.
2
1. (a) Calke x3ex dx można najpierw policzyć przez cze ści, a potem przez podstawianie lub na odwr t.
My policzymy ja najpierw przez podstawianie, a potem przez cze ści.
t = x2 1
2 2
u = t v = et
x3ex dx = x2ex · xdx dt = 2xdx = tetdt =
u = 1 v = etdt = et
1
dt = xdx 2
2
1 1 1 2
tet - etdt = tet - et + C = ex x2 - 1 + C
2 2 2
A teraz jeszcze raz najpierw przez cze ści, a potem przez podstawianie.
2
u = x2 v = xex
2 2
t=x2
x3ex dx = x2 · xex dx 2 2
1 1 1
u = 2x v = xex dx = dt=2xdx etdt = et = ex
2 2 2
1
dt = xdx
2
1 2 1 2 1 2 2
= x2 · ex - 2x · ex dx = x2ex - xex dx
2 2 2
1 2 2 1 2
1
= x2ex - ex + C = ex x2 - 1 + C
2 2 2
(b) Calke ln x2 + 1 dx należy policzyć najpierw przez cze ści, a potem przez podstawianie (odwrot-
nie nie da sie policzyć).
u = ln x2 + 1 v = 1
ln x2 + 1 dx = 1 · ln x2 + 1 dx
1
u = 2x v = x
x2+1
1
= x ln x2 + 1 - 2x · xdx
x2 + 1
x2 x2 + 1 - 1
= x ln x2 + 1 - 2 dx = x ln x2 + 1 - 2 dx
x2 + 1 x2 + 1
x2 + 1 1
= x ln x2 + 1 - 2 dx + 2 dx
x2 + 1 x2 + 1
1
= x ln x2 + 1 - 2 1dx + 2 dx = x ln x2 + 1 - 2x + 2arctgx + C
x2 + 1
dx
"
(c) Obliczamy najpierw calke nieoznaczona. Calka nieoznaczona jest calka typu arcus
3-2x-x2
dx
"
sinus , tzn. calka, kt ra przez odpowiednie podstawienie można sprowadzić do calki .
1-x2
dx dx dx
" = = =
3 - 2x - x2
(x+1)2
4 - (x + 1)2
4 1 -
4
dx dx 1 dx
= = =
2 2
2
2 x+1 x+1
x+1
2 1 - 1 -
4 1 -
2 2
2
1 1
t = x +
2 2
1 2dt dt x + 1
1
dt = dx = " = " = arcsin t + C = arcsin + C
2
2 - t2 1 - t2
2
1
2dt = dx
1
Teraz korzystajac ze wzoru Newtona-Leibniza możemy obliczyć calke oznaczona:
1
1
dx x + 1 1 + 1 -2 + 1
" = arcsin = arcsin - arcsin
2 2 2
3
-2 - 2x - x2
-2
-1 Ä„ Ä„ 2
= arcsin (1) - arcsin = - - = Ä„
2 2 6 3
2