Przykład  przestrzenny układ sił
Dokonać redukcji układu do początku bazy współrzędnych (Punkt O). Przedstawić efekty
redukcji.
Jaki moment dodatkowy Md spełniający postulat Mx : My : Mz = 3 : 4 : 6 sprowadza układ sił
do wypadkowej?
Podać punkty przebicia wypadkowej z płaszczyznami układu współrzędnych.
z
C M
P2
O B
y
P1
A
D
x
Punkt O(0,0,0)
Punkt A(a,0,0)
Punkt B(0,b,0)
Punkt C(a,b,c)
Punkt D(a,b,0)
a [m] 4
b [m] 3
c [m] 8
P1 [kN] 10
P2 [kN] 15
M [kNm] 60
Opracowała dr inż. Monika Podwórna Strona 1
Przykład  przestrzenny układ sił
Rozłożenie siły P1 na składowe:
I sposób:
5 P
4 Px
ą
ą
3 Py
4
P1x = P1 �" siną = 10 �" = 8 kN
5
3
P1y = P1 �" cosą = 10 �" = 6 kN
5
r
P1 = -8i + 6 j + 0k
II sposób:
r
rAB = -4i + 3 j + 0k
r
rAB = 5
r
4 3
�# ś#
P1 = 10 �" i + j + 0k = -8i + 6 j + 0k
ś#-
ź#
5 5
�# #
Dokonać redukcji układu do początku bazy współrzędnych (Punkt O).
Przedstawić efekty redukcji.
Wyznaczenie siły ogólnej:
r
P1 = -8i + 6 j
r
P2 = -15k
Sx = = -8 kN
"Pix
S = = 6 kN
y "Piy
Sz = = -15 kN
"Piz
r
siła ogólna: S = -8i + 6 j -15k = (- 8, 6, -15) [kN]
Opracowała dr inż. Monika Podwórna Strona 2
Przykład  przestrzenny układ sił
Wyznaczenie momentu względem punktu O:
I sposób:
Moment względem osi x
M = -15�" 3 = -45 kNm
x
Moment względem osi y
M = 15 �" 4 + 60 = 120 kNm
y
Moment względem osi z
M = 6 �" 4 = 24 kNm lub M = 8 �" 3 = 24 kNm
z z
r
moment ogólny: M = -45i +120 j + 24k = (- 45, 120, 24) [kNm]
O
II sposób:
Moment od siły P1
i j k
r r
r
M1 = rOA � P1 = 4 0 0 = (0 �" 0 - 6 �" 0)i - (0 �" 4 - 8 �" 0)j + (4 �" 6 - (-8) �" 0)k = 8k
- 8 6 0
Moment od siły P2
i j k
r r
r
M = rOC � P2 = 4 3 0 = (3�" (-15) - 0 �" 0)i - ((-15) �" 4 - 0 �" 0)j + (4 �" 0 - 3�" 0)k = -45i + 60 j
2
0 0 -15
Moment od momentu M
r
M = 60 j
r r r r
moment ogólny: M = M1 + M + M = -45i +120 j + 24k = (- 45, 120, 24) [kNm]
O 2
Wyznaczenie wyróżnika (niezmiennika) układu sił:
r r
w = M " S = M �" Sx + M �" S + M �" Sz =
O x y y z
= (-45) �" (-8) +120 �" 6 + 24 �" (-15) = 720 `" 0
Wyróżnik układu jest różny od zera
Efektem redukcji jest siła ogólna i moment ogólny
Opracowała dr inż. Monika Podwórna Strona 3
Przykład  przestrzenny układ sił
Wyznaczenie kąta jaki tworzy wektor momentu ogólnego z wektorem siły ogólnej w biegunie
O:
r r
M " S = M �" S �" cos�
O O
r r
M " S
O
cos� =
M �" S
O
r r
M " S = w = 720
O
r
2 2 2
M = (- 45) + (120) + (24) = 130,39
0
r
2 2 2
S = (- 8) + (6) + (-15) = 18,03
r r
M " S 720
O
cos� = = = 0,306 �! � = 72,160
M �" S 130,39 �"18,03
O
Jaki moment dodatkowy Md spełniający postulat Mx : My : Mz = 3 : 4 : 6 sprowadza układ sił
do wypadkowej?
r
M = 3a i + 4a j + 6a k
d
Wypadkowa układu istnieje gdy wyróżnik równy jest zero
w = 0
w = (-8) �" (-45 + 3a) + 6 �" (120 + 4a) + (-15) �" (24 + 6a) = 720 - 90a = 0
stąd a = 8
więc moment dodatkowy:
r
M = 3�"8 i + 4 �"8 j + 6 �"8 k = 24i + 32 j + 48k
d
dla sprawdzenia:
moment ogólny względem początku układu współrzędnych po uwzględnieniu momentu
dodatkowego:
r r r
I
M = M + M = -45i +120 j + 24k + 24i + 32 j + 48k = -21i +152 j + 72k
O O d
wyróżnik nowego układu sił:
r r
I
w = M " S = (-21) �" (-8) +152 �" 6 + 72 �" (-15) = 0
O
Opracowała dr inż. Monika Podwórna Strona 4
Przykład  przestrzenny układ sił
Podać punkty przebicia wypadkowej z płaszczyznami układu współrzędnych.
S
S=W
Mo
r
O
X
r r r r
r
I
M = M + rXO � S = 0
X O
r r
r
I 1
stąd M = rOX � S
O
r
rOX = (x - 0) i + (y - 0) j + (z - 0)k
r
I
M = -21i +152 j + 72k
O
i j k
r r
r
I
M = rOX � S = x y z = (-15�" y - 6 �" z)i - (-15�" x - 8 �" z)j + (6 �" x - (-8) �" y)k
O
- 8 6 -15
stąd otrzymujemy układ równań:
ż#-15y - 6z = -21
�#
�#15x - 8z = 152
�#
6x + 8y = 72
�#
jest nieskończenie wiele rozwiązań
Punkty przebicia prostej działania wypadkowej z płaszczyznami:
x = 0 y = 9 z = -19
y = 0 x = 12 z = 3,5 [m]
z = 0 x = 152 15 y = 21 15
r r
1
Uwaga: rOX a nie rXO
Opracowała dr inż. Monika Podwórna Strona 5