1 Elementy algebry liniowej
1.1 Dzialania na macierzach
Definicja: Macierz o wymiarach m × n to prostokatna tablica liczb
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
A = . . . . . . . . . ûÅ‚
ðÅ‚
am1 . . . amn
zlożona z m wierszy i n kolumn. Mówimy, że dwie macierze
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n b11 . . . b1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = . . . . . . . . . i B = . . . . . . . . . ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
am1 . . . amn bm1 . . . bmn
sa równe, jeśli aij = bij dla wszystkich i = 1, 2, . . . , m i j = 1, 2, . . . , n
Przyklad:
1 2 3 -1 5 0
A = , B = ,
4 5 6 0 -2 -4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 -1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
C = 2 5 , D = 5 -2 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
3 6 0 -4
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0
0 0 0
ïÅ‚ śł
Åš = 0 0 , Åš = - macierze zerowe,
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0
0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
1 0
ïÅ‚ śł
I = , I = 0 1 0 - macierze jednostkowe.
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1
0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
a 0 0
a 0
ïÅ‚ śł
, 0 b 0 - macierze diagonalne,
ðÅ‚ ûÅ‚
0 d
0 0 c
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a 0 0 a b c
a b a 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
, , b c 0 0 d e - macierze trójkatne.
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 d c d
d e f 0 0 f
Macierze które maja tylko jedna kolumne i m wierszy nazywamy wektorami (kolum-
nowymi).
1
Przyklad:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0
-1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x = 2 , y = , 0 = 0 - wektory kolumnowe
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
3 0
Macierze które maja tylko jeden wiersz i n kolumn nazywamy wektorami (wierszo-
wymi).
Przyklad:
x = 1 2 3 , y = -1 2 , 0 = 0 0 0 - wektory wierszowe
Liczby bedziemy również nazywać skalarami.
Dodawanie i odejmowanie macierzy
Dwie macierze dodajemy (odejmujemy) dodajac (odejmujac) odpowiadajace sobie
wyrazy. Stad wynika, że dodawanie jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy macie-
rze maja te same wymiary.
Przyklad:
1 2 3 -1 5 0 0 7 3
A + B = + = ,
4 5 6 0 -2 -4 4 3 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 -1 0 2 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
C - D = 2 5 - ðÅ‚ -2 = -3 7 .
ðÅ‚ ûÅ‚ 5 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 6 0 -4 3 10
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 0 0 1 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
C + Åš = 2 5 + 0 0 = 2 5 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 6 0 0 3 6
Dzialanie
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0
1 2 3
ïÅ‚ śł
A + D = + 5 -2 ûÅ‚
ðÅ‚
4 5 6
0 -4
nie jest wykonalne, bo macierze A i D maja różne wymiary.
Ogólnie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1k b11 . . . b1n a11 Ä… b11 . . . a1n Ä… b1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ . . . . . . . . . Ä… . . . . . . . . . = . . . . . . . . . .
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amk bk1 . . . bkn am1 Ä… bm1 . . . amn Ä… bmn
2
Mnożenie przez skalar
Aby pomnożyć macierz przez skalar, trzeba pomnożyć każdy wyraz macierzy przez
ten skalar.
Przyklad:
1 2 3 3 6 9
3A = 3 =
4 5 6 12 15 18
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 -2 -8
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-2C = -2 2 5 = -4 -10 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 6 -6 -12
Ogólnie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1k ca11 . . . ca1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
c . . . . . . . . . = . . . . . . . . . ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
am1 . . . amk cam1 . . . camn
Transpozycja
Definicja: Macierza transponowana macierzy M jest macierz MT otrzymana z M
przez utworzenie wierszy z kolumn (co jest równoważne z przeksztalceniem wierszy
w kolumny). Macierz, która jest równa swojej macierzy transponowanej, nazywamy
macierza symetryczna.
Przyklad:
îÅ‚ Å‚Å‚
T 1 4
1 2 3
ïÅ‚ śł
AT = = 2 5 = C,
ðÅ‚ ûÅ‚
4 5 6
3 6
îÅ‚ Å‚Å‚T
-1 0
-1 5 0
ïÅ‚ śł
DT = 5 -2 = = B.
ðÅ‚ ûÅ‚
0 -2 -4
0 -4
îÅ‚ Å‚Å‚T îÅ‚ Å‚Å‚
T 1 -2 5 1 -2 5
1 2 1 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= , -2 3 0 = -2 3 0 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
2 -1 2 -1
5 0 -5 5 0 -5
- macierze symetryczne.
