matematyka macierze


MATEMATYKA - Macierze
Niech będą dane dwa zbiory M, N, kolejnych początkowych liczb naturalnych:
M = 1, 2, 3, 4, ..... m-1, m ż
N = 1, 2, 3, 4, ..... n-1, n ż
Niech dany będzie iloczyn kartezjański tych zbiorów, którego elementami są pary
liczb, z których pierwsza należy do zbioru M, zaś druga do zbioru N:
Iloczyn kartezjański
M x N = i, j ż i 1, 2, 3, ..... m ż
j 1, 2, 3, ..... n ż
Definicja I
Jeżeli każdej parze ( i,j ) należącej do iloczynu kartezjańskiego
( i,j ) M x N przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę rzeczywistą ( aij ) to
funkcję tą nazywa się macierzą o elementach rzeczywistych.
Niech dane będą dwa zbiory:
M = 1, 2, 3 ż
N = 1, 2 ż
M x N = (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2)ż
Każdej parze ( i,j ) aij
(1,1) a11
(1,2) a12 Macierz
(2,1) a21
(2,2) a22
(3,2) a32
Każdą macierz można zapisać w postaci tablicy o m  wierszach i o
n  kolumnach:
a11 a12 ł aij  gdzie:
ęa21 a22 ś i  nr wiersz, w którym dany element się znajduje
a31 a32 j  nr kolumny, w której dany element się znajduje
Liczby określające ilość wierszy (liczebność zbioru M), oraz liczby określające
ilość kolumn (liczebność zbioru N) nazywamy wymiarem macierzy i zapisujemy:
m x n
1
Dane są zbiory:
M = 1, 2, 3 ż
N = 1, 2, 3, 4 ż
Zapisać macierz w postaci tablicy wiedząc, że:
aij = 1 dla i ę-2 dla i=j ś
dla i>j
Rozwiązanie:
a11 a12 a13 a14 ł -2 1 1 1 ł
ę a21 a22 a23 a24 ś = ę1/2  2 1 1 ś
a31 a32 a33 a34 1/2 -2 1
Macierze oznaczać będziemy dużymi literami alfabetu i tak np. macierz A o
elementach aij , wymiaru m x n oznaczać będziemy A = [aij] m x n , lub krócej
A m x n
B = [ aij] m x n lub Bm x n
Definicja II
Macierz A = [aij ]m x n nazywamy macierzą kwadratową jeżeli m=n.
Am x n = An jeżeli m = n - macierz A stopnia n ( kwadratowa )
a11 a12 a13 ........................ a1(n-1) a1n ł
ę a21 a22 a23 ........................ a2(n-1) a2n ś
ę a31 a32 a33 ........................ a3(n-1) a3n ś
A = ę - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -ś -Macierz kwadratowa
ę - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ś m = n
ę a(n-1)1 a(n-1)2 a(n-1)3 ..... a(n-1) (n-1) a(n-1) n ś
an1 an2 an3 ................ an(n-1) a nn
Definicja III
Macierz A = [ aij ]m x n nazywamy macierzą prostokątną jeżeli mąn.
Definicja IV
Elementy a11, a22, a33 ...... Ann ( i=j ) macierzy kwadratowej An ( A stopnia
n) nazywamy główną przekątną macierzy.
2
Definicja V
Macierz A = [aij]m x n , której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy
macierzą zerową i oznaczamy:
0m x n
0 0 ł
03 x 2 = ę 0 0 ś
0 o
Definicja VI
Macierz kwadratową A = [aij]m x n , której wszystkie elementy [aij] = 1
nazywamy macierzą jedynkową i oznaczamy:
Jm x n
1, 1, 1 ł
J3 x 3 = ę 1, 1, 1 ś
1, 1, 1
Definicja VII
Macierz kwadratową An , której elementy [aij] spełniają warunek:
Aij = 1 dla i = j ł
0 dla i ąj
nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy:
In
a11 a12 a13 ł
I3 = ęa21 a22 a23 ś
a31 a32 a33
1, 0, 0 ł
I3 = ę0, 1, 0 ś
0, 0, 1

I2 = 1, 0 ł
0, 1
3
Definicja VIII
Macierz kwadratową An , w której dla każdego i ą j , aij = 0 nazywamy
macierzą diagonalną:
1, 0, 0 ł
A3 = ę0, -2, 0 ś - na przekątnej są dowolne liczby rzeczywiste
0, 0, -5/2 reszta zero
Definicja IX
Macierz kwadratową An , w której elementy [aij] = 0 dla i > j - nazywamy
macierzą trójkątną  górną :
1, 2, 0 ł
ę. ś
A3 = ę 0, 5, 3 ś - elementy poniżej głównej przekątnej to same zera
ę. ś
0, 0, 0
Definicja X
Macierz kwadratową An , w której elementy [aij] = 0 dla i < j nazywamy
macierzą trójkątną dolną :
1, 0, 0 ł
ę. ś
A3 = ę-5, 3, 0 ś - elementy nad główną przekątną to same zera
ę . ś
-2, 0, 1

