Opracowanie danych
pomiarowych
dla studentów realizujących
program Pracowni Fizycznej
Pomiar
Działanie mające na
celu wyznaczenie
wielkości mierzonej.
Do pomiarów
stosujemy przyrządy
pomiarowe  proste
lub zło\
one. Przyrządy
nie są idealne  mają
określoną
dokładność.
Dokładność przyrządów
pomiarowych
Przyrządy z podziałką
DOKA
ADNOŚĆ PRZYRZ
DU z podziałką określa
najmniejsza działka
7
Dokładność przyrządów
pomiarowych
Przyrządy z podziałką
DOKA
ADNOŚĆ PRZYRZ
DU z podziałką określa
najmniejsza działka
"x = 0.1cm
7
Dokładność przyrządów
pomiarowych
Przyrządy z podziałką
DOKA
ADNOŚĆ PRZYRZ
DU z podziałką określa
najmniejsza działka
"x = 0.1cm
7
(x0 - "x, x0 + "x)
DOKA
ADNOŚĆ PRZYRZ
DU=maksymalny błąd pomiaru
Oznacza to, \
e wyniki innych pomiarów tej samej długości
tym samym przyrządem w 100% będą się mieściły w przedziale
Dokładność przyrządów
pomiarowych
Przyrządy z podziałką
DOKA
ADNOŚĆ PRZYRZ
DU z podziałką określa
najmniejsza działka, ale&
7.1 7.2
7.15
7
7.15ą0.10 cm
Dokładność przyrządów
pomiarowych
Przyrządy z podziałką
DOKA
ADNOŚĆ PRZYRZ
DU z podziałką określa
najmniejsza działka, ale&
7.15ą0.05 cm
7.15
7
7.15ą0.10 cm
=> Czasem uzasadnione jest zawę\
enie:
z do
"x = 0.1cm "x = 0.05cm
Dokładność przyrządów
pomiarowych
Przyrządy z podziałką
DOKA
ADNOŚĆ PRZYRZ
DU z podziałką określa
najmniejsza działka, ale&
7.15ą0.05 cm
7.15
7
7.15ą0.10 cm
=> Czasem uzasadnione jest zawę\
enie:
z do
"x = 0.1cm "x = 0.05cm
Je\
eli mierzymy linijką niewielki przedmiot, to takie zawę\
enie
jest dopuszczalne, je\
eli taśmą mierniczą długość boiska 
!
takie zawę\
enie jest nadu\
yciem.
Dokładność przyrządów
pomiarowych i niepewność std.
Przyrządy z podziałką
"x
us (x) =
NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA
3
x0 - us (x), x0 + us (x)
( )
7
�ł "x "x �ł
x0 - , x0 +
�ł �ł
3 3
�ł łł
Wyniki innych pomiarów długości tego samego przedmiotu tym samym
przyrządem w 68% będą się mieścić w przedziale
Dokładność przyrządów
pomiarowych i niepewność std.
Przyrządy z podziałką - przykłady
Linijka
Dokładność
"x = 0.1cm
przyrządu
"x
Niepewność
us (x) = = 0.0577cm C" 0.058 cm
3
standardowa
Śruba mikrometryczna
"x = 1�m
Dokładność przyrządu
"x
Niepewność
us (x) = = 0.58�m
standardowa
3
Dokładność przyrządów
pomiarowych i niepewność std.
Analogowe mierniki elektryczne
Dokładność
(klasa miernika)�"(zakres pomiarowy)
"x =
przyrządu
100
Niepewność
"x
us (x) =
standardowa
3
Dokładność przyrządów
pomiarowych i niepewność std.
Analogowe mierniki elektryczne  przykład
Klasa 0.5
Zakres 30 V
Dokładność
0.5�"30
"x = = 0.15 V
przyrządu
100
Niepewność
"x
us (x) = = 0.0866 V C" ~0.087 V
standardowa
3
Dokładność przyrządów
pomiarowych i niepewność std.
Cyfrowe mierniki elektryczne
Dokładność
"x = C1 �"(wskazanie) + C2 �"(waga ostatniej cyfry)
przyrządu
Niepewność
"x
us (x) =
standardowa
3
Dokładność przyrządów
pomiarowych i niepewność std.
