Kopia algebra skrypt


















































ą



 ł

" 



ś



Ś 

ą



 





ś 


 Ą



Ł 


Ś Ć



Ą 

 

&! 






(a1, a2, a3, . . . , an)



ai

a74



n
ai = a1 + a2 + . . . an
i=1


n n-1 n+1
ai = (i = k + 1) = ak = (i = l - 1) = al
i=1 k=0 l=2



n n
ai =  ai
i=1 i=1






n
aibi = aibi
i=1



n m
ł ł
a11 a12 . . . a1m
ł
a21 a22 . . . a2m ł
ł ł
ł łł
. . .
an1 an2 . . . anm


n = m

n m n
aij = (ai1 + ai2 + . . . aim) = (a11 + a12 + . . . + a1m)
i=1 j=1 i=1
+ . . . + (an1 + an2 + . . . + anm) = (zamiana skladnikow) = (a11 + a21 + . . . + an1)
m n
+ . . . + (a1m + a2m + . . . + anm) = aij
j=1 i=1




n n n
aij = (zapis) = aij
i=1 j=1 i,j=1






Tn n 2n = n+n


n





Tn




T1 n = 1

"k"N Tk Tk+1

Tn n


n n(n+1)
i = n
i=1
2

n = 1




Tn ! Tn+1
n+1 n
n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
i = i + (n + 1) = + n + 1 =
2 2
i=1 i=1


n " N

n
n!
n n
(a + b)n = an-kbk , =
k k
k!(n - k)!
k=0



n













A (a, b) a b
B


A B


A A A . . . A R R R R R R3





A A A A

a + b a b



+ "


x " y = (x + y)2 x y


a b c
a a b c
b b c a
c c a b




x y x y = y x x " y = xy





A "







a b c
(a " b) " c = a " (b " c)



e " A a " A
e " a = a " e = a




a " A a-1 " A
a " a-1 = a-1 " a = e


+ e = 0


+ e = 0


= 0 e = 1








Cn 2Ą/n Cn n


CnCn 22Ą
n



e n Cn e = (Cn)n




2 2Ą 4Ą
n = 3 e, C3, C3
3 3


2
a = e b = C3 c = C3


2
{a, b, c} {e, C3, C3}










f


A " B
"a, b " A f(a " b) = f(a) f(b)


f(eA) = eB

f(a-1) = (f(a))-1



" 3 2 " 1 = 0



C3 f(0) = e

2
f(1) = C3 f(2) = C3







A + "


a + b = b + a , a " b = b " a



(a + b) + c = a + (b + c)
(a " b) " c = a " (b " c)

" +
a " (b + c) = a " b + a " c ,




0 1
"a " A a + 0 = 0 + a = a , a " 1 = 1 " a = a



"a " A "b " A a + b = 0 "a " A a = 0 "c " A a " c = 1




b = -a c = 1/a = a-1



+ "


0 1


a " b = ab




n
Q n, m " Z
m


R







A


d"

a b " A a d" b b d" a






a d" b b d" c a d" c




a d" b b d" a a = b


a d" b "c a + c d" b + c



0 d" a b d" c ab d" ac


0 d" a a








i


i2 = -1




x + y i ,



x, y " R


x y





x z = x + yi


y


x = z , y = z


z1 = x1 + y1i z2 = x2 + y2i


z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i


z1z2 = x1x2 + x1x2i2 + x1y2i + x2y1i = (x1x2 - x1x2) + (x1y2 + x2y1)i .


z = i = 0 + 1i z2 =

-1 + 0i = -1





a+b+i


C



RR

(x1, y1), (x2, y2) " R R
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1)


z = x + yi

i2 = -1






0 = 0 + 0i 1 = 1 + 0i.





z = x + yi
z = x - yi
Ż


i -i


z = z
Ż

(z) = z
Ż
z = x + yi = z ! y = 0 ! z " R
Ż


z = x + yi = -Ż ! x = 0 , z
z
zz = x2 + y2
Ż

1
z = (z + z)
Ż
2

1
z = (z - z)
Ż
2i


(z1 ą z2) = z1 ą z2


(z1 ą z2) = z1 ą z2



z = x + yi
"
|z| = x2 + y2 = zz
Ż

|z| = |z|
Ż





z = x + yi = 0 x = 0 y = 0

1 1 x - yi z x - yi
Ż
z-1 = = = =
x + yi x + yi x - yi zz x2 + y2
Ż

1
|z-1| =
|z|


(2 + 3i)(4 - i) = 8 + 3 + (12 - 2)i = 11 + 10i
1 3 - 4i
=
3 + 4i 25
"
|3 + 2i| = 13
3 + 2i = 3 - 2i

3 - 2i (3 - 2i)(5 - 2i) 15 - 4 + (-10 - 6)i 11 - 16i
= = =
5 + 2i (5 + 2i)(5 - 2i) 25 + 4 29



z1 d" z2 !


|z1| < |z2| z1 d" z2 z2 d" z1 z1 = z2





z = x + yi (x, y)



R2


|z| = x2 + y2 (x, y)
=|z|ei Ć
z=x+iy=|z|(cosĆ+ sin Ć)
Ć


Ć (x, y)

z = |z|(cos Ć + sin Ći)


2Ą Ć Ć + k2Ą z






|z| Ć
z = |z|(cos Ć + sin Ći)



2Ą

|z|


0 0



x z y z
cos Ć = = , cos Ć = =
x2 + y2 |z| x2 + y2 |z|


z1 = |z1|(cos Ć + sin Ći) = 0 z2 = |z2|(cos  +


sin i) = 0

z1z2 = |z1||z2| (cos Ć cos  - sin Ć sin  + (cos Ć sin  + cos  sin Ć)i)
= |z1||z2| (cos(Ć + ) + sin(Ć + )i)



z1 |z1|
= (cos Ć cos  + sin Ć sin  + (- cos Ć sin  + cos  sin Ć)i)
z2 |z2|
= |z1||z2| (cos(Ć - ) + sin(Ć - )i)


zn = |z|n (cos(nĆ) + sin(nĆ)i)





z = |z|eiĆ = |z|(cos Ć + sin Ći)


e 2.7182818284 . . .


e



eiĆ



ra rb = ra+b
1
z1z2 = |z1||z2|ei(Ć+) , zn = |z|neinĆ , z-1 = e-iĆ
|z|


x
zx = |z|xeixĆ


eiĄ + 1 = 0






z = |z|eiĆ v vn = z



n
v = |v|ei vn = z |v| = |z| n = Ć + 2kĄ k " Z


n
vk = |vk| (cos k + sin k)
Ć + 2kĄ
n
|vk| = |z| , k = , k = 0, 1, . . . , n - 1
n



z = i = eiĄ/2 z1 = eiĄ/6 , z2 = ei5Ą/6 , z2 = ei9Ą/6





" "