Definicja XI
Macierz kwadratową An , w której dla każdej pary ( i, j ) M x N (
należącej do iloczynu kartezjańskiego M x N ) spełniony jest warunek aij = aji
nazywamy macierzą symetryczną:
a11 a12 a13 a14 ł 1 5 3 ł
ę. ś ę. ś
ę a21 a22 a23 a24 ś A3 = ę 5 -2 1 ś
An = ę. ś ę. ś
ę a31 a32 a33 a34 ś 3 1 0
ę. ś
a41 a42 a43 a44
4
DZIAAANIA NA MACIERZACH
Niech dane będą macierze:
A = [aij]m x n ; B = [bij]m x n ; C = [cij]m x n
Definicja XII
Sumą macierzy Am x n i Bm x n nazywamy macierz Cm x n , w której
elementy cij spełniają warunek:
cij = aij + bij
np.
A2 x 3 + B2 x 3 = a11 a12 a13 ł + b11 b12 b13 ł + a11b11 a12b12 a13b13 ł
a21 a22 a23 b21 b22 b23 a21b21 a22b22 a23b23
1 3 -1 ł 0 1 -1 ł 1 4 -2 ł
A + B = ę 4 2 2 ś + ę 2 1 1 ś = ę 6 3 3 ś
0 1 5 -3 0 1 -3 1 6
A + B = 2 1 ł + 1 0 2 ł = 3 1 ? ł
3 0 1 1 1 4 1 ? - działanie niewykonalne !
Dodajemy macierze tylko tych samych wymiarów !
Definicja XIII
Iloczynem liczby rzeczywistej a przez macierz A = [aij]m x n
nazywamy taką macierz B = [bij]m x n , w której bij = a x aij
Np.
a11 a12 ł aa11 aa12 ł
a x A3 x 2 = ę a21 a22 ś = ę aa21 aa22 ś
a31 a32 aa31 aa32
Właściwości powyższych działań:
1. Dodawanie macierzy jest przemienne, czyli :
A + B = B + A - gdy :
Am x n ; Bm x n ( muszą być jednakowego wymiaru )
2. Dodawanie macierzy jest łączne :
( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( muszą być tego samego wymiaru )
3. Jeżeli A + B = A B = 0 ( B jest macierzą zerową 0m x n )
4. Rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę względem dodawania
macierzy :
a x (A + B) = a x A + a x B Am x n ; Bm x n
5
Definicja XIV
Różnicą macierzy A  B nazywamy sumę macierzy A i macierzy
przeciwnej do B :
A  B = A + (-B) ( elementy macierzy B dodajemy z
przeciwnym znakiem )
B = -1B
MNOŻENIE MACIERZY
Definicja XV
Iloczynem macierzy Am x k przez macierz Bk x m nazywamy taką
macierz Cm x n , w której elementy cij spełniają warunek :
cij = ai1 x b1j + ai2 x b2j + ai3 x b3j + ............. + aik x bkj
dla każdej pary ( i , j )
np.
Wyznacz iloczyn A x B :
a11 a12 ł b11 b12 ł a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 ł
A2 x 3 x B2 x 2 = ę a21 a22 ś x b21 b22 = ę a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22ś
a31 a32 a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22
A3 x 2 x B2 x 2 = C3 x 2
Aby wyznaczyć element znajdujący się w pierwszym wierszu w pierwszej
kolumnie należy wymnożyć pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez pierwszą
kolumnę drugiej macierzy,
Aby znalezć element pierwszy wiersz drugiej kolumny należy wymnożyć pierwszy
wiersz pierwszej macierzy przez drugą kolumnę drugiej macierzy.
1 3 1 ł 1 2 ł 1+3+2 2+9+2 ł 6 13 ł
A x B = 2 1 1 x ę 1 3 ś = 2+1+2 4+3+2 = 5 9
2 2