Cyfrowe mierniki elektryczne - przykład
Wskazanie: 599.9 mV
Wartości podane przez
producenta:
C1=0.03, C2=3
Dokładność
"x = 0.03�"599.9 + 3�"0.9 = 20.697 C" 21 mV
przyrządu
20.697
Niepewność
us (x) = =11.949 C" 12 mV
standardowa
3
Dokładność przyrządów
pomiarowych i niepewność std.
Urządzenia zliczające
Wskazanie: 8946132
Niepewność
us (N) = N = 8946132 = 6.952 C" 7.0
standardowa
Dokładność, błąd, niepewność
Dokładność  dotyczy urządzenia pomiarowego,
mówi o jego precyzji
Błąd  to ró\
nica między wartością rzeczywistą i
wartością zmierzoną
Niepewność  to statystyczne oszacowanie
błędu
" Ocena niepewności typu A
- metody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów
(obliczanie średnich, regresji itd.) - będzie :&
" Ocena niepewności typu B
- metody wykorzystujące wszystkie informacje o pomiarze oraz z
ródłach
jego niepewności (dokładność przyrządów pomiarowych) - było :&
Błędy pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy pojedynczy bezpośredni pomiar jednej wielkości
fizycznej danego obiektu
Błąd = wartość rzeczywista  wartość zmierzona
"x = x - x0
 Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Błędy pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar). Ka\
dy z tych pomiarów jest obarczony błędem
"xi = xi - x0
Oprócz powy\
szego w serii pomiarów (jako wynik powtórzeń)
występują :
Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
 Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Błędy pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Błędy przypadkowe  obserwujemy rozrzut wyników pomiaru wokół
wartości rzeczywistej x0 (znanej skądinąd)
x0 -"x x0 + "x
xi
x
x0
x0  us(x) x0+ us(x)
Przyczyny: niedokładność, zawodność ludzkich zmysłów, inne wykonanie
pomiaru, zakłócenia zewnętrzne itd.
 Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Błędy pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Błędy systematyczne  gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta
sama ró\
nica między wartościami zmierzonymi, a wartością rzeczywistą x0
(znaną skądinąd), ale rozrzut tych pomiarów jest niewielki
x0 -"x x0 -"x
xi
x
x0
x0  us(x) x0+us(x)
Przyczyny: zwykle wynikają z u\
ywanego przyrządu (np. błąd zera skali),
czasem z błędu wykonania pomiaru (za ka\
dym razem tak samo)
 Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Błędy pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Błędy grube  o takim błędzie mówi się, gdy ró\
nica między wynikiem
pomiaru i wartością rzeczywistą x0 jest drastycznie du\
a  takie pomiary
odrzucamy i nie analizujemy ich dalej
x0 -"x x0 -"x
xi
x
x0
x0  us(x) x0+us(x)
Przyczyny: na skutek nieumiejętności wykonania pomiaru, pomyłek
 "
n " [3,6]
"
"
n>6
Niepewność serii pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Średnia arytmetyczna
n
1
x =
"x
i
n
i=1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
 "
n " [3,6]
"
"
n>6
Niepewność serii pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Błąd maksymalny
n
1
"maxx = xi - x
x =
max
"x
i
n
i=1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
 "
n " [3,6]
"
"
n>6
Niepewność serii pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Błąd maksymalny
n
1
"maxx = xi - x
x =
max
"x
i
n
i=1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
 "
n " [3,6]
"
"
n>6
Niepewność serii pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Błąd maksymalny
n
1
"maxx = xi - x
x =
max
"x
i
n
i=1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
n " [3,6]
n>6
Niepewność serii pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Średnia arytmetyczna
n
1
x =
"x
i
n
i=1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
n " [3,6]
n>6
Niepewność serii pomiarów
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru (n>6)
n n
1 2
xi - x
( )
x =
"
"x
i
i=1
n
i=1
sx =
n -1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
n " [3,6]
n>6
Niepewność serii pomiaru
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar)
Odchylenie standardowe średniej (n>6)
n
n
n
1 2
2
xi - x
xi - x ( )
x = ( )
"
"
"x
i
i=1
n i=1
i=1
sx =
sx =
n n -1
n -1 ( )
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
Wynikiem pomiaru jest średnia, a jego niepewnością odch. std. średniej.