2 2ei2Ą/3 = -1 + 3i 2ei4Ą/3 = -1 - 3i


-1 i -i



n n 1 k = ei2kĄ/n, k = 0, 1, . . . , n - 1


n Cn





Pn(z) = anzn + an-1zn-1 + . . . + a0



z1


Pn(z) = (z - z1)Pn-1(z)


Pn-1(z)



n an = 0

Pn(z) = an(z - z1)(z - z2) . . . (z - zn)


n z1 zn



z4 + 1 = (z - i)2(z + i)2




4



P (x) = x2 + 4



z2 + iz + 2 = 0



" = (i)2 - 4 1 2 = -9
"
-i + " -i ą 3i
i
"

z = = ( C ) = =
-2i
2 2

z2 + iz + 2 = (z - i)(z + 2i)



an " R z z
Ż



P (z) = anzn + an-1zn-1 + . . . + a0 = anzn + . . . + a0 = anzn + an-1zn-1 + . . . + a0 = P (z)
Ż



z P (z) P (z) = 0 P (z) = 0 P (z) = 0 z
Ż Ż




z = z
Ż


z z
Ż









z = z
Ż



P (x) = an(x - z1) . . . (x - zn) x " R








z z
Ż







n 


1 n 1 n i = j




(i) = (j) 





n



1 n


1 f(1) 2


f(2)
1 2 . . . l . . . n
(1) (2) . . . (l) . . . (n)


1 n


(i) = ki ki " 1, 2, . . . , n
1 2 . . . l . . . n
k1 k2 . . . kl . . . kn






Sn n






(i) = i




1 2 . . . l . . . n
 =
(1) (2) . . . (l) . . . (n)

(1) (2) . . . (l) . . . (n)
-1 =
1 2 . . . l . . . n


Sn n > 2






1 2 3 1 2 3
 =  =
3 1 2 1 3 2

1 2 3 1 2 3
 = =  =

2 1 3 3 2 1

Sn n!



n n (1)


n - 1 (2) 2 (n - 1)


(n) n(n-1) . . . 21 = n!





S3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 3 1 2 2 3 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 2 1 3 3 2 1





S3


S3


C3 1



S3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 3 2 1






Sn





(i1) = i2 (i2) = i3 (i3) = i4 (ik) = i1


i1, . . . , ik " 1, . . . , n i " i1, . . . , in (i) = i
/




k
i1 i2 . . . ik
i2 i3 . . . i1


(i1 i2 . . . ik)



1 2 3 4 5 6
2 4 3 5 1 6


-! 2 ! 4 ! = (1 2 4 5)
1----------5






k k - 1
(i1 i2 . . . ik) = (ik-1, i1)(ik-2, i1) . . . (i2, i1)














1 2 3 4 5 6 7
= (2 4 7 3) (5 1 6)
6 4 2 7 1 5 3











n-1









(i1, . . . , in) ik, il k < l



ik > il I(i1, . . . , in)



(i1, . . . , in)



(1, . . . , n) (i1, . . . , in)















(s1, . . . , sk, a, t1, . . . , tl, b, u1, . . . , um)


a b


{a, b} {a, ti} {ti, b}


a "! b














sgn = (-1) .












nm (i, j) " {1, . . . , n}{1, . . . , m}


R C (i, j) Aij





ł ł
A11 A12 . . . A1m
ł
A21 A22 . . . A2m ł
ł ł
A =
ł łł
. . . . . . . . . . . .
An1 An2 . . . Anm



n m i
n 1
ł ł
A1i
ł ł
A2i
ł ł
ł łł
. . .
Ani


j 1 m
(Aj1 Aj2 . . . Ajm)





n n


ł ł
a1
ł ł
a2
ł ł
ł łł
. . .
an





Aij Aii







ł ł
1 0 0 . . . 0
ł ł
0 1 0 . . . 0
ł ł

ł ł
= Enn = = 0 0 1 . . . 0
nn
ł ł
ł łł
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1






1 i = j

= ij =
ij

0 i = j



Aij n m Bjk m k


n k C = AB
m
Cij = AilBlj
l=1



n k n k Cij


ł ł
3 -2 1 0
1 2 4 21 10 7 8
ł łł
-1 2 1 -2 =
-2 1 3 8 12 2 7
5 2 1 3


ł ł
3 -2 1 0
ł łł
-1 2 1 -2
5 2 1 3
1 2 4 . . . ę! . . . . . .
-2 1 3 ! (-2)(-2) + 1 2 + 3 2 . . . . . .




A n m m k


BA n = k n n AB


BA
1 0 0 1 0 1
=
0 -1 1 0 -1 0

0 1 1 0 0 -1
=
1 0 0 -1 1 0



n n n 1 n 1
ł ł ł ł ł ł
3 2 7 3 4
ł łł ł łł ł łł
-1 2 2 1 = -3
2 3 -2 -1 11



n n


ł ł
3 2 7
ł łł
(3 1 - 1) -1 2 2 = (6 5 25)
2 3 -2




Aij n m

A = A , A = A
nn mm



{i, j}
n n


( A)ij = Akj = ikAkj = { i = k }
nn ik
k=1 k=1
= Akj|k=i = Aij




n
jlFim...nlo...st = Fim...njo...st
l=1



Aij n m m n


AT
(AT )ij = Aji

T
AT = A



ł ł
T 1 -2
1 2 4
ł łł
= 2 1
-2 1 3
4 3
ł łT
1 -2
1 2 4
ł łł
2 1 =
-2 1 3
4 3



ł ł
2
ł ł
3
ł ł
(2 3 4 6)T =
ł łł
4
6
ł łT
-4
ł ł
33
ł ł
= (-4 33 - 4 2)
ł łł
-4
2

n n



Aij n m m n

A

(A )ij = Aji



(A )ij = Aji = Aji = (AT )ij , A = AT





A = A







T

A = AT = A
ł ł
1 - i -2

1 + i 2i 4 - 3i
ł łł
= -2i 1 - i
-2 1 + i 3 - 2i
4 + 3i 3 + 2i

ł ł

1 - i -2
1 + i 2i 4 - 3i
ł łł
-2i 1 - i =
-2 1 + i 3 - 2i
4 + 3i 3 + 2i



ł ł
2 + i
ł ł
3 - i
ł ł

(2 - i 3 + i 4i 6) =
ł łł
-4i
6
ł ł
-4i
ł ł
33 - 2i
ł ł
= (4i 33 + 2i - 4 2 - i)
ł łł
-4
2 + i


AB = AB


n n n
T T
((AB)T )ij = (AB)ji = AjkBki = AT Bik = BikAT = (BT AT )ij
kj kj
k=1 k=1 k=1