Własności mnożenia
1. Mnożenie macierzy nie jest przemienne :
A x B ą B x A
2. Aączność mnożenia :
( A x B ) x C = A x ( B x C )
3. Rozdzielczość mnożenia względem dodawania :
A x ( B + C ) = A x B + A x C
4. Jeżeli macierz ( F + G ) mnożymy przez macierz H to :
6
( F + G ) x H = F x H + G x H
( nie wolno przestawiać elementów )
( F + G ) x H ą H x F + H x G
Macierz transponowana
Definicja :
Macierz Bn x m nazywa się transpozycją lub macierzą transponowaną do
macierzy
Am x n , jeśli dla każdej pary ( i j ) M x N zachodzi równość :
aij = bji
A = a11 a12 a13 ł AT = a11 a21 ł pierwszy wiersz stał się
a21 a22 a23 ę a12 a22 ś pierwszą kolumną ,
a13 a23 drugi wiersz  drugą kolumną
Znajdz macierz : AT
a) 1 2 3 ł b) 1 2 ł c) 2 3 ł
A = ę 0 1 1ś A = ę 0 1 ś A = ę 1 1 ę
1 3 1 -1 12 ę -4 5 ś
7 0
Dane są macierze :
4 1 ł 3 1 ł
A = ę 5 0 ś B = ę 0 0 ś
ę 0 1 ś ę 2 1 ś
2 2 0 1

Oblicz : a) ( A + B)T ; b) AT + BT
Własność :
( A + B )T = AT + BT
Dane są macierze :
1 0 -1 ł
A = 2 -1 3 ł B = ę 3 2 0 ś
0 1 2 1 -1 0
Oblicz :
a) (A * B)T b) BT * AT c) AT * BT
Własność :
( A x B )T = BT x AT
7
Definicja :
Jeżeli macierz A = [aij ]n x n ( kwadratowa ) spełnia warunek :
AT = A
To macierz A jest macierzą symetryczną ( aij = aji )
Definicja :
Macierz kwadratową A spełniającą warunek : AT x A = A x AT = I ( równa
macierzy jednostkowej ) nazywamy macierzą ortogonalną.
Macierz odwrotna
Definicja :
Macierz kwadratową B = [ bij ]n x n nazywamy macierzą odwrotną do macierzy
A =[aij ] jeśli spełniony jest warunek :
A x B = B x A = I
Macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy A-1
Sprawdz, czy macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A :
1)
A = 4 1 ł B = 1/7 3 -1 ł
5 3 ę -5 4
2)
-1 2 3 ł 0 -1 1 ł
A = ę 4 5 1 ś B = ę 2 0 1 ę
0 1 -1 -1 1 1
3)
1 2 0 ł -1 1 -1 ł
A = ę 5 3 1 ś ę 2/3 -1/2 ś
2 1 1 -2/3 3/2
1. Znajdz o ile istnieje macierz odwrotną do macierzy A :
A = 1 2 ł
-2 -4
8
Definicja :
Macierz, która nie posiada macierzy odwrotnej nazywamy macierzą osobliwą.
Wyznacz macierz odwrotną do macierzy :
A = 1 2 ł
3 1
Dane są macierze :
1 0 3 1 ł 1 0 ł
AT = ę 1 3 0 2 ś B = ę 1 -1 ś CT = ę 1 2 2 1 ś
5 -1 0 2 2 -1 0 1 4 -1

