Rozwiązywanie układów równań metodą Operacji elementarnych.
Dwa układy równań liniowych uważamy za równoważne wtedy i tylko wtedy jeżeli dowolne rozwiązanie jednego z nich
jest również rozwiązaniem drugiego układu. Operację elementarną na układzie równań nazywać będziemy, każde
przekształcenie układu równań w układ równoważny.
Rozróżniamy następujące operacje elementarne :
1. mnożenie dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera,
2. Dodawanie do dowolnego równania układu liniowej kombinacji innych równań układu,
3. Przestawienie dwóch dowolnych równań układu,
4. Pominięcie dowolnego tożsamościowego równania układu.
Dokonując operacji elementarnej na układzie AX=B możemy go przekształcić w układ równoważny CX=D, gdzie macierz
C jest macierzÄ… bazowÄ….
Układ CX=D nazywamy postacią bazową układu AX=B.
Postać bazowa CX=D jest jednoznacznie wyznaczoną przez macierz blokową E=[ CćłD ], którą otrzymujemy dokonując
operacji elementarnych na wierszach macierzy uzupełnionej (U) U=[ AćłB]. Z postaci bazowej układu można natychmiast
odczytać rozwiązanie układu lub stwierdzić, że układ jest sprzeczny.
Jeżeli układ równań jest nieoznaczony (tzn. m < n) to wśród rozwiązań wyróżniamy tzw. Rozwiązanie bazowe.
Rozwiązaniem bazowym układu równań liniowych nazywamy takie rozwiązanie, w którym wszystkie zmienne niebazowe
są równe zeru.
x + y + z = 0
2x  y  z = - 3
4x  5y  3z = - 7
1 1 1 0
2 -1 -1 - 3
4 - 5 - 3 - 7
działamy na wierszach, musimy dojść do macierzy bazowej.
w1(-2) + w2
w1 (-4) + w3
1 1 1 0 1 1 1 0
0 - 3 - 3 - 3 w2 (-) 0 1 1 1
0 - 9 - 7 - 7 0 - 9 - 7 - 7
w2(-1) + w1
w2(9) + w3
1 0 0 -1 1 0 0 -1
1
0 1 1 1 w3 ( ) 0 1 1 1
2
0 0 2 2 0 0 1 1
w3(-1) + w2
1 0 0 -1
0 1 0 0 x = -1, y = 0, z = 1
0 0 1 1
Istnieje jedno rozwiązanie więc jest to układ oznaczony.
 x + y + z + u = 0
-x + 2y  2z + 3u = 0
2x + 3y + 3z + u = 0
3y  z + 4u = 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
-1 2 - 2 3 0 0 3 -1 4 0
w1 + w2; w1(-2) + w3 Układ sprzeczny ponieważ,
2 3 3 1 0 0 1 1 -1 0
0 3 -1 4 1 0 3 -1 4 1
wyniki dwóch takich samych równań nie mogą mieć różnych wyników.
2x+3y+4z+ u=1
x+ y+ z+ u=0
-x+ 2z+3u=1
x+ 3y+6z+4u=2
2 3 4 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 2 3 4 1 1
zamieniamy miejscami w1 i w2
-1 0 2 3 1 -1 0 2 3 1
1 3 6 4 2 1 3 6 4 2
w1(-2) + w2
w1(1) + w3
w1(-1) + w4
1 1 1 1 0
0 1 2 -1 1
0 1 3 4 1
0 2 5 3 2
w2(-1) + w1
w2(-1) + w3
w2(-2) + w4
1 0 -1 2 -1
0 1 2 -1 1
w3 i w4 są równoważne, więc jeden z nich możemy usunąć (nie zmieni to układu)
0 0 1 5 0
0 0 1 5 0
1 0 -1 2 -1
0 1 2 -1 1
0 0 1 5 0
w3(-2) + w2
w3 (1) + w1
1 0 0 7 -1
0 1 0 -11 1
0 0 1 5 0
niebazowe
Zmienne, które wchodzą w skład macierzy jednostkowej nazywamy zmiennymi bazowymi.
x + 7u = -1 x = -1  7u
y  11u = 1 y = 1 + 11u
z + 5u = 0 z = -5u
x=-1-7a
y=1+11a Rozwiązanie o g ó l n e
z=-5a
u=a " R
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań więc jest układem nieoznaczonym.