n " [3,6]
n>6
Niepewność serii pomiaru
i xi
kg/ms
10 - krotny pomiar współczyn-
nika lepkości powietrza 1 2.055E-05
dał następujące wyniki:
2 2.000E-05
3 1.988E-05
4 2.055E-05
n
5 2.000E-05
1
x =
"x
i
6 1.952E-05
n
i=1
7 2.032E-05
8 1.953E-05
n
2
xi - x
( ) 9 1.982E-05
"
i=1
sx =
10 2.020E-05
n -1
n=10 2.004E-05
n
wartość średnia 2.004E-05
2
xi - x
( )
"
od.std.xi 3.69547E-07
i=1
sx =
od. std. średniej 1.16861E-07
n n -1
( )
n " [3,6]
n>6
Niepewność serii pomiaru
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar, "xi - błąd pojedynczego pomiaru)
Średnia wa\
ona - wagą jest odwrotność błędu pojedynczego pomiaru
n
"w xi
i
a
i=1
wi =
xw =
2
n
"xi
( )
"w
i
i=1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
 "
n " [3,6]
"
"
n>6
Niepewność serii pomiaru
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar, "xi - błąd pojedynczego pomiaru)
Średnia wa\
ona - błąd maksymalny
n
n
"w xi
i
a
wi"xi
"
i=1
wi =
i=1
xw =
2
n "xw =
n
"xi
( )
"w
i
"w
i
i=1
i=1
x0 -"x x0 -"x
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
Wynikiem pomiaru jest średnia wa\
ona, a jego niepewnością błąd max.
n " [3,6]
n>6
Niepewność serii pomiaru
Eksperyment:
Wykonujemy wielokrotny pomiar jednej i tej samej wielkości
fizycznej, przy pomocy tego samego narzędzia (n - pomiarów, xi 
kolejny pomiar, "xi - błąd pojedynczego pomiaru)
Średnia wa\
ona - błąd średni kwadratowy
n
n
2
n
"w�
i i
"w xi
i
a
wi"xi
" i=1
i=1
�w =
wi =
i=1
xw = n
2
n "xw =
n
"xi
( )
n -1
( )
"w
i
"w
i
"w
i
i=1
i=1
i=1
�i = xi
x0 -"x x0 -"x - xw
x
x0 xi
x0  us(x) x0+us(x)
Wynikiem pomiaru jest średnia wa\
ona, a jego niepewnością bł. śr.kw.
a
Średnia wa\
ona - przykład
wi =
2
"xi
( )
i xi "xi wi xiwi "xiwi wi�i2
1 2.055E-05 7.09E-07 1.99086E+12 4.092E+07 1410978 6.100E-01
2 2.000E-05 6.45E-07 2.40316E+12 4.806E+07 1550212 1.317E-05
3 1.988E-05 6.63E-07 2.27646E+12 4.526E+07 1508795 3.073E-02
4 2.055E-05 7.34E-07 1.856E+12 3.815E+07 1362352 5.678E-01
5 2.000E-05 6.67E-07 2.24937E+12 4.499E+07 1499790 2.291E-05
6 1.952E-05 5.74E-07 3.03349E+12 5.922E+07 1741691 6.941E-01
7 2.032E-05 6.77E-07 2.18052E+12 4.430E+07 1476660 2.184E-01
8 1.953E-05 6.3E-07 2.51835E+12 4.919E+07 1586932 5.447E-01
9 1.982E-05 6.83E-07 2.14059E+12 4.243E+07 1463077 6.810E-02
10 2.020E-05 6.73E-07 2.20502E+12 4.455E+07 1484931 9.117E-02
n=10 2.28538E+13 457067532.2 15085416 2.8250076
n
średnia wa\
ona 2.000E-05
"w xi
i
n
i=1
xw =
wi"xi
n
"
błąd max. 6.60083E-07
i=1
n
"xw =
"w
i
n
2
i=1
"w�
i i
błąd średni kw. 1.17195E-07
"w
i
i=1
i=1
�w =
n
n -1
( )
"w
i
i=1
Prawo propagacji (przenoszenia)
niepewności
Wiele wielkości fizycznych nie da się zmierzyć pojedynczym
przyrządem bezpośrednio, ale wyznacza się metodą pomiaru
pośredniego. Wówczas mierzy się wielkości pośrednie (xk), a
Wielkość docelową (y) oblicza się ze wzoru:
2
�ł łł
"y
uc(y) =
"�ł"x u(xk )śł
�ł
k
k �ł
Prawo propagacji (przenoszenia)
niepewności
Wiele wielkości fizycznych nie da się zmierzyć pojedynczym
przyrządem bezpośrednio, ale wyznacza się metodą pomiaru
pośredniego. Wówczas mierzy się wielkości pośrednie (xk), a
wielkość docelową (y) oblicza się ze wzoru.