Oblicz :
a) (C * BT  A) * AT
b) AT * [(B * CT)T  A]
c) BT * AT  2CT
PRZEKSZTAACENIA ELEMENTARNE
Definicja :
Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A = [ aij ]m x n nazywamy
następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy.
T1  polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny
przez liczbę a ą 0
T2  polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn
T3  polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny
odpowiadających im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych
przez liczbę a ą 0
Przykład :
Wykonaj na macierzy A kolejno przekształcenia : T1 : ( k2 * 2 ) ; T3 : ( w1 + 2 * w3 ) ;
T2 : ( k1 , k3 )
1 0 2 3 ł 1 0 2 3 ł 1 0 10 5 ł
A = ę-1 1 2 0 ś T1 : ( k2 * 2 ) ę-1 2 2 0 ś T3 : ( w1 + 2w3 ) ę-1 1 2 0 ś T2 : ( k1 ,k3 )
0 0 4 1 0 0 4 1 0 0 4 1
9
10 0 1 5 ł
ę 2 1  1 0 ś
4 0 0 1
Dana jest macierz :
8 2 4 5 ł
A = ę 3 2 4 0 ś
-1 1 2 0
wykonać :
a) T = T2 : ( k4 , k2 ) T2 ( k1 , k4 ) T2 ( k3 , k4 )
b) T = T3 ( k1 + (-1) k3 ) T1 ( k1 * 2 ) T2 ( w1 , w2 )
Twierdzenie :
Jeżeli macierz B powstała z macierzy A poprzez przekształcenie elementarne typu
T1 , T2 , T3 to rząd macierzy A równa się rzędowi macierzy B
rz A = rz B
Aby obliczyć rząd macierzy postaramy się przy pomocy przekształceń elementarnych
na wierszach i kolumnach doprowadzić macierz do postaci :
I 0 ł
0 0
Stopień bloku kwadratowego otrzymanego w prawym górnym rogu macierzy określa
rząd macierzy.
Znajdz rząd macierzy :
1 0 1 0 1 ł
A = ę 0 1 1 1 0 ś rz A = 3
3 2 5 1 3
Obliczyć rząd macierzy :
1 2 0 1 ł
A = ę 3 2 1 0 ś rzA = 3
1 0 1 2
Własności rzędu macierzy
a) Jeżeli macierz A jest macierzą diagonalną lub trójkątną to rząd rzA
jest równy ilości niezerowych elementów tej macierzy leżących na głównej
przekątnej.
b) ( Twierdzenie Sylwestra )
Dla dowolnych dwóch macierzy A i B , dla których istnieje iloczyn A x B zachodzi
relacja : rz ( A B ) Ł min { rzA , rzB }
c) Dla dowolnych dwóch macierzy A i B tego samego wymiaru zachodzi warunek :
rz ( A + B ) Ł rzA + rzB
d) Jeżeli macierz jest kwadratowa stopnia n to :
rzA = n gdy A jest macierzą nieosobliwą A ą 0
det
10
e) Jeżeli A jest kwadratowa stopnia n to :
rz A < n gdy A jest macierzą osobliwą A = 0
det
f) Jeżeli A i B są macierzami stopnia n i istnieje macierz B-1 ( detB ą 0 ) to :
rz A = ( B * A * B-1 )
g) Jeżeli A ma wymiar n x k i rz A = k to :
rz ( AT * A ) = k ( k  liczba kolumn )
Sprawdzić własność 2 , 3 , 6 dla macierzy :
1 0 2 ł 1 1 2 ł
A = ę 0 1 1 ś B = ę 2 0 1 ś
1 2 0 1  1 2
Obliczyć rząd :
1 2 3  1 4 ł
B = ę 2 1 1 2 1 ś
-1 1 2  3 3
WYZNACZNIK MACIERZY
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [ aij ]n x n nazywa się liczbę oznaczoną
symbolem det A lub ęAś

