Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
POWSTAWANIE PR
DU SINUSOIDALNEGO
Prądem (bądz
napięciem) zmiennym nazywa się taką
jego postać, w której wartość liczbowa ulega zmianie w
czasie przy niezmiennym zwrocie, lub zmianie ulega zwrot
przy niezmiennej wartości liczbowej, bądz
zmianie ulega
zarówno zwrot, jak i wartość liczbowa. Najszerzej stosuje
się obecnie przebiegi sinusoidalnie zmienne w czasie.
Napięcie sinusoidalnie zmienne jest wytwarzane w
urządzeniach nazywanych prądnicami, której
uproszczonym modelem jest wykonana z kilku zwojów
przewodnika ramka prostokątna umieszczona w
równomiernym polu magnetycznym o indukcji B. Wiruje
ona ze stałą prędkością kątową w�, przy czym wymiary
uzwojenia wynoszą: długość l, szerokość d. Schematycznie
przedstawia ją rysunek:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Największy strumień magnetyczny przenika ramkę, gdy
znajduje się ona w położeniu poziomym, wtedy jego
wartość jest dana wzorem:
F�m=B l d
Siła elektromotoryczna indukowana w ramce zmienia
się według następującej zależności:
d(F�m cosa�)
e = -� zdF�(t) =� -� = Emsina�
dt dt
gdzie:
Em  wartość maksymalna (amplituda) siły
elektromotorycznej indukowanej (napięcia indukowanego).
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJ
CE PRZEBIEGI
SINUSOIDALNE
Zarówno prądy, jak i napięcia sinusoidalnie zmienne
charakteryzują się takimi samymi wielkościami
charakterystycznymi.
Jeśli ramka obraca się ze stałą prędkością kątową w�, a
więc w dowolnej chwili (t>0) odchylona jest od położenia
poziomego o kąt a�:
a� = w�t + y�
gdzie:
a� - faza przebiegu sinusoidalnego w chwili t;
y� - faza początkowa przebiegu, dla chwili t=0;
w� - pulsacja  prędkość kątowa ramki.
Powstający przy tych warunkach napięcie sinusoidalne
ma wartość daną przebiegiem:
u = Umsin(w�t + y�)
gdzie:
u  wartość napięcia w dowolnej chwili (napięcie
chwilowe);
Um- wartość maksymalna napięcia  amplituda.
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Prędkość kątowa obrotu ramki jest wyznaczana ze
wzoru:
2p�
w� =
T
rad
��
Jej jednostką jest 1 radian na sekundę ć�1 .
�� ��
s
Ł� ł�
Odwrotność okresu obiegu ramki oznaczana jest f i nosi
nazwę częstotliwości przebiegu sinusoidalnego. Zapisuje
się ją wzorem:
1
f =
T
Jednostką częstotliwości jest 1 herc (1Hz).
Wykorzystując pojęcie częstotliwości można dalej zapisać
wzór na pulsację:
w� =2p�f
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
WARTOŚĆ SKUTECZNA I ŚREDNIA PR
DU
SINUSOIDALNEGO
Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego to taka
wartość prądu stałego, która przepływając przez
niezmienną rezystancję R w czasie odpowiadającym
okresowi T spowoduje wydzielenie na tej rezystancji
takiej samej ilości energii cieplnej, co prąd sinusoidalny
w tym samym czasie.
Dla małego przedziału czasu wynoszącego D�t, dla
którego przyjmujemy, że prąd nie ulega zmianie energia
wydzielona na rezystancji R:
D�W = Ri2D�t
Całkowita energia wydzielona podczas okresu T będzie
sumą energii obliczonej dla wszystkich przedziałów czasu.
Fragment przebiegu ilustrujący tą zależność przedstawiono
poniżej:
Całkowita wydzielona energia jest proporcjonalna do
pola powierzchni ograniczonej krzywą kwadratu prądu.
Pole to jest równe polu prostokąta o podstawie T i
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
2 2
wysokości 0,5Im =� I . Prąd stały o wartości I wydzieliłby w
tym czasie na rezystancji energię:
W = RI2T
Wartość skuteczna prądu I wyznaczana jest z
zależności:
1
2 2
I =� Im
2
Im
I = = 0,707 Im
2
Analogicznie określana jest wartość skuteczna napięcia:
U = Um = 0,707 Um.