Wynikiem transponowania macierzy transponowanej jest macierz wyjściowa, tzn.:
(MT )T = M.
3
Mnożenie macierzy
Jeżeli R jest macierza o wymiarach m × n , a S jest macierza o wymiarach n × p, to
iloczyn RS jest macierza o wymiarach m×p. Mnożenie jest wykonalne tylko wtedy,
gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy. Me-
tode obliczania iloczynu macierzy najpierw pokażemy na przykladach.
Przyklad:
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0
1 2 3
ïÅ‚ śł
5 ûÅ‚
AD = ðÅ‚ -2 =
4 5 6
0 -4
1 · (-1) + 2 · 5 + 3 · 0 1 · 0 + 2 · (-2) + 3 · (-4) 9 -16
= ,
4 · (-1) + 5 · 5 + 6 · 0 4 · 0 + 5 · (-2) + 6 · (-4) 21 -34
îÅ‚ Å‚Å‚
1 4
-1 5 0 9 21
ïÅ‚ śł
2 5 =
BC = ðÅ‚ ûÅ‚ .
0 -2 -4 -16 -34
3 6
Zauważmy, że (AD)T = BC = DT AT .
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 -1 -3 -16
-1 5 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
CB = 2 5 = -2 0 -20 ,
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 -2 -4
3 6 -3 3 -24
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
1 2 3 1 2 3
ïÅ‚ śł
AI = ðÅ‚ 0 1 0 = = A,
ûÅ‚
4 5 6 4 5 6
0 0 1
1 0 1 2 3 1 2 3
IA = = .
0 1 4 5 6 4 5 6
Ogólnie, jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1k b11 . . . b1n c11 . . . c1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
am1 . . . amk bk1 . . . bkn cm1 . . . cmn
to
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aikbkj.
Twierdzenie: (Wlasności dzialań na macierzach)
Jeśli P, R, S sa macierzami i dzialania sa wykonalne, to zachodza nastepujace
równości:
4
1. P + (R + S) = (P + R) + S 5. IR = R oraz RI = R
2. P + R = R + P. 6. ÅšR = Åš oraz RÅš = Åš
3. P (RS) = (P R)S 7. (R + S)T = RT + ST
4. Åš + R = R i R + Åš = R 8. (RS)T = ST RT
Uwaga: Mnożenie macierzy nie jest przemienne. Na przyklad
2 7 0 1 7 2 0 1 2 7 3 4
= = .
3 4 1 0 4 3 1 0 3 4 2 7
1.2 Wyznacznik macierzy
Definicja: Wyznacznikiem macierzy A = [a] o wymiarach 1 × 1 jest liczba a.
a b
Definicja: Wyznacznikiem macierzy A = o wymiarach 2 × 2 nazywamy
c d
a b
wyrażenie ad - bc. Wyznacznik macierzy A oznaczamy również .
c d
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.
Niech Aij oznacza macierz, która powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego
wiersza i j-tej kolumny.
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13
ïÅ‚
Wyznacznikiem macierzy A = a21 a22 a23 śł o wymiarach 3 × 3 jest
ðÅ‚ ûÅ‚
a31 a32 a33
a22 a23 a21 a23 a21 a22
det(A) = a11 - a12 + a13 =
a32 a33 a31 a33 a31 a32
a11 det(A11) - a12 det(A12) + a13 det(A13).
Ogólnie wyznacznikiem macierzy n × n jest
det(A) = a11 det(A11) - a12 det(A12) + · · · + (-1)n+1a1n det(A1n).
Przyklad:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3
5 6 4 6 4 5
śł
det(ïÅ‚ 4 5 6 ) = 1 - 2 + 3 =
ðÅ‚ ûÅ‚
8 9 7 9 7 8
7 8 9
(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = -3 + 12 - 9 = 0
Schemat Sarrusa
(Można stosować tylko do macierzy 3 × 3)
5
a b c
d e f = aek + dhc + gbf - ceg - fha - kbd
g h k
a b c •"
d e f •"
•"
Twierdzenie: (Wlasności wyznaczników)
1. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wyznacznika. det(A) = det(AT ).
