ARKUSZ 2. Indukcja matematyczna.
Działania na potęgach
1. Udowodnić, że:
n(n + 1)
a) "n"N 1 + 2 + . . . + n = ,
+
2
1 1 1 n
b) "n"N + + . . . + = .
+
1 · 2 2 · 3 n(n + 1) n + 1
2. Udowodnić, że:
a) "a,b"R "n"N (ab)n = an · bn,
b) "0+
n(n + 1)(2n + 1)
3. Pokazać, że "n"N 12 + 22 + . . . + n2 = .
+
6
4. Wykazać, że dla dowolnego n " N+ liczba postaci:
a) 34n+2 + 1 jest podzielna przez 10,
b) n3 - n jest podzielna przez 6,
c) 10n - 4 jest podzielna przez 6,
d) n3 + 2n jest podzielna przez 3,
e) n(2n2 - 3n + 1) jest wielokrotnością 6.
5. Udowodnić wzory na wyrazy ogólne danego ciągu arytmetycznego i
geometrycznego oraz na sumy wyrazów tych ciągów.
6. Pokazać, że dla dowolnego n " N takiego, że n 5 zachodzi nierówność
2n > n2.
7. Niech a " R takie, że a > -1. Wykazać, że dla dowolnego n " N
spałniona jest nierówność
(1 + a)n 1 + na,
zwana nierównością Bernoulliego.
8. Wykazać, że:
1 1 1 1
"n"N + + + . . . + < 2.
+
12 22 32 n2
3
9. Udowodnić, że:
"
1 1 1
" " "
"n"N 1 + + + . . . + > n.
n 2 n
2 3
10. Wykazać, że:
1 1 1
"n"N + + . . . + > 1.
+
n + 1 n + 2 3n + 1
4