2
Obok wartości skutecznej prądu i napięcia
sinusoidalnego określa się czasami wartość średnią
półokresową.
Wartością średnią półokresową prądu
sinusoidalnego o okresie T nazywa się średnią
arytmetyczną tego prądu obliczoną za połowę tego
okresu, w którym przebieg jest dodatni.
W przypadku wartości średniej prądu zmiennego,
pojęcie definiujące tą wielkość oparte jest na
równoważności ładunku. Wartość średnia półokresowa jest
to taka wartość prądu stałego, przy przepływie której przez
przekrój poprzeczny przewodnika w czasie T/2 przepłynie
taki ładunek, jaki by przepłynął przy przepływie prądu
zmiennego w tym samym czasie. Dla zilustrowania
definicji wartości średniej półokresowej posłużymy się
poniższym rysunkiem.
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Również i w tym przypadku dokonamy podziału
rozpatrywanego czasu (pół okresu) na odcinki elementarne
o długości D�t, przy czym okresy te są tak krótkie, że w
ciągu ich trwania prąd nie ulega zmianie. A
adunek w tym
czasie wyniesie D�Q = iD�t, przedstawiony jest on na
wykresie jako zakreskowany obszar. W kolejnych okresach
czasu ładunek będzie miał inną wartość, natomiast jego
wartość całkowita będzie równa polu ograniczonemu
połową sinusoidy. Wartości tej jest równoważny prostokąt
o podstawie równej połowie okresu i wysokości Iśr, którą
obliczymy następująco:
2
Iśr = Im=0,637 Im
p�
W analogiczny sposób określa się wartość średnią
półokresową napięcia sinusoidalnego:
2
Uśr = Um=0,637 Um
p�
Współczynnik kształtu.
I Im p� p�
kk = = �� = =1,11
Iśr 2 2Im 2 2
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
PRZESUNI
CIE FAZOWE PRZEBIEGÓW
SINUSOIDALNYCH
Podczas analizy obwodów elektrycznych prądu
zmiennego niejednokrotnie występuje sytuacja, gdy w tym
samym rozważanym układzie występują dwie wartości np.
napięcia posiadające tą samą częstotliwość (przebiegi
synchroniczne), lecz różniące się fazą początkową. Ta
różnica faz nosi nazwę przesunięcia fazowego, dwa
przebiegi w postaci czasowej w przypadku których
występuje przesunięcie fazowe przedstawione są na
rysunku:
Na rysunku przedstawione są dwa przebiegi napięcia
sinusoidalnie zmiennego o fazach początkowych y�1 i y�2,
dla których przesunięcie fazowe wynosi y�1 - y�2.
Przesunięcie to można zinterpretować w dwojaki
sposób: napięcie u1 wyprzedza w fazie napięcie u2, lub
napięcie u2 jest opóz
nione w fazie względem napięcia u1.
Najczęściej spotykanym przypadkiem jest wyznaczanie
przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i napięciem dla
danego układu (elementu). Oznaczane jest ono symbolem
j�:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Występujące na tym rysunku wielkości to dwa
przebiegi: prądu i napięcia dane równaniami w postaci
czasowej:
u = Umsinw�t
i = Imsin(w�t+j�)
Jak widać na rysunku prąd wyprzedza napięcie o kąt j�.
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
PRZEDSTAWIANIE PRZEBIEGÓW
SINUSOIDALNYCH ZA POMOC

OBRACAJ
CYCH SI
WEKTORÓW
Podczas analizy obwodów prądu przemiennego często
konieczne jest wykonywanie działań typu dodawanie,
odejmowanie, mnożenie i dzielenie wielkości
sinusoidalnych o różnych fazach początkowych i
amplitudzie, lecz jednakowej częstotliwości. Dodawanie
przebiegów w postaci czasowej jest bardzo kłopotliwe,
znacznie się jednak upraszcza przy przedstawieniu
przebiegów jako wektorów. Związek pomiędzy wektorem a
przebiegiem sinusoidalnym wywodzi się z geometrii i
sposobu wykreślania sinusoidy. Jako przykład można
rozpatrzyć następujący przebieg napięcia:
U = Umsin(w�t+y�)
Wykres czasowy:
Rzuty wektora o module równym amplitudzie przebiegu
sinusoidalnego , obracającego się z prędkością kątową w�,
równą pulsacji przebiegu, na oś rzędnych odpowiadają
wartościom chwilowym przebiegu (napięcia).