2. Zamiana dwóch kolumn (lub wierszy) zmienia znak wyznacznika.
det([a1, . . . , ai, . . . , aj, . . . , an]) = - det([a1, . . . , aj, . . . , ai, . . . , an])
3. Wyznacznik macierzy z powtarzajaca sie kolumna (lub wierszem) jest równy
zeru.
det([a1, . . . , ai, . . . , ai, . . . , an]) = 0
4. Jeżeli wyrazy pewnej kolumny (lub wiersza) pomnożymy przez stala, to wy-
znacznik zwielokrotni sie o te stala.
det([a1, . . . , cai, . . . , an]) = c det([a1, . . . , ai, . . . , an])
5. Dodanie do pewnej kolumny (pewnego wiersza) innej kolumny pomnożonej
(wiersza pomnożonego) przez stala nie zmienia wartości wyznacznika.
det([a1, . . . , ai + caj, . . . , an]) = det([a1, . . . , ai, . . . , an])
6. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników tych ma-
cierzy
det AB = det A det B
7. Wzór Laplace a
dla i-tego wiersza:
det(A) = (-1)i+1(ai1 det(Ai1) - ai2 det(Ai2) + · · · + (-1)n+1ain det(Ain)).
dla j-tej kolumny:
det(A) = (-1)j+1(a1j det(A1j) - a2j det(A2j) + · · · + (-1)n+1anj det(Anj)).
6
8. Wyznacznik macierzy trójkatnej (diagonalnej) jest równy iloczynowi elementów
należacych do przekatnej tej macierzy.
a11 a12 . . . a1 n-1 a1n
0 a22 . . . a2 n-1 a2n
. . . . . . . . . . . . . . . = a11a22 · · · an-1 n-1ann.
0 0 . . . an-1 n-1 an-1 n
0 0 . . . 0 an n
Obliczanie wyznaczników wiekszych macierzy bezpośrednio z definicji jest bardzo
czasochlonne. Dlatego warto poznać inny sposób wykorzystujacy przedstawione
wyżej wlasności wyznaczników.
Przyklad:
2 -5 1 2 1 -5 2 2 1 -5 2 2
-3 7 -1 4 -1 7 -3 4 0 2 -1 6
= - = - =
5 -9 2 7 2 -9 5 7 0 1 1 3
4 -6 1 2 1 -6 4 2 0 -1 2 0
1 -5 2 2 1 -5 2 2 1 -5 2 2
0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3
= = = 1 · 1 · (-3) · 3 = -9
0 2 -1 6 0 0 -3 0 0 0 -3 0
0 -1 2 0 0 0 3 3 0 0 0 3
1.3 Macierz odwrotna
Definicja: Macierza odwrotna do macierzy A nazywamy taka macierz B, że AB =
I i BA = I. Jeśli macierz ma macierz odwrotna, to jest macierza kwadratowa.
Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy A-1. Jeżeli A-1 = [bij], to
det Aji
bij = (-1)i+j ,
det A
gdzie Aji jest macierza, która powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza
i i-tej kolumny. Zauważmy, że macierz odwrotna istnieje pod warunkiem, że det A =

0.
W szczególności, macierz odwrotna do macierzy
a b
A =
c d
ma postać
1
d -b
A-1 = .
ad - bc -c a
7
Podobnie, jeÅ›li A jest macierza o wymiarach 3 × 3, to macierz odwrotna
îÅ‚ Å‚Å‚T
det A11 - det A12 det A13
1
ïÅ‚
A-1 = ðÅ‚ - det A21 det A22 - det A23 śł =
ûÅ‚
det A
det A31 - det A32 det A33
îÅ‚ Å‚Å‚
det A11 - det A21 det A31
1
ïÅ‚
ðÅ‚ - det A12 det A22 - det A32 śł .
ûÅ‚
det A
det A13 - det A23 det A33
2 2
Zadanie: Wyznaczyć macierz odwrotna do macierzy A =
5 4
Obliczamy det(A) = ad - bc = 2 · 4 - 2 · 5 = -2. Stad
1
4 -2 -2 1
A-1 = =
5
-2 -5 2 -1
2
Sprawdzamy
2 2 -2 1 -2 1 2 2
A A-1 = = I A-1A = = I
5 5
5 4 -1 -1 5 4
2 2
1.4 Uklady równań liniowych
Ogólna postać ukladu równań liniowych:
Å„Å‚
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
ôÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Każdy ciag liczb x1, x2, . . . , xn spelniajacy uklad równań, nazywamy rozwiazaniem
tego ukladu.