Aby obliczyć wyznacznik macierzy stopnia drugiego korzystamy ze wzoru :
ęa11 a12 ś
ę ś = a11 a22 - a12 a21
ęa21 a22 ś
Oblicz wyznacznik macierzy A , B , C :
A = ę2 1 ś B = ę-1 1 ś C = ę6 3 ś
ę 1 0 ś ę 1 2 ś ę4 -1ś
ę A ś = -1 ę B ś = -3 ę C ś = 21
Gdy macierz jest stopnia trzeciego do obliczania wyznacznika najczęściej stosuje
się metodę Sarussa. Polega ona na tym, że poniżej wyznacznika stopnia trzeciego
dopisujemy jego pierwszy wiersz, a następnie drugi. Następnie tworzymy sześć
iloczynów ( po trzy czynniki każdy ), z których trzy bierzemy ze znakiem dodatnim, a
trzy pozostałe ze znakiem przeciwnym. Następnie sumujemy.
ęa11 a12 a13 ś
ęa21 a22 a23 ś = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 - a13 a22 a31 - a23 a32 a11 -
ęa31 a32 a33 ś - a33 a12 a21
a11 a12 a13
a21 a22 a23
11
Oblicz wyznacznik macierzy :
ę 2 1 3ś ę 4 2 2 ś ę 5 1 1ś det A = 4
A = ę 4 2 2 ś B = ę 1 1 1 ś C = ś 2 0 1 ś det B = 0
ę 1 1 0 ś ę 2 1 1 ś ę 1 1 1ś C = -4
det
definicja : ( określenie macierzy Aij )
Niech dana będzie macierz kwadratowa A stopnia n. Macierz Aij oznacza macierz,
która powstaje z macierzy A przez usunięcie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Zapisz macierz A13 , A23 , A33 jeśli
ę 1 2 0 1 ś
A = ę 1 1 1 1ś
ę -1 2 3 1ś
ę 0 2 4 1ś
Definicja :
Minorem Mij nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z macierzy A
przez usunięcie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Mij = det Aij = ę Aijś
Oblicz minory M13 , M11 , M23 dla macierzy :
ę 1 0 1 1 ś
A = ę 1 2 1 1 ś M11 = 0
ę 0 1 0 1 ś M23 = -3
ę 1 1 2  1ś M13 = -1
Definicja :
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbę :
Dij = (-1)i+j * Mij
Dij = (-1)i+j * det Aij
Dana jest macierz :
2 4 5 2 ł
A = ę3 1 0 1 ś
ę1 1 0 0 ś
0 2 0 0
zapisz i oblicz dopełnienie algebraiczne a21 , a14 a21=0 a14=0
Dana jest macierz :
2 0 2 ł
B = ę3 4 2 ś
1 2 2
oblicz D11 , D23 , D33 D11=4 D23= -4 D33=8
Twierdzenie Laplace a ( stosuje się do obliczania wyznacznika macierzy dowolnego
stopnia)
Jeżeli A = [aij]nxn to wyznacznik macierzy można przedstawić następująco :
12
a11 a12 a13 ..... a1n
a21 a22 a23 ..... a2n
a31 a32 a33 ..... a3n
...............................
...............................
an1 an2 an3 ..... ann
a) Rozwinięcie twierdzenia Laplace a względem i-tego wiersza :
A = ai1 Di1 + ai2 Di2 + ai3 Di3 + ..... + ain Din
det
b) Rozwinięcie twierdzenia Laplace a względem j-tej kolumny :
A = a1j D1j + a2j D2j + a3j D3j + ..... + anj Dnj
det
( ustala się ten wiersz lub kolumnę, która zawiera najwięcej zer )
Oblicz wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace a :
1 4 5 ł
A = ę0 2 0 ś
2 1 0 det A = ę A ś = -20
Stosując twierdzenie Laplace a oblicz wyznacznik macierzy :
2 1 0 0 ł 2 1 0 ł 1 0 0 ł 2 1 0 ł ę A ś = -4
A = ę 3 4 1 1ś B = ę3 2 1 ś C = ę0 2 1 ś D = ę3 1 0 ś ę B ś = 2
ę1 1 1 2 ś 4 1 0 3 2 1 2 4 1 ę C ś = 0
1 1 1 1 ę D ś = -1
Własności wyznacznika :
1. Jeżeli A jest macierzą diagonalną to det A = a11 * a22 * a33 * ..... * ann ( iloczynem
wszystkich elementów leżących na jej głównej przekątnej ).
Wyznacznik macierzy jednostkowej = 1 In = 1
det
2. Jeżeli macierz An jest macierzą trójkątną górną lub dolną to
A = a11 * a22 * a33 * ......... * ann ( iloczynem wszystkich elementów
det
leżących na głównej przekątnej ).
3. Wyznacznik macierzy, której wiersz lub kolumna zawiera wszystkie elementy
zerowe jest równy 0.
4. Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n to wyznacznik macierzy A jest równy
wyznacznikowi macierzy AT
A = det AT
det
5. Jeżeli w macierzy A dwa wiersze lub dwie kolumny są identyczne to wyznacznik
macierzy A jest równy 0 det A = 0 ( dotyczy również macierzy, w której jeden
wiersz lub kolumna jest wielokrotnością innego wiersza lub kolumny).
6. Jezeli B = l * A to B = ln * det A ( gdzie n jest stopniem macierzy A ).