(AB)T = BT AT

n n n
Ż ŻT


((AB) )ij = (AB)ji = jkBki = T Bik = BikAkj = (B A )ij
kj
k=1 k=1 k=1






(A1A2 . . . An)T = AT . . . AT AT , (A1A2 . . . An) = An . . . A2A1
n 2 1


AT = A

ł ł
1 2 4
ł łł
2 7 5
4 5 -7


AT = -A

ł ł
0 2 -4
ł łł
-2 0 -5
4 5 0


A = A

ł ł
1 2i 4 - 3i
ł łł
-2i 7 5 + i
4 + 3i 5 - i -7




n
T r[A] = Aii
i=1



łł łłł
1 + i 2i 4 - 3i
łł łłł
T r -2 1 + i 3 - 2i = (1 + i) + (1 + i) + (7 + 3i) = 9 + 5i
5 3i 7 + 3i



T r[AT ] = T r[A] , T r[A ] = T r[A]



T r[AB] = T r[BA]

n n n n n n n n
T r[AB] = (AB)ii = AikBki = AikBki = BkiAik = (BA)kk = T r[BA]
i=1 i=1 k=1 i=1 k=1 k=1 i=1 k=1



T r[A1A2A3 . . . An-1An] = T r[BAn] = T r[AnB] = T r[AnA1A2 . . . An-1]








 " R  " C
ł ł ł ł
A11 A12 . . . A1m A11 A12 . . . A1m
ł
A21 A22 . . . A2m ł ł A21 A22 . . . A2m ł
ł ł ł ł
 =
ł łł ł łł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An1 An2 . . . Anm An1 An2 . . . Anm


n m
ł ł ł ł
A11 A12 . . . A1m B11 B12 . . . B1m
ł
A21 A22 . . . A2m ł ł B21 B22 . . . B2m ł
ł ł ł ł
+
ł łł ł łł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An1 An2 . . . Anm Bn1 Bn2 . . . Bnm
ł ł
A11 + B11 A12 + B12 . . . A1m + B1m
ł ł
A21 + B21 A22 + B22 . . . A2m + B2m
ł ł
=
ł łł
. . . . . . . . . . . .
An1 + Bn1 An2 + Bn2 . . . Anm + Bnm




(A)ij = Aij , (A + B)ij = Aij + Bij


A + B = B + A






n n Aij i, j " {1, . . . , n}



A
detA = sgn()A1(1)A2(2) . . . An-1(n-1)An(n)
"Sn


2 2 3 3

S2
 sgn()
1 2
1
1 2
1 2
-1
2 1



detA = sgn()A1(1)A2(2) = A11A22 - A12A21
"S2


det
2i 3 - i 2i 3 - i
det = = 2i5i - (3 - i)3 = -19 + 3i
3 5i 3 5i



3 3 6 S3
 sgn()
1 2 3
1
1 2 3
1 2 3
1
3 1 2
1 2 3
1
2 3 1
1 2 3
-1
2 1 3
1 2 3
-1
3 2 1
1 2 3
-1
1 3 2


detA = sgn()A1(1)A2(2)A3(3) = A11A22A33 + A13A21A32 + A12A23A31
"S3
- A12A21A33 - A13A22A31 - A11A23A32



2 3 8
-2 4 1 = 2 4 2 + 1 3 1 + (-2) 0 8 - (-2) 3 2 - 1 4 8
1 0 2
- 2 0 1 = 16 + 3 + 0 + 12 - 32 - 0 = -1




n! n



detA = det(AT )



det(AT ) = sgn()(AT )1(1)(AT )2(2) . . . (AT )n(n) = sgn()A(1)1A(2)2 . . . A(n)n
 



-1 A(1)1 . . . A(n)n
= sgn() -1 A(1)1A(2)2 . . . A(n)n

= sgn()A1-1(1)A2-1 . . . An-1-1 Ann-1(n)
(2) (n-1)


Ą = -1 , sgn(Ą) = sgn()
= sgn(Ą)A1Ą(1)A2Ą(2) . . . An-1Ą(n-1)AnĄ(n)
Ą-1


= ( Ą-1 Ą)
= sgn(Ą)A1Ą(1)A2Ą(2) . . . An-1Ą(n-1)AnĄ(n) = detA
Ą













A 

det(A)


i 
sgn()A1(1) . . . Ai-1(i-1)(Ai i))Ai+1(i+1) . . . An(n)
(
"Sn
= sgn()A1(1) . . . Ai-1(i-1)Ai i)Ai+1(i+1) . . . An(n)
(
"Sn
= det(A)




0





n n 

n
det(A) = ndet(A)





n n


det(A) = AijAij = ( k) = AjkAjk
j=1 j=1

Aij = (-1)i+jMij {i, j} Mij


{i, j} A (n-1)(n-1)


A i j





3 3
2 3 8
3 8
-2 4 1 = 1(-1)(3+1)
4 1
1 0 2
2 8 2 3
+ 0(1-)(3+2) + 2(-1)(3+3)
-2 1 -2 4
= -29 + 0 + 28 = -1







det(A) = sgn()A1(1) . . . Ai-1(i-1)Ai(i)Ai+1(i+1) . . . An(n)
"Sn



(i) k " {1, . . . , n} n


(i) = k k
n
= sgn()A1(1) . . . Ai-1(i-1)Ai(i)Ai+1(i+1) . . . An(n)
k=1 "Sn;(i)=k
n
= sgn()A1(1) . . . Ai-1(i-1)AikAi+1(i+1) . . . An(n)
k=1 "Sn;(i)=k
n
= (1-)I((1)...(i-1)(i)(i+1)...(n))A1(1) . . . Ai-1(i-1)AikAi+1(i+1) . . . An(n)
k=1 "Sn;(i)=k


I((1) . . . (i - 1)(i)(i + 1) . . . (n))
= (-1)i+kI((1) . . . (i - 1)(i + 1) . . . (n))
n
= (-1)i+kAik(-1)I((1)...(i-1)(i+1)...(n))A1(1) . . . Ai-1(i-1)Ai+1(i+1) . . . An(n)
k=1 "Sn;(i)=k
n
= (-1)i+kAiksgn( )A1 (1) . . . Ai-1 (i-1)Ai+1 (i+1) . . . An (n)
k=1
 "Sn-1
n n
= Aik(-1)i+kMik = AikAik
k=1 k=1