Przykład:
2
4Ą l
g =
Pomiarowi podlegają:
T02
l
Prawo propagacji (przenoszenia)
niepewności
Wiele wielkości fizycznych nie da się zmierzyć pojedynczym
przyrządem bezpośrednio, ale wyznacza się metodą pomiaru
pośredniego. Wówczas mierzy się wielkości pośrednie (xk), a
wielkość docelową (y) oblicza się ze wzoru.
Przykład:
2
4Ą l
g =
Pomiarowi podlegają:
T02
l �! u(l)
�!
�!
�!
l
Prawo propagacji (przenoszenia)
niepewności
Wiele wielkości fizycznych nie da się zmierzyć pojedynczym
przyrządem bezpośrednio, ale wyznacza się metodą pomiaru
pośredniego. Wówczas mierzy się wielkości pośrednie (xk), a
wielkość docelową (y) oblicza się ze wzoru.
2 Przykład:
4Ą l
g =
Pomiarowi podlegają:
T02
l �! u(l)
�!
�!
�!
�!
l T0 �! u(T0), k = 2
�!
�!
T0
Prawo propagacji (przenoszenia)
niepewności
Wiele wielkości fizycznych nie da się zmierzyć pojedynczym
przyrządem bezpośrednio, ale wyznacza się metodą pomiaru
pośredniego. Wówczas mierzy się wielkości pośrednie (xk), a
wielkość docelową (y) oblicza się ze wzoru.
2
Przykład:
4Ą l
g =
Pomiarowi podlegają:
T02
l �! u(l)
�!
�!
�!
�!
l T0 �! u(T0)
�!
�!
2
2
�ł �ł
"g "g
�ł
u(g) = u(l)�ł + u(T0)�ł
�ł
�ł �ł
T0
"l "T0
�ł łł
�ł łł
Osie  jednostka, opis
Punkty pomiarowe  nie łączymy
Wykresy
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 10 20 30 40
T, K
U, mV
Osie  jednostka, opis
Punkty pomiarowe  nie łączymy
Słupki błędów  w obie strony
Wykresy
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 10 20 30 40
T, K
U, mV
Osie  jednostka, opis
Punkty pomiarowe  nie łączymy
Słupki błędów  w obie strony
Dopasowanie  prosta lub krzywa
Wykresy
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 10 20 30 40
T, K
U, mV
Osie  jednostka, opis
Punkty pomiarowe  nie łączymy
Słupki błędów  w obie strony
Dopasowanie  prosta lub krzywa
Wykresy
2.5
Ug, mV
Ud, mV
2
regr Ug
regr Ud
1.5
1
0.5
0
0 10 20 30 40
-0.5
T, K
U, mV
Osie  jednostka, opis
Punkty pomiarowe  nie łączymy
Słupki błędów  w obie strony
Dopasowanie  prosta lub krzywa
Wykresy
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
u(1/T)=0.00010 1/K
0.0
0.00305 0.00315 0.00325 0.00335 0.00345
1/T, 1/K
lepkość, kg/ms
Dopasowanie prostej 
regresja liniowa
2.5
n n n
�ł
n yi �ł
"x yi - �ł"x �ł�ł"
i i
�ł �ł�ł y = ax + b
2
i=1 �ł i=1 łł�ł i=1 łł
a =
2
n n
1.5
2
n
"x - �ł"x �ł
i i
�ł �ł
1
i=1 �ł i=1 łł
n n n n
n par (xi,yi)
0.5
�ł �ł �ł
2
yi �ł -
"x �ł�ł" "x �ł�ł"x yi �ł