Jeżeli za (a) podstawimy jakieś wartości to otrzymamy rozwiązanie szczegółowe.
Jeżeli za (a) podstawimy (0) zero, wtedy :
I. x=-1, y=1, z=0 i oczywiście u=0 (-1, 1, 0, 0)
takie rozwiązanie nazywany rozwiązaniem bazowym (czyli przyrównujemy do zera)
Z układu możemy wyznaczyć więcej rozwiązań bazowych.
1
II. Przyjmujemy, że x=0 czyli a= - więc :
7
4 5 1 4 5 1
y = - , z = , u = - ( 0, - , , - )
7 7 7 7 7 7
1
III. Przyjmujemy, że y=0 czyli a= - więc :
11
4 5 1 4 5 1
x = - , z = , u = - ( - , 0, , - )
11 11 11 11 11 11
IV. Przyjmujemy, że z=0 czyli a=0 więc rozwiązanie jest takie samo jak w pierwszym (I) przypadku.
To znaczy, że mamy trzy różne rozwiązania bazowe.
x y z u v
1 0 0 w1 w2 b1
0 1 0 w3 w4 b2
0 0 1 w5 w6 b3
Trzy zmienne bazowe i dwie zmienne niebazowe.
Przy wyznaczaniu wszystkich bazowych
x=b1-w1-w2
y=b2-w3-w4
z=b3-w5-w6
u=a " R możemy podstawić (0) zera za (a) i (b) nie pytać się mnie co to znaczy
v=b " R
Szczególny przypadek niejednorodnych układów równań  Układ Kramera.
Układ jest układem Kramera wtedy i tylko wtedy gdy :
1. m = n liczba równań jest taka sama jak liczba niewiadomych,
2. b12 +... bn2 > 0 poszczególne muszą być różne od zera,
3. R (A) = n macierz (A) jest nieosobliwa (wyznacznik różny od zera)
Układ Kramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, które można wyrazić wzorem :
w
k
xk = , dla k = 1, ... , n
w
gdzie (w) jest wyznacznikiem macierzy (A), (wk) jest wyznacznikiem utworzonym z (w) przez zastÄ…pienie k-tej kolumny,
kolumną wyrazów b1 ... bn
Przykład :
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 - x2 - x3 = -3
x1 - x2 + x3 = 0
1 1 1 1 1 0
1 1
R 2 -1 -1 k2(-1) + k3 R 2 -1 0 = 1 + R w1 + w2
2 -1
1 -1 1 1 -1 2
1 1
= 1 + R = 2 + R [3] = 2 + 1 = 3
3 0
1 1 1
2 -1 -1
W 1 -1 1 -1  2  1 + 1  1  2 = -6
1 1 1
2 -1 -1
w
x
x=x1, y=x2, z=x3, ... x =
w
0 1 1
- 3 -1 -1
6
w
x
Wx = 0 -1 1 =3+3 = 6 x1 = x = = = -1
w - 6
0 1 1
- 3 -1 -1
1 0 1
2 - 3 -1
0
w
y
Wy = 1 0 1 = -3 + 3 = 0 x2 = y = = = 0
w - 6
1 0 1
2 - 3 -1
0 1 1
- 3 -1 -1
6
w
x
Wz = 0 -1 1 = -3  3 = -6 x1 = x = = = 1
w 6
0 1 1
- 3 -1 -1
Układ Kramera można rozwiązać przekształcając odpowiednio równanie macierzowe AX=B, mnożymy w tym celu