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DODAWANIE PRZEBIEGÓW SINUSOIDALNYCH.
Dodawanie przebiegów sinusoidalnych o tej samej
częstotliwości sprowadza się do znalezienia amplitudy dla
sumy przebiegów oraz wyznaczenia fazy początkowej
uzyskanego jako sumy przebiegu.
W przypadku dwóch przebiegów napięcia danych
następującymi równaniami:
u1 = Um1sin(w�t+y�1)
u2 = Um2sin(w�t+y�2)
wypadkowa amplituda wyniesie:
2 2
Um= Um1 +�Um2 +� 2Um1Um2 cos(y�1 -�y� )
2
Kąt przesunięcia fazowego y� dla wypadkowego
przebiegu dany jest wzorem:
Um1 siny�1 +�Um2 siny�
2
tg y� =
Um1 cosy�1 +�Um2 cosy�
2
W wyniku dodania dwóch wektorów napięcia o
modułach Um1 i Um2 otrzymuje się wektor wypadkowy o
module Um i fazie początkowej y�. Liczbowo wartość
modułu jest wyznaczana za pomocą twierdzenia cosinusów
i przedstawia ją wzór:
2 2
Um= Um1 +�Um2 +� 2Um1Um2 cos(y�1 -�y� )
2
Jest więc to wzór taki sam, jak wzór stosowany w
metodzie analitycznej.
Kąt przesunięcia fazowego wypadkowego wektora
znajdujemy obliczając tangens kąta:
Um1 siny�1 +�Um2 siny�
2
tg y� =
Um1 cosy�1 +�Um2 cosy�
2
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Przykład dodawania dwóch przebiegów sinusoidalnych
w obu postaciach przedstawia rysunek:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
PRAWA KIRCHHOFFA W OBWODACH PR
DU
ZMIENNEGO.
Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczy bilansu prądów w
danym węz
le obwodu elektrycznego. Jego treść brzmi
następująco:
Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma
wartości chwilowych prądów wynosi zero:
��i = 0
a�
a�
gdzie:
a� - wskaz
nik zależny od liczby gałęzi zbiegających się
w węz
le, przyjmuje wartości 1, 2, 3...
i1 + i2 + i3  i4  i5 = 0
Po uporządkowaniu równania pierwsze prawo
Kirchhoffa brzmi:
Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma
wartości chwilowych prądów dopływających do węzła
jest równa sumie wartości chwilowych prądów
odpływających od węzła.
i1 + i2 + i3 = i4 + i5
Drugie prawo Kirchhoffa formułuje zasadę bilansu
napięć w oczku obwodu elektrycznego prądu zmiennego.
Brzmi ono następująco:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu
zmiennego suma wartości chwilowych napięć
z
ródłowych jest równa sumie wartości chwilowych
napięć na elementach R, L, C wchodzących do
rozpatrywanego oczka:
��e =� ��u
a� b�
a� b�
a� - kolejne z
ródła napiecia
b� - kolejne elementy pasywne wchodzących w skład
danego oczka obwodu.
Dla przykładu:
e1 + e2  e3 = u1 + u2  u3  u4
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DWÓJNIK O REZYSTANCJI R
Schemat elektryczny dwójnika przedstawia rysunek:
Do zacisków idealnego rezystora R przyłożono napięcie
sinusoidalne o przebiegu danym równaniem:
uR = Umsinw�t
Pod jego wpływem w układzie popłynie prąd o wartości
chwilowej, którą można wyznaczyć z zależności:
Um sin w�t
iR = uR =� = Imsinw�t
R R
Amplituda tego przebiegu:
Im = Um
R
W przypadku idealnego rezystora pomiędzy prądem i
napięciem nie występuje przesunięcie fazowe (j�=0), a
także spełnione jest prawo Ohma w odniesieniu do wartości
maksymalnych, jak i skutecznych napięcia i prądu.