Uklad równań można również przedstwić w postaci macierzowej:
Ax = b,
gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n x1 b1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = . . . . . . . . . , x = . . . , b = . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn xn bm
8
Macierz A nazywamy macierza ukladu, a wektory x, b odpowiednio wektorem nie-
wiadomych i wektorem wyrazów wolnych. Macierz [A| b] utworzona z macierzy
ukladu i wektora wyrazów wolnych nazywamy macierza rozszerzona. Jeśli macierz
ukladu równań ma postać
îÅ‚ Å‚Å‚
I | A
ïÅ‚ śł
A = -- - -- ûÅ‚ ,
ðÅ‚
Åš | Åš
gdzie A jest pewna macierza o wymiarach mniejszych (lub równych) niż macierz A,
to taki uklad nazywamy bazowym.
Definicja: Operacja elementarna nazywamy każde z nastepujacych przeksztalceń
ukladu równań liniowych:
1. pomnożenie pewnego równania ukladu przez dowolna liczbe i dodanie do in-
nego równania tego ukladu.
2. pomnożenie lub podzielenie pewnego równania ukladu przez liczbe różna od
zera.
3. przestawienie ze soba dwóch równań ukladu.
4. dopisanie lub usuniecie z ukladu równania zerowego postaci 0x1 + 0x2 + · · · +
0xn = 0.
Definicja: Dwa uklady równań liniowych nazywamy równoważnymi, jeśli jeden z
nich można otrzymać z drugiego przez wykonanie ciagu operacji elementarnych.
Twierdzenie:
1. Każdy uklad równań można za pomoca ciagu operacji elementarnych sprowa-
dzić do ukladu bazowego, tzn. każdy uklad równań liniowych jest równoważny
z pewnym ukladem bazowym. (Czasem może być konieczne również przesta-
wianie kolumn macierzy ukladu.)
2. Równoważne uklady równań liniowych maja równe zbiory rozwiazań.
Twierdzenie:
1. Uklad równań liniowych równoważny z ukladem bazowym postaci Ix = b ma
dokladnie jedno rozwiazanie x = b.
2. Uklad równań liniowych równoważny z ukladem bazowym postaci [I|A ]x = b
(A jest pewna macierza) ma nieskończenie wiele rozwiazań.
3. Jeśli uklad bazowy równoważny z danym ukladem równań liniowych zawiera
równanie postaci 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = 1, to uklad ten jest sprzeczny.
9
Zadanie: Rozwiazać uklad równań
Å„Å‚
ôÅ‚ x + 2y - 2z = 0
òÅ‚
2x + 5y - z = 7
ôÅ‚
ół
3x + 4y - 10z = -10
Przy pomocy przeksztalceń elementarnych sprowadzamy ten uklad równań do
postaci bazowej. Takie postepowanie nazywamy eliminacja niewiadomych.
Å„Å‚
I ôÅ‚ x + 2y - 2z = 0
òÅ‚
-2I + II y + 3z = 7
ôÅ‚
ół
-3I + III -2y - 4z = -10
Å„Å‚
I ôÅ‚ x + 2y - 2z = 0
òÅ‚
II y + 3z = 7
ôÅ‚
ół
III/2 -y - 2z = -5
Å„Å‚
-2II + I ôÅ‚ x - 8z = -14
òÅ‚
II y + 3z = 7
ôÅ‚
ół
II + III z = 2
Å„Å‚
8III + I ôÅ‚ x = 2
òÅ‚
-3III + II y = 1
ôÅ‚
ół
III z = 2
Latwo zauważyć, że operacje elementarne wykonywane na równaniach ukladu w isto-
cie wykonywane sa na wspólczynnikach tego ukladu. Dlatego wygodniej wykonywać
wszystkie obliczenia na macierzy rozszerzonej.
Zadanie: Rozwiazać uklad równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - 2x2 + 3x3 + x4 = 2
x1
òÅ‚
3x1 - 7x2 + 13x3 + 5x4 = 11
ôÅ‚
ół
2x1 - x2 - 3x3 + 2x4 = -5
Tworzymy macierz rozszerzona tego ukladu i wykonujemy odpowiedni ciag operacji
elementarnych.
