LIM 2005 : Zestaw zadań nr 1
1. Dany jest wiek całkowity x oraz
px =� 0,83904 , px+�1/2 =� 0,893388 , px+�1 =� 0,95 .
3 2
Oblicz px oraz px +�2 stosując założenie o jednostajnym rozkładzie śmierci w ciągu roku.
Podaj najbliższą wartość.
(A) px =� 0,94 , px+�2 =� 0,92
(B) px =� 0,96 , px+�2 =� 0,94
(C) px =� 0,96 , px+�2 =� 0,92
(D) px =� 0,98 , px+�2 =� 0,94
(E) px =� 0,98 , px+�2 =� 0,91
2. W populacji B natężenie wymierania m�( B) jest większe od natężenia wymierania m�( A) w
x x
populacji A, jednostajnie o m� >� 0 , dla każdego wieku x tzn. m�( B) -� m�( A) =� m� . Niech
x x
ponadto M(s) oznacza funkcję tworzącą momenty zmiennej T(x) , dla pewnego wieku x ,
( B)
o�
w populacji A. Wówczas e wyraża się wzorem:
x
1 1 m�2 1 m�2
(A) (1-� M(-�m�)) , ( B) (1-� M(-� )) , (C) (1-� M(-�m� +� ))
m� m� 2 m� 2
1
(D) (1-� M(-�em�)) (E) wśród powyższych nie ma dobrej odpowiedzi.
m�
3. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której
śmiertelnością rządzi prawo Gompertza
m� =� 0.6ex
x
dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku , w którym gęstość rozkładu
zmiennej X jest największa). Podaj najbliższą wartość.
(A 0,59 (B) 0,67 (C) 0,75 (D) 0,83
(E) 0,91
4. W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym
w� =� 150, dzieckiem jest się do wieku d . W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do
wieku p .W wieku p przechodzi się na emeryturę i pozostaje na niej aż do śmierci.
Przebywanie w każdym z wymienionych trzech stanów (dziecko, pracownik, emeryt)
może przerwać ponadto tylko śmierć. Wiadomo, że noworodek jest dzieckiem przeciętnie
przez 48 lat, młody pracownik ( a więc osoba w wieku d ) pracuje przeciętnie 25 lat,
wreszcie młody emeryt (osoba w wieku p ) pobiera emeryturę przeciętnie przez 30 lat .
Oblicz p -� d .
(A 28 (B) 29 (C) 30 (D) 31
(E) 32
5. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji
mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji:
0,9g(t) 0 Ł� t <� 50
��
~
g(t) =�
��1,2g(t) 50 Ł� t.
��
opisuje ona śmiertelność kobiet z tej populacji.
~(50)
Podaj z dokładnością do 0,01 różnicę s(50) - s .
(A) 0,05 (B) 0,06 (C) 0,07 (D) 0,08
(E) 0,09
6. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci
m�x+�t =� A +� B �� 2x+�t .
Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat,
jeśli obecnie dwa życia mają (y) lat, a trzy kolejne odpowiednio (y+1), (y+2) oraz (y+5)
lat. Znane są prawdopodobieństwa dla pojedynczych osób:
py+�1 =� 0,952707 py+�2 =� 0,930628
5 5
py+�3 =� 0,887992 py+�4 =� 0,808492
5 5
Podaj najbliższą wartość.
(A) 0,345 (B) 0,506 (C) 0,552 (D) 0,698
(E) 0,785
7. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i
jest stała aż do następnych urodzin.
Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po skończeniu
61 lat i 8 miesięcy a przed skończeniem 62 lat i 4 miesięcy. Dane są:
q60 =� 0,01 q61 =� 0,03 q62 =� 0,05 .
Przyjmij, że 1 miesiąc to 1/12 roku. Podaj najbliższą wartość.
(A) 26067 (B) 26071 (C) 26075 (D) 26079
(E) 26083
8. W danej populacji intensywność śmiertelności mężczyzn jest dla każdego wieku o połowę
wyższa niż w przypadku kobiet. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany
mężczyzna w wieku (x) będzie żył co najmniej tak długo, jak losowo wybrana kobieta w
wieku (x).
(A) 0,27 (B) 0,30 (C) 0,33 (D) 0,37
(E) 0,40
9. Wiadomo, że w przedziale wieku (x, x +�1) śmiertelność ma liniowy rozkład, czyli gęstość
o
śmiertelności g(t) =� ct , dla t ��[0,1) oraz c>0. Znajdz
e wiedząc, że px =� 0.925 oraz
x
o
e =� 8 . Podaj najbliższą wartość.
x+�1
(A) 8,30 (B) 8,325 (C) 8,35 (D) 8,375
(E) 8,40
10. O populacji 1000 osób w wieku x lat wiadomo, że:
m�x+�u =� 0,03046 m�x+�1+�u =� 0,07257 m�x+�2+�u =� 0,10536 ,
gdzie x jest całkowite oraz u ��<� 0 , 1) .
Wyznacz oczekiwane trwanie życia tej populacji (łączną liczbę przeżytych lat) do
osiągnięcia wieku x+3 lat. Podaj najbliższą wartość.
(A) 2685 (B) 2720 (C) 2775 (D) 2810
(E) 2875