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DWÓJNIK O INDUKCYJNOŚCI L
Dwójnik indukcyjny przedstawiony jest na poniższym
rysunku:
Po przyłączeniu do zacisków dwójnika z
ródła napięcia
przez cewkę idealną popłynie prąd sinusoidalny, którego
wartość wynosi:
iL= Imsinw�t
Pod wpływem tego prądu w cewce indukuje się siła
elektromotoryczna indukcji własnej:
diL
eL = -�L
dt
Napięcie na zaciskach cewki jest równe sile
elektromotorycznej, lecz z przeciwnym znakiem:
uL= -eL
diL
uL = L
dt
Jak wynika z powyższego wzoru napięcie na zaciskach
cewki jest proporcjonalne do prędkości zmian prądu w
czasie. Po uwzględnieniu wartości prądu we wzorze:
d
uL = L ( Imsinw�t)
dt
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Po wykonaniu różniczkowania przebiegu otrzymuje się
następująca postać:
uL = w�L Imcosw�t = Umcosw�t = Umsin(w�t + p� )
2
Z równania tego wynika:
Um = w�LIm.
Jest to zapis odnoszący się do wartości maksymalnych.
Chcąc uzyskać zapis dla wartości skutecznych należy obie
strony równania podzielić przez 2. Występujący w
powyższym równaniu iloczyn w�L nazywa się reaktancją
indukcyjną (oporem biernym indukcyjnym) i oznaczany
jest przez XL:
XL = w�L = 2p�fL
Jednostka reaktancji jest 1 om (1W�).
Korzystając z pojęcia reaktancji indukcyjnej można
zapisać prawo Ohma dla wartości skutecznych cewki
idealnej:
U
I =
X
L
Odwrotność reaktancji indukcyjnej nosi nazwę
susceptancji indukcyjnej, bądz
przewodności biernej
indukcyjnej:
1 1
BL = =�
X w�L
L
Jednostką susceptancji indukcyjnej jest 1 simens (1S).
Jak wynika z porównania powyższych wzorów w
obwodzie z idealną indukcyjnością napięcie wyprzedza
prąd o kąt fazowy j� =� p� / 2. Ponadto można stwierdzić, że
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
reaktancja indukcyjna zależy wprost proporcjonalna do
częstotliwości.
Na rysunku przedstawione są przebiegi czasowe oraz
wykresy wektorowe ilustrujące działanie układu.
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DWÓJNIK O POJEMNOŚCI C
Kondensator idealny o pojemności C dołączony został
do z
ródła napięcia sinusoidalnego:
uC = Umsinw�t
Przy zmianie napięcia zasilania o D�u, towarzyszy
zmiana ładunku o D�Q, którego wartość można wyznaczyć
następująco:
D�Q = CD�u
Jednocześnie zmianie ładunku towarzyszy przepływ
prądu iC (prąd ładowania kondensatora) w przewodach
łączących kondensator ze z
ródłem napięcia:
D�Q
iC =
D�t
Podczas procesu ładowania kondensatora w dielektryku
występuje prąd przesunięcia równy co do wartości prądowi
ładowania kondensatora.
D�u
iC = C
D�t
Jak wynika z analizy tego wzoru, prąd w obwodzie z
kondensatorem jest proporcjonalny do prędkości zmian w
czasie napięcia na jego okładzinach. Wzór ten można
przedstawić w postaci różniczkowej:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
duC
iC = C
dt
Następnie dokonujemy podstawienia przebiegu
napięcia:
d
iC = C ( Umsinw�t)
dt
Po różniczkowaniu wzór wygląda następująco:
iC = w�CUmcosw�t = Imcosw�t = Imsin(w�t + p� )
2
Na podstawie równania można zapisać:
Im = w�CUm- wartości maksymalne;
I = w�CU - wartości skuteczne;
Podobnie jak w przypadku cewki, tak samo i tu
wprowadzono pojęcie reaktancji. Tym razem jest to
reaktancja pojemnościowa, lub inaczej opór bierny
pojemnościowy XC:
1 1
XC = =�
w�C 2p�fC
Jego jednostką jest również 1 om (1W�).
Uwzględniając reaktancję pojemnościową można
sformułować prawo Ohma dla wartości skutecznych
kondensatora idealnego:
U
I =
XC
Odwrotność reaktancji pojemnościowej nosi nazwę
susceptancji pojemnościowej lub przewodności biernej
pojemnościowej BC:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
1
BC = = w�C
XC
Również w jej przypadku jednostką 1 simens (1S).