B A n e" 2


det(B) = -det(A)







n = 2



Tn ! Tn+1
n+1 n+1 n+1
det(B) = BikBik = Bik(-Aik) = Aik(-Aik) = -det(A)
k=1 k=1 k=1


n B

A






0






B  A


Bij = A-1
(i)j
det(B) = sgn()det(A) = sgn(-1)det(A)










i  l = i

n n n
(Aik + Alk)Aki = AikAki +  AlkAki = det(A) +  0
k=1 k=1 k=1


0 i


l






n

AikAkl = 0 , i = l

k=1







2 3 8


-2 4 1 = ( 1/2 )
1 0 2
-2 3 8


= -5 4 1 = ( 5/8 )
2
0 0 2

-1 3 8
8
1
= 0 4 1 = (- ) 4 2 = -1
8
0 0 2




0

A11 A12 . . . A1 n-1 A1n
0 A22 . . . A2 n-1 A2n
0 0 . . . A3 n-1 A3n
= A11A22 . . . An-1 n-1Ann
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . An-1 n-1 An-1 n
0 0 . . . 0 An n




n = 1



n - 1 n

A11 A12 . . . A1 n-1 A1n
A11 A12 . . . A1 n-1
0 A22 . . . A2 n-1 A2n
0 A22 . . . A2 n-1
0 0 . . . A3 n-1 A3n
= Ann 0 0 . . . A3 n-1 = AnnA11A22 . . . An-1 n-1
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . An-1 n-1 An-1 n
0 0 . . . An-1 n-1
0 0 . . . 0 An n





n 11, . . . , in "


{1, . . . , n}
ńł



0 , (i1, . . . , in)
ł
ł
ł

=
i1i2...in
1, . . . n (i1, . . . , in)
ł
ł

sgn ,
ół

i1 . . . in (1, . . . , n)

n = 2
= 1 , = -1 , = = 0
12 21 11 22

n = 3
= = = 1 , = = = -1
123 312 231 213 321 132


= 0 = 0 = 0 = 0 = 0
ijk 112 111 212 323



2
A1jA2j = 1 A11A22 + (-1) A12A21 + 0 A11A21 + 0 A12A22 = det(A)
ij
i,j=1

2
A1jA2jA23j = 1 A11A22A33 + 1 A13A21A32 + 1 A12A23A31
ijk
i,j,k=1
+ (-1) A12A21A33 + (-1) A13A22A31 + (-1) A11A23A32
+ 0 A11A22A32 + 0 A11A21A33 + 0 A12A22A32 + . . . = det(A)


n
A1iA2j . . . Ank =
ij...k
i,j,...,k=1


nn n!




(i, j, . . . , k) (1, 2, . . . , n)


i, j, . . . , k " {1, . . . , n} Sn
= (1)(2)...(n)A1(1)A2(2) . . . An(n) = sgn()A1(1)A2(2) . . . An(n) = det(A)
"Sn "Sn



Ą A



Ą-1(1) = m m Ą-1(2) = p



p Ą-1(n) = q n




q

sgn(Ą)det(A) = det(A)
mp...q
n
AmiApj . . . Aqk
ij...k
i,j,...k=1


n
det(A) = AmiApj . . . Aqk
mp...q ij...k
i,j,...k=1






det(AB) = det(A)det(B)



n n AB
n
det(AB) = (AB)1i(AB)2j . . . (AB)nk
ij...k
i,j,...,k=1
n n
= A1lBliA2mBmj . . . AnpBpk
ij...k
i,j,...,k=1 l,m,...,p=1

n n
= A1lA2m . . . Anp BliBmj . . . Bpk
ij...k
l,m,...,p=1 l,m,...,p=1
n
= A1lA2m . . . Anp det(B)
lm...p
l,m,...,p=1
= det(A)det(B)







n n A B n n

AB = BA =
nn


A-1








det(A) = 0 A

1
(A-1)ij = Aji
det(A)



Aij =

(-1)i+jMij {i, j} Mij {i, j}

A


AA-1
n n
1 1 1
(AA-1)ij = Aik(A-1)kj = AikAjk
det(A) det(A) det(A)
k=1 k=1




1
= ijdet(A) = ( )ij
det(A)


1
det(A-1) =
det(A)













ł ł
2 3 8
ł łł
A = -2 4 1 , det(A) = -1
1 0 2

4 1 -2 1 -2 4

M11 = = 8 , M12 = = -5 , M13 = = -4 ,
0 2 1 2 1 0

Mij
ł ł
8 -5 -4
ł łł
M = 6 -4 -3
-29 18 14

Aij =
(-1)i+jMij
ł ł
8 5 -4
ł łł
A = -6 -4 3
-29 -18 14

ł ł
8 -6 -29
ł łł
AT = 5 -4 -18
-4 3 14


1
= -1
det(A)
ł ł
-8 6 29
1
ł łł
A-1 = AT = -5 4 18
det(A)
4 -3 -14

ł ł-1 ł ł
1
0 . . . 0 0
A11 0 . . . 0 0
A11
1
ł ł ł ł
0 . . . 0 0
0 A22 . . . 0 0
A22
ł ł ł ł
ł ł ł ł
. . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . .
ł ł ł ł
1
ł łł ł łł
0 0 . . . An-1 n-1 0 0 0 . . . 0
An-1 n-1
1
0 0 . . . 0 Ann
0 0 . . . 0
Ann



Aii = 0



(AB . . . CG)-1 = G-1C-1 . . . B-1A-1





A
AT = A-1



cos Ć - sin Ć
sin Ć cos Ć


1
det(A) = det(AT ) = det(A-1) = det(A) =
det(A)

ą1



A

A = A-1



0 i
-i 0


1
det(A) = det(A ) = det(A-1) = det(A)det(A) =
det(A)

1 ! |det(A)| = 1













GL(n, R) GL(n, C)


n n



GL(n, R)



GL(n, C)






" GL(n, R) " GL(n, C)
nn nn


GL(n, R) GL(n, C)




GL(n, R) GL(n, C) n e" 2


SL(n, R) SL(n, C)

n n



1 SL(n, R)


SL(n, C)





1 1 det( ) = 1
nn

O(n)

n n






U(n)

n n





SO(n)


n n


1

SU(n)


n n 1




O(1) {1, -1}


U(1) 1 eiĆ

O(2) SO(2)


O(2)
- cos Ć sin Ć
cos Ć - sin Ć
sin Ć cos Ć sin Ć cos Ć



+1 -1 SO(2)


O(2)

U(2) SU(2)


SU(2)
a -b
b a

|a|2 + |b|2 = 1


U(2) ąA A " SU(2) ą 1






m n
A11x1 + A12x2 + . . . + A1nxn = b1
A21x1 + A22x2 + . . . + A2nxn = b2
A31x1 + A32x2 + . . . + A3nxn = b3
. . . = . . .
Am1x1 + Am2x2 + . . . + Amnxn = bm



Aij m n A



X 1 n B
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
ł ł
X = x3 ł , B = b3 ł
ł ł ł ł
ł łł ł łł
. . . . . .
xn bn