10
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 3 1 | 2
ïÅ‚ śł
3
ðÅ‚ -7 13 5 | 11 ûÅ‚
2 -1 -3 2 | -5
îÅ‚ Å‚Å‚
I 1 -2 3 1 | 2
ïÅ‚ śł
-3I + II ðÅ‚ -1 4 2 | 5 ûÅ‚
0
-2I + III 0 3 -9 0 | -9
îÅ‚ Å‚Å‚
-2II + I 1 0 -5 -3 | -8
ïÅ‚ śł
II ðÅ‚ -1 4 2 | 5 ûÅ‚
0
3II + III 0 0 3 6 | 6
îÅ‚ Å‚Å‚
I 1 0 -5 -3 | -8
ïÅ‚ śł
II ðÅ‚ -1 4 2 | 5 ûÅ‚
0
III/3 0 0 1 2 | 2
îÅ‚ Å‚Å‚
5III + I 1 0 0 7 | 2
ïÅ‚ śł
-4III + II ðÅ‚ -1 0 -6 | -3 ûÅ‚
0
III 0 0 1 2 | 2
îÅ‚ Å‚Å‚
I 1 0 0 7 | 2
ïÅ‚ śł
-1 · II ðÅ‚ 0 1 0 6 | 3 ûÅ‚
III 0 0 1 2 | 2
Otrzymaliśmy uklad bazowy:
Å„Å‚
ôÅ‚ x1 +7x4 = 2
òÅ‚
x2 +6x4 = 3
ôÅ‚
ół
x3 +2x4 = 2
Uklad ma nieskończenie wiele rozwiazań:
Å„Å‚
x1 = 2 - 7x4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x2 = 3 - 6x4 Rozwiäzanie ogólne.
ôÅ‚
x3 = 2 - 2x4
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x4 - dowolne
Uwaga: Uklad równań liniowych w postaci macierzowej:
Ax = b.
Zalóżmy, że macierz A ma macierz odwrotna. Wtedy
A-1Ax = A-1 b.
11
Ponieważ A-1A = I i Ix = x, wiec x = A-1 b, tzn. wektor niewiadomych można
wyznaczyć mnożac wektor wyrazów wolnych z lewej strony przez odwrotność ma-
cierzy A.
1.5 Wzory Cramera
Jeżeli A jest macierza o wymiarach n × n i det A = 0 oraz

îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x1 b1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. .
A =
. .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
xn bn
jest ukladem równań liniowych w postaci macierzowej, to uklad ten ma dokladnie
jedno rozwiazanie dane wzorami:
det B1 det B2 det Bn
x1 = , x2 = , . . . , xn = ,
det A det A det A
gdzie Bj jest macierza, która powstaje przez zastapienie j-tej kolumny macierzy A
kolumna wyrazów wolnych.
Przyklad:
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ x+ 2y+ 3z = 1 1 2 3 x 1
òÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3x+ y+ 2z = 2 Postać macierzowa : 3 1 2 y = 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚
ół
2x+ 3y+ z = 3 2 3 1 z 3
1 2 3
det A = = 1 + 27 + 8 - 6 - 6 - 6 = 18
3 1 2
2 3 1
1 2 3
3 1 2
1 2 3
det Bx = = 1 + 18 + 12 - 9 - 6 - 4 = 12
2 1 2
3 3 1
1 2 3
2 1 2
1 1 3
det By = = 2 + 27 + 4 - 12 - 6 - 3 = 12
3 2 2
2 3 1
1 1 3
3 2 2
12
1 2 1
det Bz = = 3 + 9 + 8 - 2 - 6 - 18 = -6
3 1 2
2 3 3
1 2 1
3 1 2
12 2 12 2 -6 1
Rozwiazanie: x = = , y = = , z = = -
18 3 18 3 18 3
1.6 Dzialania na wektorach
Definicja: Wektorem (n-wymiarowym) nazywamy każdy n-elementowy ciag liczb
rzeczywistych. Każdy wektor może być zapisany w postaci macierzy jednowierszowej
lub jednokolumnowej. Zbiór wszystkich wektorów n-wymiarowych oznaczamy Rn.
Dodawanie i mnożenie wektorów przez liczby rzeczywiste wykonujemy tak jak
analogiczne dzialania na macierzach:
[x1, x2, . . . , xn] + [y1, y2, . . . , yn] = [x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn]
a[x1, x2, . . . , xn] = [ax1, ax2, . . . , axn]
Iloczyn skalarny wektorów
Jeśli x = [x1, x2, . . . , xn] oraz y = [y1, y2, . . . , yn] sa wektorami n-wymiarowymi, to
ich iloczyn skalarny jest określony wzorem
x ć% y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.
Dlugościa (albo norma) wektora x = [x1, x2 . . . xn] nazywamy liczbe
||x|| = x2 + x2 + · · · x2.
1 2 n
Latwo sprawdzić, że
1. x ć% x = ||x||2. 2. x ć% y = y ć% x
3. x ć% (ay + bz) = a(x ć% y) + b(x ć% z) dla dowolnych wielkości skalarnych a, b.