det
7. Twierdzenie Cauchy ego
Jeżeli A = [aij]nxn B = [bij]nxn to ( AB ) = det A * det B
det
Uwagi :
Jeżeli na macierzy A wykonamy pewne przekształcenia elementarne to wyznacznik
macierzy wyjściowej jest równy wyznacznikowi macierzy otrzymanej po
przekształceniach elementarnych wykonanych na macierzy A przy czym :
13
Jeżeli wykonano przekształcenie T1 to wyznacznik należy pomnożyć przez 1/a
(odwrotność liczby przez którą mnożony był wiersz lub kolumna ).
Jeżeli wykonano przekształcenie T2 to wyznacznik należy pomnożyć przez (-1)
Przekształcenie typu T3 nie zmienia wyznacznika.
MACIERZE ODWROTNE
Twierdzenie
Jeżeli det A ą 0 to A-1 = 1/det A [ Dij]T
Wyznacz macierz odwrotną do : A = 1 1ł
6 8
A= 8-6 = 2 ą 0
det
D11 = (-1)2 * ę8 ś = 8
D12 = (-1)3 * ę6 ś = -6
D21 = (-1)3 * ę1 ś = -1
D22 = (-1)4 * ę1 ś = 1
Dij = 8 -6 ł [Dij]T = 8 -1 ł
-1 1 -6 1
A-1 = * 8 -1 ł = 4 -1/2 ł
-6 1 -3
sprawdzenie:
A * A-1 = I
A-1 * A = I zgodne
1 4 5 ł
A = ę2 0 3 ś det A = 7
0 1 0
D11 = (-1)2 * ę0 3 ś = -3 D12 = (-1)3 * ę2 3 ś = 0 D13 = (-1)4 * ę2 0 ś = 2
ę1 0 ś ę0 0 ś ę0 1 ś
D21 = (-1)3 * ę4 5 ś = 5 D22 = (-1)4 * ę1 5 ś = 0 D23 = (-1)5 * ę1 4 ś = -1
ę1 0 ś ę0 0 ś ę0 1 ś
D31 = (-1)4 * ę4 5 ś = 12 D32 = (-1)5 * ę1 5 ś = 7 D33 = (-1)6 * ę1 4 ś = -8
ę0 3 ś ę2 3 ś ę2 0 ś
-3 0 2 ł -3 5 12 ł
[ Dij ] = ę 5 0 -1 ś [ Dij ]T = ę 0 0 7 ś
12 7 -8 2 -1 -8
-3 5 12 ł -3/7 5/7 12/7 ł
14
A-1 = 1/7 ę 0 0 7 ś = ę 0 0 7/7 ś
2 -1 -8 2/7 -1/7 -8/7 Sprawdzić
Twierdzenie:
Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą ( det A ą 0 ) to istnieje ciąg
przekształceń elementarnych sprowadzających tę macierz do macierzy jednostkowej.
Twierdzenie:
Jeżeli ciąg przekształceń elementarnych sprowadza nieosobliwą macierz
kwadratową stopnia n to ten sam ciąg przekształceń elementarnych sprowadza
macierz jednostkową do macierzy A-1 ( przekształcenia dokonujemy albo na
wierszach, albo na kolumnach).
Jeżeli w trakcie przekształceń elementarnych otrzymamy wiersz lub kolumnę zerową
tzn., że macierz odwrotna nie istnieje.
A I
Tn
I A-1
Wyznacz poprzez operacje elementarne macierz odwrotną do macierzy :
1  2 1ł 1 0 3 ł 1 1 1 ł
A = ę2 2 0 ś B = ę1 0 2 ś C = ę-1 0 1 ś
1 0 1 1 1 0 0 1 2 C-1  nie istnieje
Wyznacz macierz X z równania :
1. A * X = B
X * I = X
2. A * X  B = C
I * X = X
3. 3A  2X = C
A * A-1 = I
4. XA2 + BT = XA
A-1 * A = I
5. BT * A * B * X  C(X + C) = 0
6. A(X  AT)  2A2 = 0
1) * A-1 ę A * X = B
A-1 * A * X = A-1 * B
I * X = A-1 * B
X = A-1 *B
2) A * X  B =C ę +B
A-1 * ę A * X = C + B
A-1 * A * X = A-1 (C +B)
15
I * X = A-1 (C +B)
X = A-1 (C +B)
3) 3A  2X = C ę - 3A
- 2X = C  3A ę * -1/2
X = -1/2 ( C  3A)
4) XA2 + BT = XA ę -XA
XA2 + BT  XA = 0 ę - BT
XA2  XA = -BT
X (A2  A) = -BT ę *(A2  A)-1 odwrotność (dzielenie)
X= -BT (A2  A)
5) BT * A * B * X  C (X + C) = 0
BT * A * B * X  CX - C2 = 0 ę +C2
BTABX  CX = C2
(BTAC - C)-1 * ę (BTAC - C)X = C2
X = (BTAC  C)-1 * C2
6)
A(X  A)T  2A2 = 0
A(XT  AT)  2A2 = 0 ę + 2A2
A(XT  AT) = 2A2
AXT  AAT = 2A2 ę + AAT
A-1 * ę AXT = 2A2 + AAT
XT = A-1 (2A2 + AAT) ę T (XT)T = X
(XT)T = [A-1 (2A2 + AAT)]T
X = [A-1 (2A2 + AAT)]T
PIERWIASTKI CHARAKTERYSTYCZNE MACIERZY
Definicja:
Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian :
W (l) = det( A - l* I )
Definicja:
Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie :
( A - l I ) = 0
det
16
Definicja:
Rozwiązanie równania charakterystycznego nazywamy pierwiastkami
charakterystycznymi macierzy A
Znajdz pierwiastki charakterystyczne macierzy A = 1 1 ł
2 1
W ( l ) = det( 1 1 ł - l 1 0 ł )
2 1 0 1
W ( l ) = det( 1 1 ł - l 0 ł )
2 1 0 l
W ( l ) = det 1- l 1 ł
2 1-l
W ( l ) = det ę(1 - l) (1 - l)  2 ę = (1 - l)2  2 = 12  2l + l2  2 = l2  2l - 1
Tworzymy równanie :
l2  2l - 1 a = 1 b = -2 c = -1
D = b2  4ac
D = (-2)2  4 * 1 * (-1) = 4  4*(-1) = 4 + 4 = 8
D = 8 D > 0
D = 8 = 2 2