równanie macierzowe lewostronnie przez macierz odwrotną :
AX = B/A-1 Ò! A-1Å"AÅ"X = A-1 Å"B Ò! IÅ"X = A-1Å"B Ò! X = A-1Å"B
Aby otrzymać rozwiązanie układu równań wystarczy znalez
ć macierz odwrotną do macierzy (A) i pomnożyć ją
prawostronnie przez macierz (B)
1 1 1 1 0 0 0
A = 2 -1 -1 0 1 0 w1(-2)+w2, w1(-1)+w3 B = - 3
1 -1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0
A = 0 - 3 - 3 - 2 1 0 w3(-1), w3(-1)+w2
0 - 2 0 -1 0 1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
A = 2 -1 - 3 -1 1 -1 w2(-1) A = 0 1 3 1 -1 1 w2(-1)+w1, w2(-2)+w3
0 2 0 1 0 1 0 2 0 0 0 1
1 0 - 2 0 1 -1 1 0 - 2 0 1 -1
1
A = 0 1 3 1 -1 1 w3(- ) A = 0 1 3 1 -1 1 w3(2)+w1, w3(-3)+w2
6
1 1 1
0 0 - 6 -1 2 - 3 0 0 1 -
6 3 2
1 1
1 0 0 0
3 3
1 1
A = 0 1 0 0 -
2 2
1 1 1
0 0 1 -
6 3 2
x1 1 1 0 0 -1
3 3
1 1
X = x2 = 0 - - 3 = 0
2 2
1 1
x3 1 - 0 1
6 3 2
1 1
x1 = Å" 0 + Å" (-3) + 0 Å" 0 = -1
3 3
1 1
x2 = Å" 0 + 0 Å" (-3) + ( - ) Å" 0 = 0
2 2
1 1 1
x3 = Å" 0 + ( - ) Å" (-3) + Å" 0 = 1
6 3 2
Ogólny przypadek niejednorodnych układów równań.
Układ równań możemy rozwiązać jeżeli nie jest sprzeczny.
Twierdzenie Kroneckera  Capelliego
Na to by układ nie był sprzeczny potrzeba i wystarcza, że rząd macierzy (A) jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej
(czyli takiej z dodanymi wynikami równania).
R(A) = R(U)
a11 ... a1n a11 ... a1n bn
A = U =
am1 ... amn am1 ... amn bm
Układ jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy R(A) jest różny od R(U), jeżeli układ nie jest sprzeczny to dokonując
pewnych przekształceń sprowadzamy go do postaci układu Kramera.
Z określenia układów jednorodnych wynika, że warunek R(A) = R(U) jest zawsze spełniony przez macierze (A) i (U). A
więc układ jednorodny nigdy nie jest sprzeczny.
x + y + z = 3
-2x + 2y + 3z = 3
-x + 3y + 4z = 6
1. Sprawdzamy rzÄ…d macierzy :
1 1 1 1 1 1
R = - 2 2 3 w1(2)+w2, w1(1)+w3 R = 0 4 5 = 1 + R[ 4 5 ] = 2
-1 3 4 0 4 5
Skreślamy jedno, ponieważ są dwa
2. Sprawdzamy rząd macierzy uzupełnionej :
takie same (tożsamościowe)
1 1 1 3 1 1 1 3
R = - 2 2 3 3 w1(2)+w2, w1(1)+w3 R = 0 4 5 9 = 1 + R[ 4 5 9 ] = 2
-1 3 4 6 0 4 5 9
Jeżeli rząd jest równy 2 to znaczy, że są dwa równania liniowo niezależne.
