granicÄ™ sumÄ… szeregu geometrycznego.
UWAGA
Dla szeregu geometrycznego obowiązuje taka sama symbolika jak dla dowolnych szeregów,
"
an
czyli symbol oznacza zarówno ciąg sum cząstkowych, jak i jego granicę. Często też
"
n = 1
piszemy jeszcze sugestywniej a1 + a2 + a3 + ... + an + ... , co też oznacza albo odpowiedni
ciÄ…g, albo jego granicÄ™.
W szczególnym przypadku szeregu geometrycznego jesteśmy w dobrej sytuacji, bo mamy
wzór na sumy cząstkowe, co pozwala wyliczyć granicę.
Jeśli więc (an ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q i q `"1, to, przypomnijmy,
n
1-q
Sn = a1 .
1-q
Granica ciągu (S ) zależy od granicy ciągu (qn).
n
n
Jeśli q <1, to lim q = 0 .
n "
n
q >1
Jeśli , to granica nie istnieje.
lim q
n "
Podobnie będzie, gdy q =  1.
Dla q = 1 ciąg geometryczny jest stały.
q <1
Tak więc o sumie szeregu geometrycznego możemy mówić tylko, jeżeli . Wtedy
n
1-q a1
lim Sn = lima1 = .
n " n "
1-q 1-q
Prawdziwe jest więc następujące twierdzenie.
TWIERDZENIE
Jeśli dany jest ciąg geometryczny nieskończony (an ) o ilorazie q spełniającym warunek
q <1, to suma odpowiedniego szeregu geometrycznego jest równa
a1
.
1-q
SumÄ™ szeregu geometrycznego oznaczamy przez S.
175
9. CI
GI
UWAGA
Wyraz
nie tu widać, że przydaje się dopuszczenie przypadku q = 0. W przeciwnym razie
sformułowania komplikowałyby się niepotrzebnie.
Jeśli ciąg geometryczny jest stały, to szereg geometryczny ma granicę niewłaściwą (można
powiedzieć sumę niewłaściwą) +" albo  ". Granica niewłaściwa istnieje również, gdy q > 1.
ZADANIE
Kiedy suma szeregu geometrycznego jest równa +", a kiedy  "?
PRZYKA
AD 1
1
Dany jest ciÄ…g geometryczny . Ile wynosi suma odpowiedniego szeregu geometrycznego?
an =
2n
1
1
2
S = =1
Ze względu na to, że iloraz równy jest , to po podstawieniu do wzoru otrzymamy .
1
2
1-
2
PRZYKA
AD 2
Niech będzie dany ciąg geometryczny stały, którego wszystkie wyrazy są równe 1. Nie możemy
tym razem zastosować wzoru na sumę szeregu geometrycznego. Przyjrzyjmy się rozumowaniu:
S =1+1+1+... . Można więc napisać, że S =1+ S . Po skróceniu stronami przez S, otrzymuje-
my 0 = 1. Rozumowanie nie jest poprawne, gdyż nie możemy zakładać, że S jest liczbą 
milcząco przyjęliśmy, że suma istnieje, co doprowadziło nas do sprzeczności.
Ten przykład pokazuje, że trzeba bardzo uważać, gdy posługujemy się umowną symboliką
dla szeregów. Musimy ściśle przestrzegać warunków stawianych w definicji.
PRZYKA
AD 3
p
Dany jest ułamek okresowy 0,233333... . Zapisz go jako ułamek zwykły postaci .
q
2 3 3 3
Badany ułamek ma postać 0,23333... = + + + + ... . Widzimy więc, że
10 100 1000 10000
mamy do czynienia z sumą szeregu geometrycznego (z wyjątkiem pierwszego składnika). Pierw-
3 1
szy wyraz tego szeregu jest równy , a iloraz . Możemy więc napisać:
100 10
33
22 2 1 2Å" 3 +1 7
100 100
0,2333... = + = + = + = = .
19
10 10 10 30 30 30
1-
10 10
176
9. CI
GI
PRZYKA
AD 4
1 1 1
Rozwiąż równanie + + + ... =1- 2x .
1- x (1- x )2 (1- x )3
Zakładamy najpierw, że x `"1. Po lewej stronie mamy szereg geometryczny, którego pierw-
1 1
szy wyraz jest równy , również iloraz jest równy .
1- x 1- x
Musimy teraz sprawdzić, kiedy istnieje suma szeregu geometrycznego. Do rozwiązania jest
nierówność
1 1
i dalej
<1 -1< <1.
