Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa I LO i I Technikum- zakres podstawowy
Etap wojewódzki  04.03.2006 rok
Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Zad 1 ( 6 pkt)
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8 cm. Wewnątrz tego kwadratu wybrano punkty M
i K tak, by trójkąty ABM i CDK były równoboczne. Oblicz pole części wspólnej trójkątów
ABM i CDK.
Zad.2 ( 6 pkt)
- a + b + c a - b + c a + b - c
Wiadomo, \
e = = .
a b c
Oblicz wartość wyra\
enia
(a + b)(b + c)(c + a)
abc
Zad. 3 (6 pkt)
Cenę przejazdu taksówką firmy A opisuje funkcja f (x) = 2,5x + 5 gdzie x oznacza liczbę
przejechanych kilometrów. Na trasie dłu\
szej ni\
25 kilometrów firma ta udziela rabatu w
wysokości 10% ceny całego przejazdu. Firma B cenę przejazdu swoimi taksówkami oblicza
według wzoru g(x) = 2x + 8 na trasie o dowolnej długości.
a) Z usług której firmy nale\
y skorzystać, je\
eli chcemy się przemieścić na odległość 30
kilometrów i zapłacić ni\
szÄ… kwotÄ™ za przejazd,
b) Wyznacz długość trasy na której kwota zapłacona za przejazd taksówką obu firm jest
taka sama.
Zad 4 ( 6 pkt)
W trapezie ABCD łączymy środek E boku AD z końcami ramienia BC. Oblicz pole
powstałego trójkąta BEC, wiedząc, \
e pole trapezu równa się 16cm2.
Czy zauwa\
asz jakiś związek pomiędzy polem trójkąta i polem trapezu? Zbadaj, czy jest on
spełniony dla ka\
dego trapezu i tak powstałego trójkąta.
Zad 5 ( 6 pkt)
Je\
eli liczbę dwucyfrową podzielimy przez sumę jej cyfr, to otrzymamy 6 i resztę 3. Jeśli zaś
podzielimy tę liczbę przez sumę cyfr powiększoną o 2 to otrzymamy 5 i resztę 5.
Znajdz
tÄ™ liczbÄ™.
śyczymy powodzenia
Kryteria oceniania dla klasy I LO i I Technikum zakres podstawowy
Nr Pkt
Wykonana czynność
zad
1 Analiza zadania, rysunek. Niech L i N będą wierzchołkami otrzymanego 0,5
czworokÄ…ta
Zauwa\
enie, \
e czworokÄ…t KLMN jest rombem 0,5
1
Obliczenie odległości wierzchołka M rombu od boku AB: 4 3
1
Obliczenie odległości wierzchołka K od boku AB: 8 - 4 3 = 4(2 - 3)
1
Obliczenie długości przekątnej KM rombu: 4 3 - 4(2 - 3) =8( 3 -1)
1
8(3 - 3)
Obliczenie długości drugiej przekątnej rombu :
3
64 1
Obliczenie pola rombu : (2 3 - 3 )
3
2 Zapisanie ułamków w postaci : 1
- a + b + c b + c a - b + c a + c a + b - c a + b
= -1+ , = -1+ , = -1+
a a b b c c
Zapisanie równości ułamków wynikającej z poprzedniego zapisu: 1
b + c a + c a + b
= =
a b c
Zapisanie sum występujących w licznikach ułamków w postaci iloczynów: 1
b + c = ka, a + c = kb, a + b = kc, gdzie k " !