- b - D - b - D
l1 = l2 =
2a 2a

2 - 2 2 2(1 - 2)
l1 = = = 1 - 2
2 2

2 + 2 2 2(1 + 2)
l2 = = = 1 + 2
2 2
l1 = 1 - 2 l2 = 1 + 2
UKAADY RÓWNAC
Definicja :
Układ m o n niewiadomych x1 , x2 , x3 , ........ , xn nazywamy układem równań
liniowych, gdy jest w postaci :
a11x1 + a12x2 + ......... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ......... + a2nxn = b2
...................................................
an1x1 + an2x2 + ..........+ annxn = bn
gdzie aij R i = 1 ...... n j = 1 ......... n
17
Układ można zapisać w postaci równania wektorowego :
a11 a21 an1 b1
ł ł ł ł
ęa ś ę ś ęa ś ęb ś
a22
12 n2 2
ę ś ę ś ę ś ę ś
ę ś ę ś ę ś ę ś
a13 * x1 + a23 * x2 + .......... + an3 * xn = b3 =
ę ś ę ś ę ś ę ś
.. .. .. ..
ę ś ę ś ę ś ę ś
ęa1m ś ęa2m ś ęanm ś ębn ś

a11 a12 ... a1n x1 b1
ł ł ł
ęa a22 ... a2n ś ęx ś ęb ś
21 2 2
ę ś ę ś ę ś
= * =
ę ś ę ś ę ś
... ... ... ... ... ...
ęa am2 ... amn ś ęx ś ęb ś
m1 n m
Definicja :
Jeżeli układ nie posiada rozwiązania to nazywamy go układem sprzecznym
Definicja :
Jeżeli układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie to nazywamy go układem
oznaczonym.
Definicja :
Jeżeli układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań to nazywamy go układem
nieoznaczonym.
Twierdzenie Kroneckera-Capelli ego :
Układ równań liniowych w postaci :
A * x = b
gdzie A jest macierzą Amn x Rn jest wektorem w przestrzeni Rn
posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy A równy jest rzędowi
macierzy poszerzonej. rzA = A|B
Przykład :
Dany jest układ równań macierzowych. Sprawdz czy układ posiada rozwiązanie?
Jeżeli tak, to znajdz je.
2 1 x1 4
ł ł ł
* =
ę1 0ś ęx ś ę1ś
2
Należy sprawdzić czy rz A = rz A|b
2 1 0 1
ł ł
k1 + )
2
rz A = k rz = 2
ę1 0ś Ź(-2 ę1 0ś

18
2 1 4ł 0 1 4ł 0 1 4ł 0 1 0ł
k1 + ) k3 - k3 -4k2
2 1
rz A|b = k
ę1 0 1ś Ź(-2 ę1 0 1ś Źk ę1 0 0ś Ź ę1 0 0ś rz = 2

Układ posiada rozwiązanie ponieważ rzA = rzA|b
2x1 + x2 4
ł ł
=
ęx + 0 ś ę1 ś
1
2x1 + x2 = 4

x + 0 =1 x1= 1
1
2+x2 = 4
x2 = 4-2 = 2
x2 = 2
Istnieje jedno rozwiązanie : x1 = 1 , x2 = 2
Definicja :
1. Jeżeli rzA ą rzA|b to układ równań jest układem sprzecznym
2. Jeżeli rzA = rzA|b i rz = n to układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie
3. Jeżeli rzA = rzA|b i rz < n to układ równań posiada nieskończenie wiele
rozwiązań
Wyznacz liczbę rozwiązań w układzie :
3 2 1 x1 2
ł ł ł
ę1 0 1ś * ęx ś ę1ś
=
2
ę ś ę ś ę ś
ę ś
0 1 2 ę ś ę
x3 3ś
n = 3
3 2 1 3 2 - 2 3 2 -1 3 3 -1
ł ł ł ł
1
k3*
ę1 k3 - ę1 0 0 ś ę1 ś k2 3 ę1 0 0 ś
1

rzA = 0 1ś Źk Ź2 0 0 Ź-k
ę ś ę ś ę ś ę ś
ę ś ę ę ę
0 1 2 0 1 2 ś 0 1 1 ś 0 0 1 ś

0 3 -1 0 1 -1 0 1 0
ł ł ł
1
k2 *
k1 - ę1 0 0 ś ę1 ś k3 +k2 ę1
2
Źk Ź3 0 0 Ź 0 0ś rz = 3