1- x 1- x
Układ nierówności przyjmie postać
2
Å„Å‚ - x
ôÅ‚1- x > 0
òÅ‚
x
ôÅ‚ < 0.
ół1- x
Badamy teraz znaki iloczynów:
(2 - x )(1- x ) > 0 i x(1- x ) < 0,
czyli x "(-";1)*"(2;+") i x "(-";0)*"(1;+").
Ostatecznie ustalamy dziedzinÄ™ x "(-";0)*"(2;+") i dla takich x szukamy rozwiÄ…zania
równania  możemy zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego:
1
1- x
=1- 2x ,
1
1-
1- x
a stÄ…d
1
- =1- 2x .
x
Sprowadzamy to równanie do równania kwadratowego :
(x `" 0)
2
2x - x -1= 0,
1 1
dla którego pierwiastkami są lub x = 1. Rozwiązaniem jest więc x =- .
x =-
2 2
ZADANIA
1. Oblicz sumÄ™ szeregu geometrycznego, gdy dane sÄ…:
8
a) b) a1= 2,q = -m, c) a1= 5,q = m2 - 2m,
a1= 7,q = ,
15
d) a1= 3 + mq = -(2 + m).
,
2. Następujące ułamki okresowe zamień na ułamki zwykłe:
a) 0,11111..., b) 0,101101101..., c) 0,1234121212...,
d) 0, 99999..., e) 0,375757..., f) 1,1252525... .
3. Dla jakich wartości x istnieje suma szeregu geometrycznego, którego wyrazy mają postać:
n n
n
2x x
öÅ‚ x
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ - 2
ëÅ‚öÅ‚
a) an = , , c)
b) an = an = ?
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
2 2
x x
íÅ‚ - 3 3x +1÷Å‚ ìÅ‚Å‚Å‚
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ - x +1÷Å‚
177
9. CI
GI
UWAGI HISTORYCZNE
Zenon Leonardo Bernard Augustin Louis Karl
z Elei z Pizy Bolzano Cauchy Weierstrass
Pierwsze wzmianki dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych (postępów arytmetycznych
i geometrycznych) spotyka się już w znaleziskach archeologicznych dotyczących Babilończyków.
Według z
ródeł, Babilończycy znali wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Także
w papirusie Rhinda, jednym z dwóch zachowanych papirusów poświęconych problemom matema-
tycznym, zapisano zadania nawiązujące do własności ciągu arytmetycznego.
W matematyce starożytnych Greków ciągi arytmetyczne i geometryczne występują już systema-
tycznie. Więcej, pojawiają się również ciągi nieskończone i  w niektórych rozumowaniach  szereg
geometryczny. Pojęcie nieskończoności i problemy dotyczące przejść granicznych studiował żyjący
w V w. p.n.e. Zenon z Elei. Powszechnie znane są jego paradoksy związane właśnie z pojęciem
nieskończoności, nazywane aporiami (greckie słowo aporia oznacza trudność). Metody przejść
granicznych były szeroko stosowane przez Archimedesa do obliczania pól figur i długości krzywych.
Matematycy okresu średniowiecza również badali ciągi różnego typu i przejścia graniczne. Na stałe
do matematyki wszedł ciąg Fibonacciego po raz pierwszy rozważany przez Leonarda z Pizy
(ok. 1170 ok. 1240) w dziele Liber abaci. Przydomek Fibonacci został nadany Leonardowi dopie-
ro w XIX w., wtedy również zaczęto używać terminu  ciąg Fibonacciego .
Precyzyjne określenie granicy zawdzięczamy pracom dziewiętnastowiecznych matematyków: Ber-
narda Bolzano, Edwarda Heinego, Augustina Louisa Cauchy ego i Karla Weierstrassa.
* 9.6 Potęga o wykładniku rzeczywistym
Przystępujemy do ostatniego etapu uogólniania pojęcia potęgi. Zaczniemy od zaobserwowa-
nia pewnej ważnej własności zbioru liczb rzeczywistych, którą będziemy mogli opisać za pomocą
pojęcia granicy ciągu.