Na podstawie przeprowadzonych rozważań można
stwierdzić, że w przypadku obwodu z kondensatorem
idealnym prąd wyprzedza napięcie o kąt fazowy j� = -�p� / 2.
Z kolei reaktancja pojemnościowa zależy odwrotnie
proporcjonalnie od częstotliwości. Stąd wynika również
fakt, że dla prądu stałego (f=0) kondensator stanowi
przerwę w obwodzie (XC��Ą�), natomiast dla prądu
zmiennego nie (przy f��Ą�, XC = 0  zwarcie).
Przebiegi czasowe napięcia i prądu oraz wykres
wektorowy przedstawiony jest poniżej:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DWÓJNIK SZEREGOWY RL
Do układu szeregowego dwójnika RL przyłączono
napięcie sinusoidalne U.
i = Imsinw�t
Przepływający prąd powoduje spadki napięcia na
poszczególnych elementach: uR na rezystorze oraz uL na
cewce. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa dla prądu
zmiennego można zapisać:
u = uR + uL
gdzie:
uR = RImsinw�t
p�
uL = w�LImsin(w�t + )
2
Podstawiając oba napięcia do równania wynikającego z
prawa Kirchhoffa otrzymuje się:
u = RImsinw�t + w�LImsin(w�t + p� ) =
2
URmsinw�t + ULmsin(w�t + p� ) = Umsin(w�t + j�)
2
gdzie:
Um  amplituda napięcia wypadkowego;
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
j� - faza początkowa napięcia wypadkowego
(przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem wypadkowym i
prądem);
URm  amplituda napięcia występującego na rezystancji;
ULm  amplituda napięcia na indukcyjności.
Amplitudę napięcia wypadkowego oblicza się
korzystając z faktu, iż pomiędzy napięciem na rezystancji a
napięciem na indukcyjności występuje kąt przesunięcia
wynoszący p� / 2:
2 2 2
Um = URm +�ULm = (RIm)2 +� (X Im)2 = R2 +� X Im
L L
Powyższy wzór jest wzorem dla wartości
maksymalnych. Wartości skuteczne uzyskuje się po
podzieleniu go przez 2 .
2
U = R2 +� X I
L
Wartość dana pierwiastkiem oznaczana jest przez Z i
nosi ona nazwę impedancji lub oporu pozornego dwójnika
szeregowego RL.
2
Z = R2 +� X
L
Jednostką impedancji jest om (1W�).
Dla wartości tej możliwe jest sformułowanie prawa
Ohma dla obwodu szeregowego RL:
U = ZI
Kąt przesunięcia fazowego wyznacza się ze
sformułowanego wcześniej wzoru na tangens kąta j�.
UIm w�LIm w�L
tg j� = =� =�
URm RIm R
Przebiegi napięć w układzie oraz wykresy wektorowe
przedstawia umieszczony poniżej rysunek:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Z zależności dla tego trójkąta wynikają następujące
wzory:
R = Z cosj�
XL = Z sinj�
X
L
tg j� =
R
W przypadku dwójnika RL kąt j� ma wartość dodatnią z
zakresu 0 Ł� j� Ł� p� / 2. Wartości graniczne odpowiadają
sytuacjom, w których trójnik sprowadza się do dwójnika
idealnego o rezystancji R (dla XL = 0) lub dwójnika
idealnego o indukcyjności L (dla R = 0).
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DWÓJNIK SZEREGOWY RC
Dwójnik szeregowy RC włączony jest na napięcie
sinusoidalne u, w wyniku czego w obwodzie popłynie prąd
sinusoidalny i.
Podobnie jak w poprzednim przypadku przyjmujemy,
że prąd posiada fazę zerową, a jego równanie czasowe
wygląda następująco:
i = Imsinw�t
Na elementach dwójnika występują spadki napięć: uR 
na rezystancji R oraz uC na pojemności C. Zgodnie z
drugim prawem Kirchhoffa suma wartości chwilowych obu
napięć jest równa napięciu zasilania:
u = uR + uC
gdzie:
uR = RImsinw�t
1
uC = Imsin(w�t  p� )
w�C 2
Po ich podstawieniu do wzoru wynikającego z prawa
Kirchhoffa:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
1
u = RImsinw�t + Imsin(w�t  p� )
w�C 2
p�
= URmsinw�t + UCmsin(w�t  ) = Umsin(w�t +j�)
2
gdzie:
Um  amplituda napięcia wypadkowego;
j� - faza początkowa napięcia wypadkowego
(przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem i prądem);
URm  amplituda napięcia na rezystancji;
UCm  amplituda napięcia na pojemności.