Dodanie stronami równań i zapisanie równania : 2(a + b + c) = k(a + b + c) 0,5
0,5
Rozpatrzenie dwóch przypadków: k = 2 lub (a + b + c) = 0
Obliczenie wartości wyra\
enia dla pierwszego przypadku: 8 1
Obliczenie wartości wyra\
enia dla drugiego przypadku: -1 1
3 Obliczenie f(30) i g(30); 72 złote i 68 złotych 1
Wybór firmy z której usług nale\
y skorzystać 0,5
Rozpatrzenie dwóch przypadków: x>25 km lub x d" 25 km 0,5
Zapisanie równania dla I przypadku ; (2,5x + 5) - 0,1(2,5x + 5) = 2x + 8 1
Rozwiązanie równania i udzielenie odpowiedzi : x = 14, nie spełnia zało\
enia 1
Zapisanie równania dla II przypadku; 2,5x + 5 = 2x + 8 1
Rozwiązanie równania i udzielenie odpowiedzi: x =6, spełnia zało\
enie 1
4 Analiza zadania, rysunek. Niech a i b to długości podstaw, a h to długość 0,5
wysokości
Uzasadnienie, \
e długości wysokości poprowadzone w trójkątach ABE i DCE z 2
wierzchołka E stanowią połowę długości wysokości trapezu
Zapisanie pola trapezu jako sumy pól powstałych trójkątów: 1
1 h 1 h
PABCD= a + b + PBEC
2 2 2 2
1
1
Przekształcenie równania do postaci: (a + b)h + PBEC = 16 , czyli
4
1
Å"16 + PBEC = 16
2
Obliczenie pola trójkąta BEC; 8cm2 0,5
 Zapisanie końcowego wniosku i jego uzasadnienie 1
5 0,5
Zapisanie zało\
enia: x "{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, y "{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2
10x + y = 6(x + y) + 3
Å„Å‚
Zapisanie układu równań:
òÅ‚10x + y = 5(x + y + 2) + 5
ół
Rozwiązanie układu równań: x=7, y = 5 2
Sprawdzenie, \
e otrzymane liczby spełniają warunki zadania 1
Udzielenie odpowiedzi: Liczbą dwucyfrową spełniająca warunki zadania jest 0,5
liczba 75
Za poprawne rozwiÄ…zanie zadania metodÄ… innÄ… ani\
eli opisana w schemacie punktowania,
nale\
y przyznać maksymalną liczbę punktów. Je\
eli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną
i popełnił błędy to nale\
y określić i ocenić czynności równowa\
nie do wymienionych w
schemacie. Mo\
na przyznawać połówki punktów.
 Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa II LO i II, III Technikum- zakres podstawowy
Etap wojewódzki  04.03.2006 rok
Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Zad.1 ( 6 pkt)
1- sin4Ä… - cos4 Ä… 2
Udowodnij, \
e =
1- sin6Ä… - cos6Ä… 3
Zad. 2 (6 pkt)
Wyka\
, \
e dla pierwiastków x1 , x2 x3 równania ax3 + bx2 + cx + d = 0, a `" 0 prawdziwe są
- b d
wzory: x1 + x2 + x3 = oraz x1x2x3 = -
a a
Zad 3 (6 pkt)
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - 1) jest równa 2, a reszta z dzielenia
wielomianu W(x) przez dwumian (x - 3) jest równa 5. Podaj wielomian R(x), który jest resztą
z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian ( x2- 4x + 3).
Zad. 4 (6 pkt)
Trójkąt o bokach a ,b ,c został rozcięty na romb i dwa trójkąty. Oblicz długości boków tych
figur.
Zad.5 ( 6 pkt)
Na kole o promieniu r =1 został opisany trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x , y.
Napisz wzór funkcji opisującej zale\
ność y od x i narysuj wykres otrzymanej funkcji.