Rozważmy pewną dodatnią liczbę niewymierną x, a zatem pewne rozwinięcie dziesiętne
" "
nieskończone x = k + 0, a1a2a3& , gdzie k N oraz ai {0, 1, & , 9}, a także ciąg rozwinięć
skończonych (a więc liczb wymiernych):
w1 = k + 0,a1,
w2 = k + 0,a1a2,
w3 = k + 0,a1a2a3,
&
Jest to ciąg rosnący i  jak łatwo stwierdzić  zbieżny do x, skoro x  w <10 n. Jeżeli liczba
n
niewymierna x jest ujemna, to podobnie skonstruowany ciąg jest malejący, ale również zbieżny
do x. Jeżeli liczba x jest wymierna, to ciąg (w )n o wyrazach w = x  2 n jest rosnącym ciągiem
n n
liczb wymiernych zbieżnym do x. Naszą obserwację zapiszemy w postaci następującego wniosku.
WNIOSEK
Zbiór liczb wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych, tzn. każda liczba rzeczywi-
sta jest granicą ciągu liczb wymiernych. Przy tym taki ciąg można wybrać jako rosnący lub
jako malejÄ…cy.
178
9. CI
GI
Wykorzystując własność gęstości, zdefiniujemy potęgę o wykładniku niewymiernym. Ustal-
my liczbę niewymierną x oraz rosnący ciąg (w )n liczb wymiernych zbieżny do x. Ustalmy także
n
n
liczbę a > 1. Na mocy twierdzenia o monotoniczności potęg ciąg potęg (aw ) jest także rosną-
n
cy i ograniczony (z góry), np. przez liczbę a[x] + 1. Można pokazać, że taki ciąg jest zbieżny. Jego
granicÄ™ przyjmujemy jako ax.
Podobnie można zdefiniować potęgę ax, gdy a" (0; 1)  spróbuj zaproponować taką defini-
cję. Gdy a = 1, to oczywiście ax = 1.
Pojawia się jednak pewien problem. Ta sama liczba niewymierna może być (i jest!) granicą
wielu różnych ciągów. Którego mamy użyć, aby zdefiniować ax? Okazuje się, że wybór takiego
ciągu nie ma znaczenia: stosowny ciąg potęg będzie zbieżny do tej samej granicy, niezależnie od
wyboru ciągu wykładników wymiernych zbieżnego do danej liczby niewymiernej x; ciąg przybli-
żający nie musi być nawet monotoniczny. Ta wspólna granica to właśnie ax.
Zwróćmy uwagę na jeszcze jeden problem: przecież  jak zauważyliśmy  liczba wymierna
także jest granicą ciągu liczb wymiernych. Ale dla liczby wymiernej x oraz liczby a > 0 potęgę
n
ax już zdefiniowaliśmy. Czy granica ciągu (aw ) będzie w takim razie równa wcześniej zdefinio-
n
wanej wartości ax? Odpowiedz
jest pozytywna.
Przypomnijmy jeszcze, że w pierwszej klasie zdefiniowaliśmy wartość potęgi 00 jako 1:
00 = 1.
Dla tak zdefiniowanej potęgi o dowolnym wykładniku rzeczywistym pozostają prawdziwe
twierdzenia o algebraicznych własnościach potęg (zob. podrozdział 3.2) i o monotoniczności
potęg (zob. podrozdział 3.3).
* 9.7 Rozmaitości: problem 3x + 1
Zapoznamy się z przykładem zagadnienia sformułowanego bardzo prosto, ale trudnego do
rozwiązania. Tak trudnego, że wciąż nie udało się go rozwiązać. Problem ten bywa rozmaicie
nazywany: problem Collatza, problem Kakutaniego, problem Ulama, problem syrakuzański albo
po prostu problem 3x + 1.
Problem 3x +1: na zbiorze liczb naturalnych różnych od zera N0 = {1, 2, 3, & } określa-
my następujące przekształcenie f:
x
Å„Å‚
ôÅ‚ , x jest liczbÄ… parzystÄ…,
f (x ) =
òÅ‚ 2
ôÅ‚3x +1, x jest liczbÄ… nieparzystÄ….
ół

Ponieważ f: N0 N0, można iterować funkcję f, tj. dla danej liczby x0 obliczać kolejno x1 = f(x0),
x2 = f(x1), & .
Hipoteza mówi, że niezależnie od wyboru x0 ciąg (x )n po skończenie wielu krokach przyjmie
n
wartość 1. Także 1 wraca w swoje wyjściowe położenie, tworząc cykl. Zobaczmy:
1 4 2 1,
3 10 5 16 8 4 & (dalszy ciąg już znamy),
7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 (dalszy ciąg już znamy)
itd.
179