Wektory x i y sa prostopadle wtedy i tylko wtedy, gdy x ć% y = 0.
1.7 Równania prostych
Równanie ogólne prostej
Zbiór wszystkich punktów P = [x, y] spelniajacych równanie
ax + by = c
13
tworzy prosta leżaca na plaszczyz
nie R2. Równanie to nazywamy równaniem ogólnym.
W tym przypadku wektor [a, b] jest prostopadly do prostej.
Y
[a, b]
ax + by = c
X
O
Przyklad:
Punkt [10,-2] leży na prostej 2x + 5y = 10, bo 2 · 10 + 5 · (-2) = 10.
Punkt [2,2] nie leży na prostej 4x + y = 7, bo 4 · 2 + 2 = 10 = 7

Równanie kierunkowe prostej
y = mx + c
Wspólczynnik m oznacza nachylenie prostej, tzn., że y wzrasta o m jednostek przy
każdym wzroście x o jedna jednostke. Liczba c jest wspólrzedna punktu przeciecia
prostej z osia Y .
Y
c
m
y = mx + c
X
O x x + 1
Uwaga: Jeśli prosta jest równolegla do osi Y, to nie może być przedstawiona w
postaci równania kierunkowego.
14
Równanie odcinkowe prostej:
x y
+ = 1
a b
Liczby a, b odpowiednio sa dlugościami odcinków skierowanych wyznaczonych
przez punkt O i punkty przeciecia prostej z osiami X i Y .
Y
b
x y
+ = 1
a b
X
O a
Przyklad:
x y
Prosta o równaniu + = 1 przecina oś X w punkcie 5, a oś Y w punkcie 2.
5 2
Uwaga: Proste równolegle do osi ukladu wspólrzednych oraz proste przechodzace
przez punkt [0,0] nie moga być przedstawione w postaci równania odcinkowego.
Przyklad:
Znalez
ć równanie prostej przechodzacej przez punkty [1,4] i [2,6]
y = mx + c Odpowiedz
:
6 = m · 2 + c y = 2x + 2. (równanie kierunkowe)
4 = m · 1 + c 2x - y = -2 (równanie ogólne)
x y
       + = 1 (równanie odcinkowe)
-1 2
2 = m i c = 2
Wiazki towarowe i wektory cen
Przyklad: Zalóżmy, że pewien sklep sprzedaje tylko chleb i bulki: Niech wektor
[x1, x2] oznacza sprzedzaż x1 bochenków chleba i x2 bulek.
Dzienna sprzedaż wynosi:
Poniedzialek a=[47,135]
Wtorek b=[42,109]
Åšroda c=[45,113]
Czwartek d=[40,110]
Piatek e=[41,158]
Sobota f=[77,189]
15
Sprzedaż w tygodniu:
a+ b+c+d+e+f = [47+42+45+40+41+77, 135+109+113+110+158+189] =
[292, 814].
Wiazka towarowa to wektor x = [x1, x2 . . . , xn] oznaczajacy, że w sklad wiazki
wchodzi x1 jednostek towaru pierwszego, x2 jednostek towaru drugiego itd. Zbiór
wiazek towarowych jest zawarty w przestrzeni Rn.
Wektor p = [p1, p2, . . . pn] taki, że p1 oznacza cene pierwszego towaru, p2 cene
drugiego towaru, itd nazywamy wektorem cen.
Wartościa wiazki towarowej x jest iloczyn skalarny
p ć% x = p1x1 + p2x2 + · · · pnxn.
Jeśli każda wiazke towarowa [x1, x2] przedstawimy jako punkt na plaszczyz
nie i
ustalimy wektor cen [p1, p2], to zbiór wiazek towarowych o ustalonej wartości w
tworzy prosta o równaniu p1x1 + p2x2 = w. Wiazki leżace powyżej tej prostej maja
wartość wieksza niż w. Wiazki leżace poniżej tej prostej maja wartość mniejsza
niż w. Warto zauważyć, że zbiór wiazek towarowych o innej, ustalonej wartości
w również tworzy prosta o równaniu p1x1 + p2x2 = w . Proste te sa równolegle,
ponieważ obie sa prostopadle do wektora [p1, p2].
x2
Wektor cen
Wiazki o wyższej wartości
p1x1 + p2x2 = w
p1x1 + p2x2 = w
Wiazki o niższej wartości
x1
O
Zalóżmy, że x oznacza pewna wiazke towarowa, a p jest wektorem cen. Przypuśćmy,
że dochód konsumenta wynosi I. Nierówność p ć% x d" I nazywamy ograniczeniem
budżetowym konsumenta.