Podobnie jak w przypadku układu RL możemy
wyznaczyć wartość amplitudy napięcia korzystając z
własności trójkąta prostokątnego (przesunięcie pomiędzy
napięciami na rezystancji i pojemności wynosi p� / 2):
2 2 2
Um = URm +�UCm = (RIm)2 +� (XCIm)2 = R2 +� XC Im
Podzielenie powyższej zależności przez 2 daje wzór dla
wartości skutecznych:
2
U = I
R2 +� XC
Również i w tym przypadku wartość występująca we
wzorze prze prądem, to impedancja (opór pozorny)
oznaczana literą Z:
2
Z =
R2 +� XC
Oczywiście jednostką impedancji jest 1 om (1W�).
Analogicznie jak dla układu RL słuszne jest równanie
nazywane prawem Ohma dla wartości skutecznych.
Wartość kąta przesunięcia fazowego j� wyznacza się ze
wzoru na tg j� podanego we wcześniejszej części rozdziału:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
1
UCm w�C Im 1
tg j� = -� =� -� =� -�
URm RIm w�CR
Kąt fazowy j� posiada wartość mniejszą od zera,
zawierając się w przedziale -� p� / 2 Ł�j� Ł� 0. Rysunek
znajdujący się poniżej przedstawia przebiegi czasowe prądu
i napięć na poszczególnych elementach oraz wykresy
wektorowe i trójkąt impedancji.
Z trójkąta impedancji wynikają następujące zależności:
R = Z cosj�
XC =  Z sinj�
XC
tg j� = -�
R
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DWÓJNIK SZEREGOWY RLC
Połączone szeregowo trzy elementy rezystor o
rezystancji R, cewka o indukcyjności L oraz kondensator o
pojemności C włączono do z
ródła napięcia sinusoidalnego
u zgodnie ze schematem:
Przez wszystkie trzy elementy przepływa jeden prąd
sinusoidalny o przebiegu danym równaniem czasowym
(przyjmujemy fazę początkową równą zero):
i = Imsinw�t
Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa można
sformułować bilans napięć chwilowych dla układu
dwójnika:
u = uR + uL + uC
Napięcia na poszczególnych elementach wynoszą
odpowiednio:
uR = RImsinw�t
uL = w�LImsin(w�t + p� )
2
1 1
uC = Imsin(w�t  p� ) =  Imsin(w�t + p� )
w�C 2 w�C 2
Napięcie wypadkowe:
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
u = Umsin(w�t +j�)
Suma napięć chwilowych wyraża się wzorem:
u = Umsin(w�t +j�) = RImsinw�t + w�LImsin(w�t + p� ) 
2
1
Imsin(w�t + p� )
w�C
2
Umsin(w�t +j�) = URmsinw�t + (ULm  UCm) sin(w�t + p� )
2
Amplituda napięcia wypadkowego:
2
Um = URm +� (ULm -�UCm)2 = (RIm)2 +� (X Im -� XCIm)2 =
L
R2 +� (X -� XC )2 Im
L
Dla wartości skutecznych:
U = R2 +� (X -� XC )2 I
L
Impedancja układu szeregowego RLC dana jest
wzorem:
Z = R2 +� (X -� XC )2
L
Z kolei występująca we wzorze wartość:
X = XL  XC
to reaktancja dwójnika szeregowego RLC.
Również i w tym przypadku pozostaje słuszne prawo
Ohma dla wartości skutecznych.
Reaktancja dwójnika szeregowego RLC może
przybierać różne wartości w zależności od indukcyjności i
pojemności włączonej w układ. Może ona być:
- dodatnia, dla XL > XC;
- ujemna, gdy XL < XC;
- równa zeru, dla XL = XC.
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Również kąt fazowy może przybierać różne wartości w
zależności od parametrów układu.