AX = B



A B X






x + 2y + z = 8
x - 2y = 4



y = 1 - z/4




x = 4 + 2y = 6 - z/2


t = z/4
ł ł ł ł
x 6 - 2t
ł łł ł łł
y = 1 - t , t " R
z 4t



x + 2y = 8
x - 2y = 4


x = 6 y = 1


x + 2y + z = 8
-x - 2y - z = 4



x y z










n n A



A

det(A) = 0

AX = B


X = A-1B


(A-1)ij = Aji/det(A) = (-1)i+jMji/det(A)

A Mij {i, j}
ij


A
n n
1 det(Ai)
xi = (A-1)ikbk = (-1)i+jbkMki =
det(A) det(A)
k=1 k=1


Ai




i Aki , k " {1, . . . , n}

bk , k " {1, . . . , n} n xi



det(A) det(A) = 0




n Ai , i " {1, . . . , n}


i A i

b

n det(Ai)


det(Ai)
xi =
det(A)



ł ł ł ł ł ł
2 3 8 x 2
ł łł ł łł ł łł
-2 4 1 y = 2 AX = B
1 0 2 z 0


det(A) = -1
2 3 8
det(A1) = 2 4 1 = 4
0 0 2
2 2 8
det(A2) = -2 2 1 = 2
1 0 2
2 3 2
det(A3) = -2 4 2 = -2
1 0 0


det(A1) det(A2) det(A3)
x = = -4 , y = = -2 , z = = 2
det(A) det(A) det(A)


ł ł ł ł ł ł
2 3 8 -4 2
ł łł ł łł ł łł
-2 4 1 -2 = 2 AX = B
1 0 2 2 0


















A

ł ł ł ł ł ł
2 3 8 x 2
ł łł ł łł ł łł
-2 4 1 y = 2
1 0 2 z 0


1/2

ł ł ł ł ł ł
2 3 8 x 2
ł łł ł łł ł łł
0 7 9 y = 4
0 -3 -2 z -1
2

3/14
ł ł ł ł ł ł
2 3 8 x 2
ł łł ł łł ł łł
0 7 9 y = 4
1 2
0 0 -14 z -14





-14

2x + 3y + 8z = 2
7y + 9z = 4
z = 2



z = 2


y = -2 z = 2 y = -2 x = -4










AX = B


A m n B (m 1) m (n + 1)
ł ł
A11 A12 . . . A1n b1
ł
A21 A22 . . . A2n b2 ł
ł ł
ł łł
. . . . . . . . . . . .
Am1 Am2 . . . Amn bm



ł ł
2 3 8 2
ł łł
-2 4 1 2
1 0 2 0


ł ł ł ł
2 3 8 2 2 3 8 2
ł łł ł łł
0 7 9 4 0 7 9 4
3 1 2
0 -2 -2 -1 0 0 -14 -14
ł ł
2 3 8 2 2x + 3y + 8z = 2
ł łł
0 7 9 4 7y + 9z = 4
0 0 1 2 z = 2


A


A

ł ł
2 3 8 2
ł łł
0 7 9 4
0 0 1 2


8 9
ł ł
2 3 0 -14
ł łł
0 7 0 -14
0 0 1 2



3/7
ł ł
2 0 0 -8
ł łł
0 7 0 -14
0 0 1 2


A 2x = -8 7y = -14

z = 2






rzA = r





r



1 3 -6 9
rz = 2
5 4 2 0
ł ł
1 3 -6 9
ł łł
rz 5 4 2 0 = 2
4 1 8 -9















A11x1 + A12x2 + . . . A1nxn = b1
A21x1 + A22x2 + . . . A2nxn = b2
A31x1 + A32x2 + . . . A3nxn = b3
. . . = . . .
Am1x1 + Am2x2 + . . . Amnxn = bm


rzA = rzC A m n

Aij
ł ł
A11 A12 . . . A1n b1
ł
A21 A22 . . . A2n b2 ł
ł ł
C =
ł łł
. . . . . . . . . . . .
Am1 Am2 . . . Amn bm




m(n+1)


rzA = r


n - r n > r




rzA = r
A11 . . . A1r
. . . . . . . . . = 0

Ar1 . . . Arr

A11x1 + A12x2 + . . . + A1rxr = -Ar+1xr+1 - . . . - A1nxn + b1
. . .


Ar1x1 + Ar2x2 + . . . + Arrxr = -Ar+1xr+1 - . . . - A1nxn + br



r r x1 xr



xr+1, . . . , xn n - r



m-r


r m - r


i r < i d" m
A11x1 + A12x2 + . . . + A1rxr + Ar+1xr+1 + . . . + A1nxn = b1
. . .
Ar1x1 + Ar2x2 + . . . + Arrxr + Arr+1xr+1 + . . . + A1nxn = br
Ai1x1 + Ai2x2 + . . . + Airxr + Air+1xr+1 + . . . + Ainxn = bi





ł ł
A11 . . . A1r A1 r+1 . . . A1n b1
ł ł
. . .
ł ł
C =
ł
Ar1 . . . Arr Ar r+1 . . . Arn br łł
Ai1 . . . Air Ai r+1 . . . Ain bi



C C C



x1, . . . , xn r C



x1 x2 n xn

ł ł
A11 . . . A1r A1 r+1 . . . A1n b1
ł ł
. . .
ł ł
rzC = rz
ł
Ar1 . . . Arr Ar r+1 . . . Arn br łł
Ai1 . . . Air Ai r+1 . . . Ain bi
ł ł
A11 . . . A1r A1 r+1 . . . A1n b1 - A11x1 - . . . - A1nxn
ł ł
. . .
ł ł
= rz
ł
Ar1 . . . Arr Ar r+1 . . . Arn br - Ar1x1 - . . . - Arnxn łł
Ai1 . . . Air Ai r+1 . . . Ain bi - Ai1x1 - . . . - Ainxn

ł ł
A11 . . . A1r A1 r+1 . . . A1n 0
ł ł
. . .
ł ł
= rz
ł łł
Ar1 . . . Arr Ar r+1 . . . Arn 0
Ai1 . . . Air Ai r+1 . . . Ain bi - Ai1x1 - . . . - Ainxn





C r


i r < i d" m



rzA = rzC = r m


n - r xr+1, . . . , xn


rzC > rzA i r < i d" m


rzC = r + 1 1 r i



x + y + z = 1
x + y + z = 2
x -  + z = 0


ł ł ł ł

1 1 1 1 1 1
3 2 = 1

ł łł ł łł

rz 1 1  = rz 0 0  - 1 =
2  = ą1
1 - 1 0 - - 1 0


ł ł ł ł
1 1 1 1 1 1 1 1
ł łł ł łł
rz 1 1  2 = rz 0 0  - 1 1 = 3
1 - 1 0 0 - - 1 0 -1