śyczymy powodzenia
 Kryteria oceniania dla klasy I I LO i II , III Technikum  zakres podstawowy
Nr Pkt
Wykonana czynność
zad
1 0,5
sin2Ä… + cos2Ä… - sin4Ä… - cos4Ä…
Zapisanie ułamka w postaci
sin2Ä… + cos2Ä… - sin6Ä… - cos6 Ä…
2
sin2Ä…(1- sin2 Ä…) + cos2Ä…(1- cos2Ä…)
Zapisanie ułamka w postaci
sin2Ä…(1- sin4 Ä…) + cos2Ä…(1- cos4Ä…)
1
Zapisanie licznika uÅ‚amka w postaci 2sin2Ä… Å" cos2Ä…
2
Zapisanie mianownika uÅ‚amka w postaci 3sin2Ä… Å" cos2Ä…
2 0,5
Obliczenie ilorazu:
3
2 1
Zapisanie lewej strony równania w postaci a(x - x1)(x - x2)(x - x3)
Przekształcenie postaci iloczynowej do postaci 2
a[x3 - (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x - (x1x2x3)]
2
Zapisanie równań : - a(x1 + x2 + x3) = b oraz - ax1x2x3 = d
b d 1
Przekształcenie równań do postaci : x1 + x2 + x3 = - i x1x2x3 = -
a a
3 Znajomość twierdzenia o reszcie i zapisanie układu równań W(1) = 2 i W(3) = 5 1,5
1
Zapisanie wielomianu x2 - 4x + 3 w postaci iloczynowej (x - 3)(x -1)
Zapisanie wielomianu W(x) w postaci W (x) = (x - 3)(x -1)Q(x) + (ax + b) 1
1
3a + b = 5
Å„Å‚
Zapisanie układu równań
òÅ‚a + b = 2
ół
1 1 0,5
Rozwiązanie układu równań : a = 1 , b =
2 2
1 1 1
Zapisanie reszty R(x) = 1 x +
2 2
4 Analiza zadania, rysunek. 0,5
Zauwa\
enie i uzasadnienie, \
e powstałe trójkąty są podobne 1
1
CD
m b - m
Zapisanie proporcji = = , gdzie m to długość boku rombu , a
c - m m DB
D to wierzchołek rombu nale\
Ä…cy do boku BC
bc 1
Wyznaczenie m: m =
b + c
1
c2 b2
Wyznaczenie długości boków (c  m) i (b  m) : ,
b + c b + c
0,5
Å„Å‚ CD
b
=
ôÅ‚
DB c
Zapisanie układu równań
òÅ‚
ôÅ‚
CD + DB = a
ół
ab ac 1
Rozwiązanie układu równań: CD = , DB =
b + c b + c
5 Analiza zadania, rysunek 0,5
 Zapisanie długości przeciwprostokątnej w postaci ( x - r + y - r) czyli 0,5
(x + y  2)
1 1 1
Zapisanie pola trójkąta w dwóch postaciach: PABC = xy, PABC = (2x + 2y - 2)
2 2
Zapisanie równania xy = 2x + 2y - 2 0,5
2x - 2 1
Wyznaczenie y: y = dla x `" 2
x - 2
2 1,5
Zapisanie przepisu funkcji w postaci y = 2 + i wyznaczenie jej dziedziny
x - 2
Df= (2, " )
SporzÄ…dzenie wykresu funkcji 1
Za poprawne rozwiÄ…zanie zadania metodÄ… innÄ… ani\
eli opisana w schemacie punktowania,
nale\
y przyznać maksymalną liczbę punktów. Je\
eli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną
i popełnił błędy to nale\
y określić i ocenić czynności równowa\
nie do wymienionych w
schemacie. Mo\
na przyznawać połówki punktów.
 Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa IIILO i IV Technikum  zakres podstawowy
Etap wojewódzki  04.03.2006 rok
Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Zad 1 (6 pkt)
SporzÄ…dz
wykres funkcji
1+ x2 1+ x2
+1 - -1
2x 2x
y = x
1+ x2 1+ x2
+1 + -1
2x 2x
Zad 2 ( 6 pkt)
Dla jakiej wartości parametru m równanie (m -1)x2 + (m +1)x + (m -1) = 0 ma dwa ró\
ne
pierwiastki dodatnie?
Zad 3 (6 pkt)
W trójkącie prostokątnym długość wysokości i środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta
prostego oraz długość przeciwprostokątnej tworzą ciąg geometryczny, którego iloczyn
wyrazów jest równy 8.
Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Zad 4 ( 6 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian
bocznych wynosi 1200 . Oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Zad 5 ( 6 pkt)
W urnie znajduje się 8 kul białych i 4 czarne. Z urny wylosowano bez zwracania 5 kul.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, \
e stosunek liczby kul czarnych do liczby kul białych w
urnie zwiększył się.