i i i
�ł �ł�ł �ł �ł�ł �ł
0
�ł i=1 łł�ł i=1 łł �ł i=1 łł�ł i=1 łł
b =
2
0 10 20 30 40
n n
2
T, K
n
"x - �ł"x �ł
i i
�ł �ł
i=1 �ł i=1 łł
n n
n
�ł
2 2
2
"x �ł�ł"� �ł
i i
"� �ł �ł�ł �ł
i
n 1
�ł i=1 łł�ł i=1 łł
i=1
u(a) = ; u(b) =
2 2
n n n n
n - 2 n - 2
2 2
n n
"x - �ł"x �ł "x - �ł"x �ł
i i i i
�ł �ł �ł �ł
i=1 �ł i=1 łł i=1 �ł i=1 łł
�i = yi - axi - b
U, mV
Zapis wartości końcowych
Załó\
my, \
e z pomiarów pola otrzymaliśmy wartość:
x=123.04519m2
z niepewnością standardową
u(x)= 0. 04231m2
Aby prawidłowo zapisać wynik końcowy pomiaru nale\
y:
1. Zaokrąglić niepewność standardową do dwóch cyfr znaczących:
u(x)=0.04231
2. Zaokrąglić wartość x do tylu miejsc po przecinku co niepewność:
x=123.04519 (3 miejsca)
ZAPIS KOC
COWY:
(i) Pole x jest równe 123.045 m2 z niepewnością 0.042 m2
(ii) x=123.045 m2; u(x)=0.042 m2
(iii) x=123.045(42) m2
Zapis wartości końcowych
x=123.04519 m2 x=0.123045 W/mK x=0.123045s
u(x)= 0. 04231 m2 u(x)= 0. 04231 W/mK u(x)= 0.004231s
u(x)=0.04231 m2 u(x)=0.04231 W/mK u(x)=0.004231s
x=123.04519 m2 x=0.123045 W/mK x=0.123045s
x=123045.36 W/mK x=0.123056s
x=123.04519 m2
u(x)= 4.231 W/mK u(x)= 0.004231s
u(x)= 22.1 m2
u(x)=4.231 W/mK u(x)=0.004231s
u(x)=22 m2
x=123045.46 W/mK x=0.123156s
x=123 m2
x=123045.36 W/mK
x=1235.04519 m2
Zapis końcowy według
u(x)= 423.1 W/mK
u(x)= 122.1 m2
(i)
u(x)=420 W/mK
u(x)=120 m2
(ii)
x=123045 W/mK
(iii)
x=1235 m2
1. Zaokrąglić niepewność standardową do dwóch cyfr znaczących
2. Zaokrąglić wartość x do tylu miejsc po przecinku co niepewność
Porównanie z wartością tablicową
Aby porównać wynik eksperymentu xe z wartością tablicową x0
nale\
y:
Obliczyć niepewność rozszerzoną* dla danego eksperymentu
U(x)=k�"u(x), k=2 (norma)
Obliczyć wartość |x0-xe|
Wartość otrzymana xe jest zgodna z wartością tablicową x0
jeśli spełniona jest zale\
ność
|x0-xe|x0  U(x) x0 + U(x)
xe
xi
x
x0
xe
x0  u(x) x0+ u(x)
* Tylko dla U(x) prawidłowy jest zapis w formacie xe=(9.866ą0.056) m/s2
Literatura fachowa
R. Respondowski  Laboratorium z fizyki , wyd. Pol. Śl.
H. Szydłowski  Niepewności w pomiarach , UAM, Poznań
2001
Przydatne strony internetowe
http://fizyka.polsl.gliwice.pl/dydaktyka/lab
http://www.ftj.agh.edu.pl/zdf/danepom.pdf
http://www.ftj.agh.edu.pl/zdf/przyrzady.pdf
http://www.if.pw.edu.pl/PUK/owp/OWP.html
www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF/index.html
http://labor.ps.pl/e/er1.html