 x + y = 3  z
-2x + 2y = 3  3z z = a więc x + y = 3  a
-2x + 2y = 3  3a
1 1
W = 2  (-2) = 4
- 2 2
wx
Wćł4ćł x =
w
3 - a 1
Wx = = 6  2a  3 + 3a = 3 + a
3 - 3a 2
3 + a 3 1
x = = - a
4 4 4
1 3 - a
Wy = = 3  3a + 6  2a = 9  5a
- 2 3 - 3a
wy 9 - 5a 9 5
y = = = - a
w 4 4 4
z = a " R
x+y+z+u=1
2x+3y z 2u=1
3x y+2z 3u=0
x 4y+3z u=0
w1+w2
w2(-3)+w1
w1(-2)+w3
1 1 1 1 1 1 1 1
w2(2)+w3
w1(-3)+w4
3 4 -1
2 3 -1 - 2 3 4 0 -1
R(A) = = = 1+ R 1 - 3 - 5 =
3 -1 2 - 3 1 - 3 0 - 5
- 2 - 7 - 4
1 - 4 3 -1 - 2 - 7 0 - 4
0 13 14
1 + R 1 - 3 - 5 = 2 + R [13 14] = 3
0 -13 -14
Macierz UZUPEA
NIONA
w1(-1)+w2
w1(-3)+w2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
w1(-1)+w3
1 2 - 2 - 3
2 3 -1 - 2 1 1 2 - 2 - 3 0
R = =
= 1 + R 3 -1 2 - 3 =
3 -1 2 - 3 0 3 -1 2 - 3 0
1 - 4 3 -1
1 - 4 3 -1 0 1 - 4 3 -1 0
W2(-3)+w1
1 2 - 2 - 3
- 7 8 6 11 - 7 0
1 + R 0 - 7 8 6 = 2 + R = 2 + R = 3 + R[11  7] = 4
- 6 5 2 - 6 5 2
0 - 6 5 2
Wszystkie zera to znaczy, że układ jest
x + y + z + u=0
jednorodny, więc nie jest sprzeczny
3x+4y 2z + u=0
R(A) = R(U)
4x+5y z +2u=0
w1+w3
w1(2)+
1 1 1 1 1 1 1 1
2
R 3 4 - 2 1 = R 5 6 0 3 = 1 + R [5 6 3] = 2
4 5 -1 2 5 6 0 3
1 1
W = = 4  3 = 1
3 4
x + y =  z  u
3x+4y= 2z  u
x + y =  a  b gdzie : z = a " R
3x+4y = 2a  b u = b " R
- a - b 1
Wx = =  4a  4b  2a + b =  6a  3b
2a - b 4
Wx
x = =  6a  3b
W
1 - a - b
Wy = = 2a  b + 3a + 3b = 5a + 2b
3 2a - b
Wy
y = = 5a + 2b
W
x =  6a  3b
y = 5a + 2b każdy z każdym
z = a
u = b " R
UKA
AD NIERÓWNOŚCI LINIOWEJ
Ogólna postać nierówności liniowej jest następująca :
I. a11x1 + ... + a1nxn " b1
am1x1 + ... + amnxn " bm
Gdzie zamiast symbolu " występuje jeden ze znaków <, d", >, e"
Układ powyższy można zapisać w postaci macierzowej
A X " B
x1 b1
a11 ... a1n
A = X = M B = M
am1 ... amn
xn bm
Rozwiązaniem układu nierówności nazywamy dowolny układ n-liczb spełniający wszystkie nierówności układu.
Układ nierówności jest sprzeczny jeżeli nie ma rozwiązania.
Metoda rozwiązywania układu nierówności o dowolnej liczbie niewiadomych.
