ARKUSZ 1. Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych.
Działania na zbiorach
1. Uprościć:

" "
3
3
a) x y : x-2 y,
îÅ‚ëÅ‚
öÅ‚-2Å‚Å‚0,25
"
2
3

81b-
ïÅ‚íÅ‚ 3 śł
3 1
Å‚Å‚
b) a-1b-2 : ðÅ‚ ûÅ‚ ,
9
a-2
1
1

1 1
2 3
1 3 1 1 3 3
3
3 2
c) x- 2 4 4 2
a- x3 a x- : x-1 a-1x- 2
a-1x- 4
,
2. Obliczyć:

" "
x x x
1
" "
a) x(1 - x) + : + , x " (0, 1),
1-x 1+ x 1-x

"
"
4
x - 2 x + 1
x + 1
b) " " : " + 1, x " (1, +").
4 4
x - 2 x + 1 x - 1

" " "
3. Która z następujących liczb jest wymierna: 6, 3 + 2 2 - 2,

" "

" "
11 + 6 2 11 - 6 2
" "
3 - 2 2 - 2, , .
3 + 2 3 - 2
4. Wykazać, że:

" "
3 3
a) 5 + 2 - 5 - 2 = 1,

" "
"
a + a2 - b2 a - a2 - b2
b) + = a + b,
2 2

" "
"
a + a2 - b2 a - a2 - b2
c) - = a - b, a > b,
2 2
2

" "
d) a + b + 2 ab + a + b - 2 ab = 4a, a b 0,
a6 b6
e) "a,b =0 + a4 + b4.
b2 a2
5. Rozłożyć na czynniki następujące wyrażenia
a) x4 - y4, b) x2 - 2xy + y2 - 16,
c) x4 + x2 + 1, d) x8 + x4 + 1,
e) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3, f) (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3.
1
7
6. a) Zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny.
9
b) Zamienić ułamek dziesiętny 0, 3(15) na ułamek zwykły.
7. Pokazać, że między każdymi dwoma liczbami wymiernymi różnymi le-
ży liczba wymierna, niewymierna, między niewymiernymi wymierna i
niewymierna.
8. Pokazać, że suma (iloczyn) dwóch liczb wymiernych jest wymierna,
suma (iloczyn) dwóch niewymiernych nie musi być niewymierna.
9. Wyznaczyć zbiory A *" B, A \ B, A )" B oraz (B \ A) )" C, jeżeli A =
(-", -2 , B = (-3, 6 , C = -1, 1).


10. Niech A = -3, 0)*"(5, 7), B = -4, -2 *"(3, 6). Znalez
ć zbiór (A )" B) *" A )"

(B \ A) .
11. Znalez
ć zbiory A *" B, A )" B, jeżeli A = {2n : n " N} oraz B =
{3n : n " N} .
12. Podać interpretację geometryczną zbiorów: A = {(x, y) " R2 : x2 + y2 1} ,
B = {(x, y) " R2 : x2 - 2x + y2 3} . Wyznaczyć zbiory A )" B oraz
A \ B.
2