Slide 6.1. ARYTMETYKA DWOJKOWA DZIALANIA ARYTMETYCZNE NA LICZBACH DWOJKOWYCH BEZ ZNAKU Dodawanie
Układ cyfrowy dodający arytmetycznie liczby dwójkowe nazywa się sumatorem.
Aby dodać dwie liczby dwójkowe P i Q dokonuje się sumowania par bitów na poszczególnych pozycjach, rozpoczynając od najmniej znaczącego bitu. Przy sumowaniu bitów na każdej (i-tej) pozycji należy uwzględnić bit przeniesienia (ci) z niższej pozycji. Jeśli przyjąć oznaczenia dodawanych liczb całkowitych P i Q i sumy F to dodawanie bitów na poszczególnych pozycjach przebiega zgodnie z regułami podanymi w tablice.

Liczby dwójkowe mogą być dodawane tylko parami. Nie można dodawać "słupków" utworzonych z liczb dwójkowych. Dodawanie większej liczby argumentów dwójkowych wykonuje się przez sekwencyjne dodawanie poszczególnych argumentów. W celu dodania liczb A, B, C i D dodaje się najpierw A + B = W1, a następnie W1 + C = W2 i W2 + D = W. Taki proces sumowania kolejnych argumentów określa się jako sumowanie akumulacyjne.

Slide 6.2. Reguły jednopozycyjnego dodawania i odejmowania liczb dwójkowych (linia przerywana obejmuje sumowanie modulo 2)


Slide 6.3. Odejmowanie
Układ cyfrowy, odejmujący arytmetycznie liczby dwójkowe nazywa się subtraktorem.
Operacje odejmowania liczb dwójkowych zastępuje się operacją dodawania uzupełnionego odjemnika, aby wykorzystać do tego celu sumatory. Najpierw przedstawia się odjemnik w jednym z kodów uzupełnieniowych (zazwyczaj U2) i następnie wykonuje się sumowanie z odjemną.

W celu uzyskania poprawnego wyniku, należy jedynkę z pozycji przeniesienia przenieść na pozycję najniższą (jest to tzw. przeniesienie zwrotne lub cykliczne) i dodać
Wykorzystując uzupełnienie do podstawy danego systemu liczbowego eliminuje się przeniesienie zwrotne i dlatego operacja odejmowania staje się prostsza.
Przykład wykorzystania uzupełnienia do 2 dla liczb dwójkowych
54 - 30 = 24 ; U10(30) = 70 i U2(30) = 100010
Slide 6. 4. Mnożenie
Metoda mnożenia liczb dwójkowych jest podobna do mnożenia liczb dziesiętnych i polega na określeniu, a następnie dodaniu iloczynów częściowych.
Przy mnożeniu liczb dwójkowych P i Q iloczyny częściowe są równe mnożnej P, jeśli odpowiednim czynnikiem z mnożnika jest bit 1, lub równe zeru, jeśli tym czynnikiem jest bit 0. Operacja mnożenia polega zatem na realizacji ciągu przesunięć mnożnej w lewo i akumulujących dodawań.
W ogólnym przypadku przy mnożeniu a-bitowej liczby P przez b-biłową liczbę Q otrzymuje się iloczyn F o liczbie bitów równej a + b. Oznacza to, że jeśli obydwie mnożone liczby mają tę samą długość słowa, to wynik wymaga podwójnej długości słowa.
Przykład mnożenia liczb całkowitych: L(P) = 21 (10101) i L(Q) = 19 (10011), których iloczyn wynosi L(P x Q) = 399 (11001111) :
Slide 6. 5. Dzielenie


Slide 6. 6. Zaokrąglanie
W rezultacie mnożenia dwóch n-bitowych liczb bez znaku otrzymuje się liczbę 2n-bitową. Przy pewnych działaniach wynik może mieć dowolnie dużo bitów, zależnie od wymaganej dokładności. Jeśli jednak wynik ma być przedstawiony w postaci liczby o mniejszej liczbie bitów, to najprostszą operacją jest obcięcie "zbytecznych" mniej znaczących bitów. Przy wielokrotnym powtarzaniu obcięcia liczb podczas liczenia należy się jednak liczyć ze wzrostem błędu ostatecznego wyniku.
Korzystniejsze jest zaokrąglanie, polegające na takim określeniu m-bitowej liczby, aby możliwie zapobiec narastaniu lub akumulowaniu się błędów zaokrąglenia podczas liczenia.
Najbardziej znana metoda zaokrąglania polega na dodaniu 1 na najwyższej pozycji w odciętej części zaokrąglonej liczby i dodanie wynikłego stąd przeniesienia (0 lub 1) do skróconej liczby. Na przykład:

Slide 6.7. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA LICZBACH ZMIENNOPRZECINKOWYCH
Dodawania i odejmowania liczb zmiennoprzecinkowych polega na:
wyrównaniu wykładników,
dodawaniu lub odejmowaniu na mantysach jak na stałoprzecinkowych liczbach ze znakiem.
W celu wyrównania wykładników mniejszy z nich odejmuje się od większego i mantysę związaną z tym mniejszym przesuwa się w prawo o liczbę pozycji równą otrzymanej różnicy. Na przykład, w celu dodania liczb M�W równych P = 0.10110010�0.1000 i Q = 0.11001011�0.0101 odejmujemy wykładniki 0.1000 - 0.0101, czyli dodajemy drugi z nich w kodzie ZU2: 0.1000 +1.1011 = 0.0011, po czym przesuwamy w prawo mantysę liczby Q o trzy pozycje i wykonujemy dodawanie mantys: 0.10110010 + 0.00011001011 = 0.11001011011.
Otrzymana suma stanowi mantysę wyniku, a jego wykładnik jest równy 0.1000.
Jeśli w wyniku operacji dodawania w mantysie sumy pojawi się przeniesienie na pozycję znaku, to należy go skorygować przez przesunięcie tej mantysy w prawo o jedną pozycję i zwiększenie wykładnika sumy o 1.
Jeśli w wyniku operacji odejmowania w mantysie różnicy pojawi się zero na najbardziej znaczącej pozycji tej mantysy, to należy znormalizować mantysę przez jej przesuwanie w lewo i zmniejszanie wykładnika tak długo, aż na tej pozycji pojawi się bit 1. Nie dotyczy to mantysy zawierającej same zera. Procedurę normalizacyjną wykonuje się po każdej operacji arytmetycznej.
Do wykonania działań mnożenia i dzielenia wyrównywanie mantys nie jest potrzebne. Przy mnożeniu mantysy są mnożone jak liczby ze znakiem, a wykładniki dodawane. Dzielenie wykonuje się podobnie przez dzielenie mantys jak liczb ze znakiem i odejmowanie wykładników.


Slide 6.8. Niedomiar i Nadmiar
Niedomiar przy działaniach na liczbach zmiennopozycyjnych występuje wtedy, gdy w trakcie obliczeń pojawi się liczba o wykładniku mniejszym od Lmin(W). Może on być interpretowany jako zero, albo zainicjować wykonanie denormalizacji mantysy. W ostatnim przypadku kosztem zmniejszenia dokładności otrzymuje się jednak wynik niezerowy.

Nadmiar ma miejsce wtedy, gdy w trakcie obliczeń pojawi się liczba o wykładniku większym od Lmax(W) = 2w-1 - 1. Może to spowodować błąd w obliczeniach i dlatego w praktyce pojawienie się nadmiaru wymaga sygnalizacji lub uruchomienia procedur korekcyjnych.
Slide 6.9. Literatura do rozdziału