Układ m-nierówności liniowych o n-niewiadomych x1, x2, ... , xn postaci
II. a11x1 + ... + a1nxn d" b1
a21x1 + ... + a2nxn d" b2
...
am1x1 + ... + amnxn d" bm
Wez
my teraz pod uwagę układ m-równań o (n + m) niewiadomych x1, x2, ... , xn ; z1, z2, ... , zm
III. a11x1 + a12x2... + a1nxn + z1 = b1
a21x1 + a22x2... + a2nxn + z2 = b2
...
am1x1 + am2x2... + amnxn +zm = bm
o o o
Okazuje się, że każdemu rozwiązaniu x1 , x2 ... xn układu nierówności ( II. ) odpowiada określone rozwiązanie
o o o o o o
x1 , x2 ... xn ; z1 , z2 ... zm układu równań ( III. ) przy czym z1, z2, ... , zm e" 0
Układy ( II. ) i ( III. ) możemy zapisać w postaci macierzowej.
IV. A X d" B
z1
z2
x
V. [ Aćł I ] [ ] = B z = ; z e" 0
z
M
zm
Chcąc rozwiązać układ nierówności ( IV. ) rozwiązujemy odpowiadający mu układ równań ( V. )
Macierz uzupełnioną tego układu równań liniowych ma postać [ AćłIćłB ]. Dokonując przekształceń elementarnych na
wierszach tych macierzy sprowadzamy ją do jednej z następujących postaci.
VI. [ IćłRćłC1 ]
I R1 C1
VII.
'
0 R2 I C2
I R3 R1 C1
VIII.
'
0 R2 I C2
Z których otrzymujemy rozwiązania po skorzystaniu z poniższych twierdzeń :
1. Jeżeli macierz uzupełnioną układu równań (V.) sprowadzimy do postaci (VI.) to układ nierówności liniowych (IV.)
posiada rozwiÄ…zanie.
2. Jeżeli macierz uzupełnioną układu równań (V.) sprowadzimy do postaci (VI.) lub (VII.) to układ nierówności (IV.)
posiada rozwiÄ…zanie Ô! gdy ukÅ‚ad równaÅ„ o macierzy uzupeÅ‚nionej w postaci [ R2ćłI ćłC2 ] posiada przynajmniej
jedno nieujemne rozwiÄ…zanie bazowe.
x1 + x2 + x3 e" 0 /Å"(-1)
2x1  x2  x3 d"  3
x1  x2 + x3 e" 0 /Å"(-1)
 x1  x2  x3 d" 0 Ò!  x1  x2  x3 + z1 = 0
2x1  x2  x3 d"  3 Ò! 2x1  x2  x3 + z2 =  3
 x1 + x2  x3 d" 0 Ò!  x1 + x2  x3 + z3 = 0
-1 -1 -1 1 0 0 0 1 1 1 -1 0 0 0
w1(-1) w2+w3
w1(-2)+w2
2 -1 -1 0 1 0 - 3 0 - 3 - 3 2 1 0 - 3
w1+w3 =
-1 1 -1 0 0 1 0 0 2 0 -1 0 1 0
w2(-1) w2(-1)+w1
1 1 1 -1 0 0 0 1 1 1 -1 0 0 0
w2(-2)+w3
0 -1 - 3 1 1 1 - 3 = 0 1 3 -1 -1 -1 3
0 2 0 -1 0 1 0 1 2 0 -1 0 1 0
w3(2)+w1
1
w3(- )
6
1 0 - 2 0 1 1 - 3 1 0 - 2 0 1 1 - 3 w3(-3)+w2
0 1 3 -1 -1 -1 3 = 0 1 3 -1 -1 -1 3
1 1 1
0 0 - 6 1 2 3 0 0 0 1 - - - 1
6 3 2
1 1
1 0 0 - 0 -1
3 3
1 1
0 1 0 - 0 0
2 2
1 1 1
0 0 1 - - - 1
6 3 2
1 1
x1  z1 + z2 =  1
3 3
1 1
x2  z1 + + z3 = 0
2 2
1 1 1
x3  z1  z2  z3 = 1