X Im -� X Im X -� XC X
L C L
tg j� =ULm -�UCm = = =
URm RIm R R
X > 0  kąt fazowy j� posiada wartość dodatnią, obwód
ma charakter indukcyjny;
X < 0  kąt fazowy j� posiada wartość ujemną, obwód
ma charakter pojemnościowy;
X = 0  kąt fazowy j� posiada wartość zerową, obwód
ma charakter rezystancyjny.
Na rysunku przedstawiono wykresy wektorowe prądu i
napięć w obwodzie (we wspomnianych trzech
przypadkach).
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
DWÓJNIK RÓWNOLEGA
Y RLC
Połączone równolegle elementy RLC podłączono do
z
ródła napięcia sinusoidalnego u. Sytuacja ta przedstawiona
jest na poniższym schemacie:
u = Umsinw�t
W wyniku podłączenia napięcia w gałęziach obwodu
popłyną prądy sinusoidalne, przy czym zgodnie z
pierwszym prawem Kirchhoffa zapisać można następujące
równanie:
i = iR + iL + iC
Prądy w poszczególnych gałęziach wyniosą:
iR = GUmsinw�t
1
1
iL = w�L Umsin(w�t  p� ) =  Umsin(w�t + p� )
2 w�L 2
iC = w�CUm.sin(w�t + p� )
2
Prąd wypadkowy:
i = Imsin(w�t+y�)
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
Podstawiając powyższe wzory do równania Kirchhoffa
otrzymujemy:
i = Imsin(w�t+y�) = GUmsinw�t + w�CUmsin(w�t + p� ) 
2
1
Umsin(w�t + p� )
w�L 2
Imsin(w�t+y�) = IRmsinw�t + (ICm-ILm)sin(w�t + p� )
2
gdzie:
IRm  amplituda prądu przepływającego przez
rezystancję;
ILm  amplituda prądu przepływającego przez
indukcyjność;
ICm  amplituda prądu przepływającego przez gałąz
z
pojemnością.
Z powyższych wzorów wynika:
IRm = GUm
1
ILm = Um = BLUm
w�L
ICm = w�CUm = BCUm
Amplitudę prądu wyznacza się z analogicznego wzoru
jak dla napięcia:
2
Im = IRm +� (ICm -� ILm)2 = (GUm)2 +� (BCUm -� BLUm)2 =
G2 +� (BC -� BL)2 ��Um
Podzielenie przez 2 daje postać dla wartości
skutecznych:
I = G2 +� (BC -� BL)2 ��U
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
W powyższym wzorze wartość daną pierwiastkiem
nazywa się admitancją lub przewodnością pozorną
dwójnika równoległego RLC, i jest ona oznaczana literą Y:
Y = G2 +� (BC -� BL)2
natomiast:
B = BC - BL
susceptancją dwójnika.
Prawo Ohma w przypadku układów równoległych jest
przedstawiane w postaci admitancyjnej:
ICm -� ILm
tg y� =
IRm
Jest to wzór służący do obliczenia fazy początkowej
prądu (kąta przesunięcia pomiędzy napięciem i prądem),
natomiast kąt fazowy j� (od wektora prądu do wektora
napięcia) ma znak przeciwny, w związku z czym można
zapisać:
ICm -� ILm BCUm -� BLUm BC -� BL B
tg j� = -� = -� = -� = -�
IRm GUm G G
Susceptancja dwójnika może posiadać różne wartości w
zależności od wartości indukcyjności oraz pojemności:
- dodatnia, gdy BC > BL;
- ujemna, dla BC < BL;
- równa zeru, przy BC = BL.
Również kąt fazowy j� może posiadać różne wartości, w
zależności od tego, jaką wartość posiada susceptancja:
- kąt fazowy mniejszy od zera, dla B > 0, obwód ma
charakter pojemnościowy;
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
- kąt fazowy większy od zera, dla B < 0, obwód ma
charakter indukcyjny;
- kąt fazowy równy zero, dla B = 0, obwód ma charakter
rezystancyjny.
Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy
wektorowe napięcia i prądów oraz trójkąty admitancji
odpowiadające wspomnianym przypadkom.
Z trójkątów admitancji można w oparciu o własności
trójkątów prostokątnych wyprowadzić następujące
zależności:
G = Y sinj�
Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
B = -Y sinj�
B
tg j� = -�
G