śyczymy powodzenia
Kryteria oceniania dla klasy III LO i IV Technikum  zakres podstawowy
Nr Pkt
Wykonana czynność
zad
1 Wyznaczenie dziedziny funkcji: D=(0, " ) 0,5
2,5
1+ x 1- x
1+ x2 1+ x2
Przekształcenie wyra\
eń do postaci : +1 = i -1 =
2x 2x
2x 2x
2
1+ x - 1- x x, gdy 0 < x < 1
Å„Å‚
Zapisanie przepisu funkcji w postaci: y = x =
òÅ‚1,
1+ x + 1- x gdy x e" 1
ół
Wykonanie wykresu funkcji 1
2 Zapisanie układu warunków dla których równanie posiada dwa ró\
ne 0,5
m `" 1
Å„Å‚
pierwiastki:
òÅ‚
ół(m +1)2 - 4(m -1)2 > 0
2
1
ëÅ‚
Rozwiązanie układu : m " ,1 )*" (1,3)
ìÅ‚
3
íÅ‚
1
m
Å„Å‚ -1
ôÅ‚m -1 > 0
ôÅ‚
Zapisanie układu warunków, dla których pierwiastki są dodatnie:
òÅ‚
ôÅ‚- (m +1) > 0
ôÅ‚
ół m -1
Rozwiązanie układu nierówności : m " (-1,1) 2
1 0,5
Wyznaczenie m dla którego równanie posiada dwa ró\
ne pierwiastki: m " ( ,1)
3
3 Analiza zadania, rysunek. Niech h- długość wysokości, d  długość środkowej, 0,5
a a, b- długości przyprostokątnych, c - długość przeciwprostokątnej
0,5
Zapisanie równania h Å" hq Å" hq2 = 8gdzie q jest ilorazem ciÄ…gu i obliczenie
długości środkowej : d= 2
Zauwa\
enie, \
e długość środkowej jest długością promienia okręgu opisanego 1
na trójkącie, a tym samym stanowi połowę długości przeciwprostokątnej
Obliczenie długości przeciwprostokątnej, długości wysokości oraz obliczenie q: 0,5
c= 4, h = 1, q = 2
1
a Å" b = 4
Å„Å‚
Zapisanie układu równań
òÅ‚
2
óła + b2 = 16
1
Rozwiązanie układu równań : a = 8 - 4 3 , b = 8 + 4 3
Znajomość wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w okrąg: 0,5
c Å" h
r =
a + b + c
Obliczenie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt : 1
4 2
r = =
2 + 6
2 2 - 3 + 2 2 + 3 + 4
4 Analiza zadania, rysunek, niech np. 0,5
AB = a, AW = CW = BW = DW = b, BE = DE = h1 gdzie E jest
punktem wspólnym wysokości ścian bocznych poprowadzonych od
wierzchołków B i D i WF = h ( wysokość ściany bocznej), "BED = 1200
0,5
a2
Zapisanie h przy pomocy a i b : h = b2 -
4
0,5
a 6
Zapisanie h1 przy pomocy a : h1 =
3
Zauwa\
enie, \
e trójkąty BCE i WFC są podobne i zapisanie proporcji: 1
h1 h
=
a b
0,5
a2
b2 -
6
4
Zapisanie równania : =
3 b
1
a 3
Rozwiązanie równania ze względu na b: b =
2
1
a 2
Zapisanie h za pomocÄ… a : h =
2
Obliczenie cos², gdzie ² jest miarÄ… kÄ…ta nachylenia Å›ciany bocznej do 0,5
2
pÅ‚aszczyzny podstawy: cos ² =
2
0,5
Podanie miary kÄ…ta : 450
5 Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych 0,5
1 0,5
Obliczenie stosunku liczby kul czarnych do liczby kul białych:
2
Zauwa\
enie, \
e stosunek będzie większy gdy wylosujemy pięć kul białych lub 2
cztery kule białe i jedną czarną
2
8 8 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ + ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚5÷Å‚ ìÅ‚4÷Å‚ìÅ‚1 ÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Zapisanie prawdopodobieństwa:
12
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚5 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
14 1
Obliczenie prawdopodobieństwa:
33
Za poprawne rozwiÄ…zanie zadania metodÄ… innÄ… ani\
eli opisana w schemacie punktowania,
nale\
y przyznać maksymalną liczbę punktów. Je\
eli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną
i popełnił błędy to nale\
y określić i ocenić czynności równowa\
nie do wymienionych w
schemacie. Mo\
na przyznawać połówki punktów.