ę ś ę ś ę ś
ę ę ę ś
0 0 1 ś 0 0 1 ś 0 0 1

0 1 0 2ł 0 1 0 2ł 0 1 0 0ł
ę1
1
Ź-k Ź

rzA|b = 0 0 1ś k4 ę1 0 0 0ś k4 -2k2 ę1 0 0ś rz = 3
ę ś ę ś ę ś
ę0 0 1 3ś ę0 0 1 3ś ę0 0 1 3ś

rzA = rzA|b = n układ posiada jedno rozwiązanie
19
METODY ROZWIZYWANIA UKAADÓW RÓWNAC
Definicja :
Układ n równań liniowych o n niewiadomych w postaci Ax = b nazywamy układem
Cramera, gdy det A ą 0
Niech macierz A = [p1 p2 p3 ... pn ]
Oznaczamy przez Ak macierz utworzoną z macierzy A przez zastąpienie k-tej
kolumny kolumnę wyrazów wolnych.
Ak = [p1 p2 p3 ... pk -1 b pk +1 ... pn ]
Twierdzenie Cramera
Układ równań Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem :
det Ak
xk = k = 1 ......... n
det A
Przykład :
Rozwiąż układ równań metodą Cramera
4x1 - x2 - 2x3 =1

2x + x2 =1

1

- 2x1 + x3 = 2
4 -1 - 2 4 -1 - 2
ł
ę
A = 2 1 0ś detA = 2 1 0 = 4+0+0-4-0+2 = 2
ę ś
ę ś
- 2 0 1
- 2 0 1
Ilość równań = 3
Ilość niewiadomych = 3 ilość równań = ilości niewiadomych
det A =2 ą 0 tzn. jest to układ Cramera
det A1
x1 = A1 = ?
det A
det A2
x2 = A2 = ?
det A
det A3
x3 = A3 = ?
det A
1 -1 - 2
A1 = 1 1 0 = 1+0+0+4-0+1 = 6
2 0 1
20
4 1 - 2
A2 = 2 1 0 = 4-8+0-4-0-2 = -10
- 2 2 1
4 -1 1
A3 = 2 1 1 = 8+0+2+2-0+4 = 16
- 2 0 2
6
X1 = = 3
2
- 10
X2 = = -5
2
16
X3 = = 8
2
Rozwiąż układ równań :
x1 + 3x2 - 4x3 = 4

3x + 2x2 - x3 =1 n = 3

1
x - 4x2 + 7x3 = 5
1
1 3 - 4
detA = 3 2 -1 = 14+48-3+8-4-63 = 0
1 - 4 7
Ponieważ detA = 0 to nie jest to układ Cramera
Należy zbadać rzędy macierzy A i macierzy poszerzonej
rz A = 2 rz A|b = 3 rzA ą rzA|b układ nie posiada rozwiązania
Inna szybsza metoda polega na przekształceniach elementarnych. Poprzez
przekształcenia elementarne na wierszach macierzy poszerzonej doprowadzamy
macierz A do macierzy jednostkowej. Rozwiązanie otrzymanego układu równań jest
zarazem rozwiązaniem układu wyjściowego na mocy twierdzenia :
Jeżeli macierz [A*|b*] powstaje z macierzy [A|b] poprzez przekształcenia elementarne
na wierszach to układy równań :
A*x = b* Ax = b
Są równoważne (tzn. mają ten sam zbiór rozwiązań).
Rozwiąż jest układ równań :
x1 + x2 + x3 = 3


- x1 + x2 + x3 = 3
x - x3 = 0
2

x1 + 3x2 + 3x3 = 7

21
to nie jest układ Cramera ponieważ liczba niewiadomych jest różna od ilości
równań
Po przekształceniach otrzymujemy :
1 0 0 1ł
ę0 1 0 1ś
ę ś
ę0 0 0 0ś
ę ś
ę0 0 1 1ś

A* b*
Podstawiając wartości z otrzymanej macierzy do układu równań otrzymujemy :
1x1 + 0x2 + 0x3 =1 x1 =1

0x + 1x2 + 0x3 =1
x2 =1

1


0 = 0
0 = 0
0x1 + 0x2 + 1x3 =1
x3 =1

Równanie otrzymane jest równoważne z równaniem otrzymanym do rozwiązania.
Oba posiadają to samo rozwiązanie.
Jeżeli podczas przekształceń otrzymamy równanie (wiersz) sprzeczne np. 2=0
wnioskujemy, że układ równań nie posiada rozwiązania.
22


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MATEMATYKA macierze
Matematyka Macierze
matematyka notatki macierze
Matematyjka Dzialania na macierzach
Analiza Matematyczna 2 Zadania
zachowania macierzynskie klaczy i ich nieprawidlowosci
Sprawdzian 5 kl 2 matematyka zadania
matematyka pr

więcej podobnych podstron