Zbiór wiazek towarowych, spośród których konsument może dokonać wyboru,
przy zachowaniu ograniczeń budżetowych , nazywamy jego zbiorem budżetowym.
16
x2
I/p2
Zbiór budżetowy
x1
O I/p1
x2
I/p2
x1 = q
Zbiór budżetowy
x1
O q I/p1
Zbiór budżetowy przy racjonowaniu
(x1 d" q klient może kupić co najwyżej q jednostek I towaru)
x2
I/p2 x1p1 + x2p2 = I
qp1 + (x1 - q)p" + x2p2 = I
1
Zbiór budżetowy
x1
O q I/p1
Zbiór budżetowy z uwzglednieniem podatku przy zakupach x1 > q
17
(Za pierwszy towar powyżej q jednostek klient placi cene p" > p1)
1
x2
I/p2 x1p1 + x2p2 = I
qp1 + (x1 - q)p" + x2p2 = I
1
Zbiór budżetowy
x1
O I/p1
Zbiór budżetowy z uwzglednieniem rabatu przy zakupach x1 > q
(Za pierwszy towar powyżej q jednostek klient placi cene p" < p1)
1
1.8 Programowanie liniowe
Programowanie liniowe jest jedna z metod umożliwiajacych wybór rozwiazania opty-
malnego spośród wielu rozwiazań dopuszczalnych. Metoda ta może być stosowana,
gdy zarówno warunki opisujace zbiór rozwiazań dopuszczalnych jak i funkcja celu
stanowiaca kryterium wyboru sa funkcjami liniowymi. Model matematyczny zada-
nia programowania liniowego sklada sie z trzech cześci:
" zmienne decyzyjne: uklad zmiennych x1, . . . , xn (lub wektor [x1, . . . , xn]), których
wartość bedzie rozwiazaniam zadania.
" warunki ograniczajace: uklad równań i nierówności liniowych.
" funkcja celu: funkcja liniowa postaci z = a1x1 + · · · + anxn.
Przyklad:
Pewien zaklad produkuje dwa wyroby: I i II. Do produkcji tych wyrobów potrzebne
sa trzy surowce: S1 , S2 , S3. Naklady surowców i zyski jednostkowe sa nastepujace:
Wyroby Zasoby
Surowce I II surowca
S1 3 1 18
S2 2 4 40
S3 3 2 24
Zyski jednostkowe 2 3
18
Należy ustalić plan produkcji zapewniajacy maksymalny zysk.
PLAN PRODUKCJI: Zmienne decyzyjne:
x1 planowana liczba jednostek wyrobu I.
x2 planowana liczba jednostek wyrobu II.
Warunki ograniczajace:
3x1 + x2 d" 18
2x1 + 4x2 d" 40
3x1 + 2x2 d" 24.
x1 e" 0 , x2 e" 0
Funkcja celu (zysk z produkcji): z = 2x1 + 3x2
Rozwiazanie metoda graficzna.
Zalożony plan produkcji [x1, x2] jest dwuwymiarowa wiazka towarowa, ktorej odpo-
wiada dokladnie jeden punkt plaszczyzny. Zbiór dopuszczalnych wiazek mieści sie
na rysunku w obszarze zakropkowanym, ograniczonym prostymi:
X2
L1 : 3x1 + x2 = 18
L2 : 2x1 + 4x2 = 40
18
L3 : 3x1 + 2x2 = 24.
L1
12
10
M
·
z = 36
· ·
2x + 3y = 36
· · ·
· · ·
· · · ·
· · · ·
· · · · ·
· · · · ·
K
L3
· · · · ·
L2
X1
O
6 8 20
19
Każdy punkt na prostej o równaniu 2x1 + 3x2 = d jest obrazem wiazki towaro-
wej, której wyprodukowanie przyniesie zysk d. Wszystkie takie proste sa do sie-
bie równolegle, bo maja wspólny wektor prostopadly [2, 3]. Wystarczy znalez
ć taka
prosta przecinajaca obszar zacieniowany przynajmniej w jednym punkcie, która leży
powyżej wszystkich prostych przecinajacych ten obszar. Ustalmy dowolna wartość d,
np d = 24 i wykreślmy prosta pomocnicza M : 2x1 + 3x2 = 24. Z rysunku wynika,
że w obszarze zacieniowanym istnieja wiazki towarowe o wyższej wartości funkcji
celu (tzn. leżace powyżej prostej M). Stad wynika, że poszukiwanym rozwiazaniem
jest prosta K równolegla do M i przechodzaca przez punkt przeciecia prostych L2 i
L3. Rozwiazaniem sa wspólrzedne punktu przeciecia prostych B i C.