6 3 2
1 1
x1 =  1 + z1  z2 z1 = a e" 0
3 3
1 1
x2 = z1  z3 z2 = b e" 0
2 2
1 1 1
x3 = 1 + z1 + z2 + z3 z3 = c e" 0
6 3 2
1 1
x1 =  1 + a  b
3 3
1 1
x2 = a  c
2 2
1 1 1
x3 = 1 + a + b + c
6 3 2
x1 + x2 + x3 e" 3 /Å"(-1)  x1  x2  x3 d" 3
Znaki nierówności muszą
mieć ten sam kierunek
x1 + 2x2 + 3x3 d" 8 x1 + 2x2 + 3x3 d" 8
x2 + 2x3 d" 5 x2 + 2x3 d" 5
 x1  x2  x3 + z1 d" 3
x1 + 2x2 + 3x3 + z2 d" 8
x2 + 2x3 + z3 d" 5
w1(-1) w1(-1)+w2
-1 -1 -1 1 0 0 - 3 1 1 1 -1 0 0 3
1 2 3 0 1 0 8 = 1 2 3 0 1 0 8
0 1 2 0 0 1 5 0 1 2 0 0 1 5
w2(-1)+w1
1 1 1 -1 0 0 3 1 0 -1 - 2 -1 0 - 2
w2(-1)+w3
0 1 2 1 1 0 8 = 0 1 2 1 1 0 5
Szukamy nieujemnych
0 1 2 0 0 1 5 0 0 0 -1 -1 1 0
rozwiązań tej macierzy
Jeżeli tej macierzy byśmy nie znalez
li to powiemy, że ten układ
nierówności jest sprzeczny
 z1  z2 + z3 = 0
z3 = z1 + z2
z3 = 0 ( 0, 0, 0 )
x1  x3  2z1  z2 = -2
x2 + 2x3 +z1 + z2 = 5
x1 = -2 + x3 +2z1 +z2
x2 = 5  2x3  z1  z2
x1 =  2 + a Układ nierówności może być :
- sprzeczny (nie ma rozwiÄ…zania)
x2 = 5  2a  b1  b2
- oznaczony (ma jedno rozwiÄ…zanie)
z1 = b1
- nieoznaczony (ma wiele rozwiązań)
z2 = b2 e" 0
z3 = b3
CI
GI LICZBOWE I ICH GRANICE
Ciągiem nieskończonym lub po prostu ciągiem nazywamy odwzorowanie zbioru liczb naturalnych (y), jeżeli zbiór (y)
będzie zbiorem liczb rzeczywistych lub jego podzbiorem to będziemy mówić o ciągu liczbowym
a : N(y) y = R, y ‚" R
rzeczy
liczby Funkcja czyli odwzorowanie, przyporzÄ…dkowanie
pewnym liczbom pewne argumenty f : x(y)
an  oznacza n-ty wyraz ciągu lub nazywa się go wyrazem ogólnym ciągu.
Pierwszy sposób określania ciągu
(an), {an} a1, a2, a3, a4, ... an
Drugi sposób określenia ciągu  Podanie wzoru
an = 2n + 1, n = 1, 2, 3, ...
Trzeci sposób określania ciągu  wypisujemy kilka początkowych argumentów, a następne wyrazy określamy za pomocą
wyrazów poprzedzających  sposób indukcyjny
a1 = 1, an+1 = an +1, n = 1, 2, ...
Własności ciągu :
Jeżeli dla każdego (n) wyraz (an+1 > a1) to taki ciąg nazywamy rosnącym.
'" an+1 > an - rosnÄ…cy
n"N
'" an+1 < an - malejÄ…cy
n"N
'" an+1 e" an - nie malejÄ…cy
n"N
'" an+1 d" an - nie rosnÄ…cy
n"N
(" '" an d" A - ciąg ograniczony z góry
A n"N
(" '" an e" A - ciąg ograniczony z dołu
A n"N
Badamy monotoniczność ciągu :
1
an = 1  '" an+1 > a1
n
n"N
an+1  a1 > 0
1
an+1 = 1 
n+1
an+1  a1