 = ą1










V





"x, y " x + y
V







 K R C



x " V  x


V K






V


V




a + ( b + c) = (a + b) + c



x + 0 = x


"x " V, "y " V ; x + y = 0



a + b = b + a



1
"x " V, "ą,  " K
1x = x , ą(x) = (ą)x


"x, y " V, "ą,  " K
(ą + )x = ąx + x , ą(x + y) = ąx + ąy


0


-x x + (-x) = 0



R


C




"x " V "ą " K

ąx = 0 ! ą = 0 (" x = 0

(-1)x = -x







0x = (0 + 0)x = 0x + 0x


-0x
0 = 0x

ą 0 = ą( 0 + 0) = ą 0 + ą 0


-ą 0
ą 0 = 0



ą = 0


ąx = 0 ą-1
x = ą-1 0 = 0


ą = 0 x = 0


x + (-1)x = 1x + (-1)x = (1 - 1)x = 0x = 0

(-1)x = -x




a, b, . . . , g
ąa +  b + . . . + łg
ą, , . . . ł " R(C)





a, b, . . . , g ą, , . . . ł " R(C)

ąa +  b + . . . + łg = 0




a, b, . . . , g
ąa +  b + . . . + łg = 0 ! ą =  = . . . = ł = 0





W V

W






W V V
"x, y " W, "ą " R(C)
x + y " W , ąx " W



W 0x


(-1)x W





H V



H H L(H)





x = 0 H = { {y " V ; "ą " R, y = ąx} = L({x})
x}


x



x y H = {x, y} {z " V ; "ą,  "


R, z = ąx + y} = L(H)


x y





H ą" V V



W W = L(H)


H W





n V n + 1


n V n = dimV









0





n n

e1, e2, . . . , en



e1, e2, . . . , en






x " V

x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen , x1, . . . , xn " R(C)



n + 1 x e1, dots, en  1, . . . , n

0
x + 1e1 + 2e2 + . . . + nen = 0


 = 0  = 0 1e1 + 2e2 + . . . + nen = 0




1 n
x = - e1 - . . . - en
 
i
(xi = - ) = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen



x = 1e1 + . . . + nen


(x1 - 1)e1 + . . . + (xn - n)en = 0


ei xi = i x







(x1, . . . , xn)
x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen

x (e1, e2, . . . , en)



n






ł ł
x1
ł ł
x2
ł ł
x =
ł łł
. . .
xn



n



Rn Cn n n 1


ł ł ł ł ł ł
x1 y1 x1 + y1
ł ł ł ł ł
x2 y2 x2 + y2 ł
ł ł ł ł ł ł
x + y = + =
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
xn yn xn + yn


ł ł ł ł
x1 x1
ł ł ł ł
x2 x2
ł ł ł ł
x = =
ł łł ł łł
. . . . . .
xn xn




H V n



H n V



W V
dimW d" dimV



dimW = dimV V = W


n
x = xiei = xiei
i-1






1, . . . , n







n n




n n

A = (e1, . . . , en)
B = (e , . . . , e )
1 n



A A
ł ł ł ł
1 0
ł ł ł ł
0 1
ł ł ł ł

ł ł ł ł
e1 = 0 , e2 = 0 ,
ł ł ł ł
ł łł ł łł
. . . . . .
0 0



B B B A



A
n
k k k
e = T1 ek = T1 ek , e = T2 ek , . . .
1 2
k=1



T n n



Tjk


xi T


ł ł
1 1 1
T1 T2 . . . Tn
ł łł
(e , . . . , e ) = (e1, . . . , en) . . . . . . . . . . . .
1 n
n n n
T1 T2 . . . Tn


(e , . . . , e )
1 n
1e + . . . + ne = 0 ! 1 = . . . = n = 0
1 n

A
ie = iTikek
i


A iTik = 0 n

n
ł ł ł ł ł ł
1 1 1
T1 T2 . . . Tn 1 0
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . . . . . . . . = . . .
n n n
T1 T2 . . . Tn n 0



 det(T ) = 0




i = 0


B


A
-1
ei = (T )ke
k
i






A B
i
x = xiei = x e
i



-1
A B ei = (T )ke
k
i
-1 i
x = xi(T )ke = x e
k i
i




i -1 -1
x = xi(T )k = (T )kxi
i i


ł ł ł ł ł ł
1 -1 -1 -1
x (T )1 (T )1 . . . (T )1 x1
1 2 n
2 -1 -1 -1
ł ł ł
x (T )2 (T )2 . . . (T )2 ł ł x2 ł
1 2 n
ł ł ł ł ł ł
=
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
n -1 -1 -1
(T )n (T )n . . . (T )n xn
x
1 2 n


-1
X = T X













e = 2e1 - 2e2 + e3
1

e = 3e1 + 4e2
2


e = 8e1 + e2 + 2e3
3


ł ł
2 3 8
ł łł
(e e e ) = (e1e2e3) -2 4 1
1 2 3
1 0 2


T
ł ł
-8 6 29
-1
ł łł
T = -5 4 18
4 -3 -14


ł ł ł ł ł ł
x -8 6 29 x
ł łł ł łł ł łł
y = -5 4 18 y
4 -3 -14 z
z



e1
ł ł ł ł ł ł
-8 6 29 1 -8
ł łł ł łł ł łł
-5 4 18 0 = -5
4 -3 -14 0 4









A V W


R C
"x, y " V , "ą " R(C)
A(x + y) = A(x) + A(x)
A(ąx) = ąA(x)



A(x) =

Ax


A 0 = A0( 0) = 0(A 0) = 0



Z ą" V V Z A(Z) ą" A(V )


A(Z) ą" W W


A(Z)
"x, y " A(Z), "ą,  " R(C), ąx + y " A(Z)

"x , y " Z ; Ax = x , Ay = y


ąx + y = ąAx + Ay = Aąx + Ay = A(ąx + y ) = Az , z " Z


A(Z) A(Z)


V A(V ) ą" W





V A : V W Im(A) =


A(V ) " W A-1( 0) = {x " V ; Ax = 0}


A Ker(A) " V



Im(A) Ker(A)



x, y " Ker(A) ą,  " R(C) ąx + y " Ker(A) A(ąx + y) =

ąAx + Ay = ą 0 +  0 = 0




A n V m




W (e1, . . . , en) (f1, . . . , fm) V W


V W
Aei " W i = 1, . . . , n






W "i = 1, . . . , n m Aj, j = 1, . . . , m
i
Aei = Ajfj
i


Aj m n
i



x = xiei " V
Ax = A(xiei) = xiAei = xiAjfj = Ajxifj
i i


Ajxi, j = 1, . . . , m Ax W
i




y = Ax , yj = Ajxi
i




ł ł ł ł ł ł
y1 A1 A1 . . . A1 x1
1 2 n
ł ł ł
y2 A2 A2 . . . A2 ł ł x2 ł
1 2 n
ł ł ł ł ł ł
=
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ym Am Am . . . Am xn
1 2 n