To prowadzi do ukladu równań:
B : 2x1 + 4x2 = 40
C : 3x1 + 2x2 = 24
Rozwiazanie: x1 = 2 x2 = 9 zmax = 31
Rozwiazaniem optymalnym jest x1 = 2 x2 = 9. Maksymalna wartość osiagana
przez funkcje celu przy zachowaniu warunków ograniczajacych jest równa zmax = 31.
1.9 Analiza nakladów i wyników
Model Leontiewa
Macierz wspólczynników kosztów (wspólczynników technicznych):
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
.
Wspólczynnik aij oznacza wartość towaru i niezbednego do wyprodukowania
towaru j o wartości 1 jednostki pienieżnej.
Przyjmijmy oznaczenia: d - wektor konsumpcji (produktu końcowego); Ax - wek-
tor nakladów w procesie produkcyjnym niezbedny do uzyskania wyników (produkcji
globalnej) określonych przez wektor x; Aby zaspokoić ustalony popyt d należy tak
dobrać wektor x aby bylo spelnione równanie:
x = Ax + d.
Lewa strona wyraża calkowita podaż, a prawa - calkowity popyt. Na popyt sklada
sie nie tylko wektor pożadanej konsumpcji d, lecz także wielkość Ax potrzebna jako
naklady w procesie produkcyjnym.
20
Aby obliczyć wektor wyników x przy zalożonym poziomie konsumpcji d należy
rozwiazać równanie macierzowe
(I - A)x = d.
Macierz I - A nazywamy macierza Leontiewa. Jeśli macierz Leontiewa jest odwra-
calna to równanie ma rozwiazanie postaci
x = (I - A)-1d.
Twierdzenie: Jeśli suma wyrazów w każdej kolumnie jest mniejsza niż jeden, to
macierz Leontiewa ma macierz odwrotna.
Przyklad:
Pewnien fikcyjny system gospodarczy sklada sie z trzech galezi (np.: energetyki, hut-
nictwa, i budownictwa). Poniższa tablica jest tablica przeplywów miedzygaleziowych
w tym systemie.
Numer Przeplyw xij Produkt Produkcja
galezi z galezi i do galezi j końcowy globalna
j
1 2 3 di xi
i
1 24 9 20 67 120
2 48 27 10 5 90
3 12 18 30 40 100
Z pierwszego wiersza tej tabeli wynika, że na produkcje globalna pierwszej galezi
równa 120 sklada sie produkt końcowy (konsumpcja) o wartości 76 oraz produkty
zużyte do produkcji w pierwszej, drugiej i trzeciej galezi o wartościach równych od-
powiednio 24, 9, 20. Podobne informacje zawiera wiersz drugi i trzeci. Wspólczynnik
aij = xij/xj oznacza wartość towaru i niezbednego do wyprodukowania towaru j o
wartości 1 jednostki pienieżnej.
Przedstawmy produkcje globalna i produkt końcowy w postaci wektorów i ob-
liczmy macierz kosztów:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
24 9 20
120 67 0, 2 0, 1 0, 2
120 90 100
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
48 27 10
ïÅ‚ śł
x = 90 d = 5 A = = 0, 4 0, 3 0, 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
120 90 100
12 18 30
100 40 0, 1 0, 2 0, 3
120 90 100
oraz macierz Leontiewa i jej macierz odwrotna
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0, 8 -0, 1 -0, 2 1, 48 0, 35 0, 47
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
I - A = -0, 4 0, 7 -0, 1 ûÅ‚ (I - A)-1 = 0, 91 1, 70 0, 50
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-0, 1 -0, 2 0, 7 0, 47 0, 54 1, 64
21
Latwo sprawdzić, że zachodza nastepujace równości:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
120 0, 2 0, 1 0, 2 120 67
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
90 = 0, 4 0, 3 0, 1 · 90 + 5
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
100 0, 1 0, 2 0, 3 100 40
oraz
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚-1 îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
67 0, 8 -0, 1 -0, 2 120 1, 48 0, 35 0, 47 120
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
5 = ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -0, 4 0, 7 -0, 1 · 90 = 0, 91 1, 70 0, 50 · 90
40 -0, 1 -0, 2 0, 7 100 0, 47 0, 54 1, 64 100
22