A
(e1, e2, e3)
Ae1 = 2e1 - 2e3
Ae2 = e1 + e2
Ae3 = -e1 + 2e2 + 3e3


x y z A

ł ł ł ł
2 1 -1 x
ł łł ł łł
0 1 2 y
-2 0 3 z



g Ag = 0

ł ł ł ł ł ł ł ł ł ł
xA 0 2 1 -1 x 0


ł łł ł łł ł łł ł łł ł łł
yA = 0 = 0 1 2 y = 0
zA 0 -2 0 3 z 0






0



ł ł ł ł
2 1 -1 2 1 -1 0
ł łł ł łł
rz 0 1 2 = rz 0 1 2 0 = 2
-2 0 3 -2 0 3 0


n







Ker(A) V


2x + y = z
y = -2z



t = z Ker(A)
ł ł
3/2t
ł łł
-2t , t " R
t









Im(A) xA = yA - zA


Im(A)
ł ł
t - s
ł łł
t , t, s " R
s





V A : V W
dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = dimV




A : V V



n n
ł ł
1 1 1
T1 T2 . . . Tn
2 2 2
ł
T1 T2 . . . Tn ł
ł ł
(e1, . . . , en) (e , . . . , e ) = (e1, . . . , en)
1 n
ł łł
. . . . . . . . . . . .
n n n
T1 T2 . . . Tn



y = AX (e1, . . . , en)
yj = Ajxi
i


k -1 k -1
x = (T )kxl y = (T )kyl
l l

l l
xk = Tlkx , yk = Tlky


yj = Ajxi
i

l i m -1
Tljy = AjTmx ( T )
i
-1 l -1 i m
(T )sTljy = (T )sAjTmx
j j i
s l -1 i m
l y = (T )sAjTmx
j i
s -1 i m m
y = (T )sAjTmx = Amsx
j i


A
-1
A = T AT


ł ł
2 3 8
ł łł
T = -2 4 1
1 0 2


ł ł
2 1 -1
ł łł
A = 0 1 2
-2 0 3


ł ł ł ł ł ł
-8 6 29 2 1 -1 2 3 8
ł łł ł łł ł łł
A = -5 4 18 0 1 2 -2 4 1
4 -3 -14 -2 0 3 1 0 2
ł ł ł ł
-8 6 29 1 10 15
ł łł ł łł
= -5 4 18 0 4 5
4 -3 -14 -1 -6 -10
ł ł
-37 -230 -380
ł łł
= -23 -142 -235
18 112 185


ł ł ł ł ł ł
-37 -230 -380 -370 -230 -380 -370 -230 -10
ł łł ł łł ł łł
rzA = rz -23 -142 -235 = rz -230 -142 -235 = rz -230 -142 -5
18 112 185 180 112 185 180 112 5
ł ł ł ł
-10 -6 0 -10 -6 0
ł łł ł łł
= rz -50 -30 0 = rz 0 0 0 = 2
180 112 5 180 112 5



dim(Ker(A)) dim(Im(A))





A, B : V W


ą,  ąA + B :
W





A B



A : V W B : W Z





C = BA : V Z C x

Cx = BAx = B(A(x))



V W Z n m k

j j
m n Aj k m Bi k n Ci
i


C A B
j j
Ci = Bl Al
i









g : V V R(C)




g
g(x, ąy + z) = ąg(x, y) + g(x, z)


g
g(ąy + z, x) = ąg(y, x) + g(z, x)


g
g(ąy + z, x) = ąg(y, x) + g(z, x)


g(x, y) = 0 ! g(y, x) = 0










g(x, y) = g(y, x)


g(x, y) = g(y, x)



















x, y
g(x, y) = 0


x Ą" y






g(x, x) > 0 x = 0









|x| = g(x, x)






(e1, . . . , en)
gij = g(ei, ej)


n n

gij = g(ei, ej) = g(ej, ej) = gji





gij = g(ei, ej) = g(ej, ej) = gji


y = yiei x = xiei R
g(y, x) = g(yiei, xjej) = yigijxj


g(y, x) = yT gx

C
g(y, x) = g(yiei, xjei) = yigijxj



g(y, x) = y gx



g n n x n 1 yT y 1 n


1 1





x = xiei y = yiei

g(x, y) = yigijxi


i -1 j
x = (T )i xi , xi = Tjix
j


j j
l k l k l k
g(x, y) = yigijxi = Tliy gijTk x = y TligijTk x = y glkx


j
glk = TligijTk


T
g = T gT


C
g(x, y) = yigijxi


i
j j
k l k l k
l
g(x, y) = yigijxi = Tliy gijTk x = y T gijTk x = y glkx
l

i
j

glk = T gijTk , T gT
l




g


g








gij = ij

n
|x|2 = g(x, x) = xixi
i=1


ł ł
2 3 8
ł łł
T = -2 4 1
1 0 2


ł ł ł ł ł ł
2 -2 1 1 0 0 2 3 8
ł łł ł łł ł łł
g = 3 4 0 0 1 0 -2 4 1
8 1 2 0 0 1 1 0 2
ł ł ł ł
2 -2 1 2 3 8
ł łł ł łł
= 3 4 0 -2 4 1
8 1 2 1 0 2
ł ł
9 -2 16
ł łł
= -2 25 28
16 28 69












1
g(x, y) = (g(x + y, x + y) - g(x - y, x - y))
4


1 1 1
g(x, y) = g(x + y, x + y) - g(x - y, x - y) + g(x + iy, x + iy) - g(x - iy, x - iy)
4 i i


g(x, x) g(x, y)



g(x, x) = g(x, x)









g(x, x) = s1(x1)2 + s2(x2)2 + . . . + sn(xn)2



g(x, x) = s1x1x1 + s2x2x2 + . . . + snxnxn = s1|x1|2 + s2|x2|2 + . . . + sn|xn|2


gij


si +1, -1 0


s1 sr = 1 sr+1 sr+q = -1 sr+q+1 sn = 0


g r q n - q - r




g11 = 0




i gii = 0



gii = 0 gij = 0 g12 = 0




2g12x1x2 x1

yi x1 = y1 - y2 x2 = y1 - y2 yi = xi, i > 2

g(x, x) = 2g12(y1)2 - 2g12(y2)2 + . . .


g11 = 0




g11 = 0

n
g(x, x) = g11(x1)2 + 2g12x1x2 + . . . 2g1nx1xn + gijxixj
i,j=2
n n
= g11(x1)2 + 2 g1ix1xi + gijxixj
i=2 i,j=2
n n
g1i
= g11 (x1)2 + 2 x1xi + gijxixj
g11
i=2 i,j=2
2 2
n n n
g1i g1i
= g11 x1 + xi - xi + gijxixj
g11 g11
i=2 i=2 i,j=2

n g1i
y1 = x1 + xi, yi = xi, i > 2
i=2
g11
n
g1i n g1j n
= g11(y1)2 - yi yj + gijyiyj
g11 g11 i,j=2
i=2 j=2
n
g1ig1j
= g11(y1)2 + gij - yiyj
g11
i,j=2




g11 n - 1 n - 1



gij



g11 = 0







0

t
g(x, x) = gii(xi)2
i=1



t n


"1
xi
|g11
t
g(x, x) = si(xi)2, si = ą1
i=1





t
g(x, x) = si(xi)2, si = ą1
i=1



t

g(x, x) = (xi)2
i=1



g(x, x) < 0



ł ł
1 2 2
ł łł
g = 2 7 -2
2 -2 7


g(x, x) = (x1)2 + 4x1x2 + 4x1x3 + 7(x2)2 - 4x2x3 + 7(x3)2
= (x1)2 + 4x1x2 + 4x1x3 + 7(x2)2 - 4x2x3 + 4(x3)2
2
= x1 + 2x2 + 2x3 - 4(x2)2 - 4(x3)2 - 8x2x3 + 7(x2)2 - 4x2x3 + 7(x3)2
y1 = x1 + 2x2 + 2x3 , y2 = x2 , y3 = x3
= (y1)2 + 3(y2)2 - 12y2y3 + 3(y3)2
= (y1)2 + 3 (y2)2 - 4y2y3 + 3(y3)2
2
= (y1)2 + 3 y2 + 2y3 - 12(y3)2 + 3(y3)2
z1 = y1 , z2 = y2 - 2y3 , z3 = y3
= (z1)2 + 3(z2)2 - 9(z3)2
"
t1 = z1 , t2 = 3z2 , t3 = 3z3
= (t1)2 + (t2)2 - (t3)2



ł ł
1 0 0
ł łł
g = 0 1 0
0 0 -1



ł ł ł ł ł ł
t1 1 2 2 x1
" "
ł łł ł łł ł łł
t2 0 3 -2 3 x2
t3 0 0 3 x3



ł ł ł ł ł ł ł ł
1 0 0 1 2 2 1 2 2
1 0 0
" " "
ł łł ł łł ł łł ł łł
2 3 0 0 1 0 0 3 -2 3 = 2 7 -2
"
0 0 -1
2 -2 3 3 0 0 3 2 -2 7







t1
t2
ł ł
cos Ć - sin Ć 0
ł łł
T = sin Ć cos Ć 0
0 0 1

ł ł ł ł ł ł ł ł
cos Ć sin Ć 0 1 0 0 cos Ć - sin Ć 0 1 0 0
ł łł ł łł ł łł ł łł
g = - sin Ć cos Ć 0 0 1 0 sin Ć cos Ć 0 = 0 1 0 = g
0 0 1 0 0 -1 0 0 1 0 0 -1









n
g(x, x) = (xi)2, si = -1, 0, 1
i=1

1 r -1


q n - p - q


(r, q, n - q - p)



(+1, +1, +1) (3, 0, 0)


(+1, -1, -1, -1) (1, 3, 0)










g(ei, ej) = gij = 0 i = j




g(ei, ei) = gii = ą1









gij = ij






n
g(a, b) = aibi = a b
i=1
a a = |a|2








g(a, b) = bigijaj = biai = bjaj



ai = gijaj










ai = gijai = ijaj = ai







a b = |a|| b| cos Ć



cos
a b
cos Ć =
|a|| b|



-1 d" cos Ć < 1





"x, y " V
x y d" |x||y|




y = 0 y = 0





f() = (x + y) (x + y)




" " R, f()|ge0


f()
f() = 2|y|2 + 2x y + |x|2



" = 4(x y)2 - 4|y|2|x|2 d" 0






2x y d" 2|x||y|

|x|2 + |y|2
(x + y) (x + y) d" (|x| + |y|)2
|x + y| d" |x| + |y|







e = Tijej
i


e e = ij
i j
e e = Tikek Tjlel = TikTjlek el = TikTjlkl = TikklTjl = ij
i j


T
T T =



T
T g T = g g g




T T -1
T T = ! T = T




O(n)




1


SO(n)



(e , e , e )
1 2 3



(e1, e2, e3)


-1





ijk
lmp ijk
= gilgjmgkp = iljmkp =
ijk lmp





ilm l m m l
= jk - j k ,
ijk

j j
ijm m m m m m
= jk - j k = 3k - k = 2k ,
ijk


ijk k
= 2k = 6 ,
ijk











c = a b



c = ciei
ijk
ci = ci = ajbk
ijk


a b a b
a (a b) = aici = ai ajbk = aiajbk = - aiajbk
ijk ijk jik
= - ajaibk = - aiajbk = -a (a b) = 0
ijk ijk


a Ą" (a b) b Ą" (a b)

a b = - b a

ajbk = - akbj
ijk ikj


a b a b

j
ijk k k j
cici = ajbk albm = l m - l m ajbkalbm = alalbmbm - amblalbm = aa b b - (a b)2
ilm
= |a|2| b|2 - (|a|| b| cos Ć)2 = |a|2| b|2(1 - cos2 Ć) = |a|2| b|2 sin2 Ć

|a b| = |a|| b| sin Ć



a b




E V





AB



V AB " V


A x A

AB x AB = x


A B C AB + BC = AC


AA = 0
AB = -BA





d(A, B) = |AB| = d(B, A)




O



X



OX X


OX



X X










A
ł ł
a1
ł
OA = a2 łł
a3


ł ł
c1
ł
c = c2 łł
c3


X
ł ł ł ł
x1 a1 + c1
ł ł
OX = x2 łł = OA + c = a2 + c2 łł ,  " R
x3 a3 + c3



 = 0 A






A
ł ł
a1
ł
OA = a2 łł
a3



c d

X
ł ł ł ł
x1 a1 + c1 + d1
ł
ł
OX = x2 łł = OA + c + d = a2 + c2 + d2 łł , ,  " R
x3 a3 + c3 + d3


X AX


c d




n = 0 n Ą" c n Ą" d

OX n = OA n


x1n1 + x2n2 + x3n3 = a1n1 + a2n2 + a3n3









A B C AB AC


A B C








Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
algebra skrypt dla studentów UW
projekt2 skrypt Kopia
Algebra Liniowa Skrypt
8 37 Skrypty w Visual Studio (2)
MATLAB cw Skrypty
syst oper skrypty 2
Skrypt Latex
Administracja wodna II RP kopia U W II RP
skrypt rozdz 2 4
Biochemia zwierząt skrypt UR
T2 Skrypt do lab OU Rozdział 6 Wiercenie 3
Skrypt 1

więcej podobnych podstron