Znale wymiary puszki do konserw w kształcie walca o obj to ci V = 250π cm3, do sporz dzenia której zu yje si najmniej blachy.
Sze cienna kostka lodu ma obj to V = 8 cm3. Obliczy , o ile w przybli eniu zmniejszyła si kraw d kostki, je li stopiło si 0,3 cm3 lodu.
Metalowa kula ma rednic d = 2 m. Po ogrzaniu kula zwi kszyła sw obj to o 27 cm3. O ile w przybli eniu powi kszyło si pole powierzchni kuli?
Puszka piwa ma kształt cylindra o wysoko ci h = 11 cm i o promieniu podstawy r = ,
3 2 cm. Wykorzystuj c poj cie
ró niczki zupełnej oszacuj procentow zmian obj to ci puszki spowodowan planowan zmian jej wysoko ci o
∆ h = 1 cm, a promienia o ∆ r = 3
,
0 cm?
(c ′
) ≡ 0 ,
(x ′
) ≡ 1,
(x2 )′ = 2 x , ogólnie:
1
(x )′ =
x −
⋅
dla ∈R ,
( sin x)′ = co x
s ,
( cos )
x ′ = s
− in x
(
)
x
1
tg
′ =
2
cos x
(
x)
1
ctg
′= −
2
sin x
(c )
u ′ = u
c ′ ,
gdzie c jest stał ,
(u ± )
v ′ = u′± v′ ,
(u )
v ′ = u v
′ + uv′,
′
′ − ′
u
u v uv
=
.
v
2
v
(
x)
1
ln ′ =
dla ka dego x > 0 .
x
x
x
(e )′ = e
dla ka dego x∈R .
(
)
x
1
log
′ =
x
x
′=
a
oraz
(a )
a ln a .
xln a
(
x)′ =
1
arcsin
( arc
)
x ′ =
1
tg
2
1− x
2
1+ x
(
)
x ′ = −
1
arccos
( arc
x)′ = −
1
ctg
2
1− x
2
1+ x
f ′ x <
f ′ x > ( )
0
( )
0
f ′ x >
f ′ x > ( )
0
( )
0
f ( x ) malej ca
f ( x ) rosn ca
wypukła
wypukła
[ maleje coraz wolniej]
[ ro nie coraz szybciej]
f ′ x >
f ′ x < ( )
0
( )
0
f ′ x <
f ′ x < ( )
0
( )
0
f ( x ) rosn ca
f ( x ) malej ca
wkl sła
wkl sła
[ ro nie coraz wolniej]
[ maleje coraz szybciej]
koszt (całkowity)
wyprodukowania x jednostek towaru
K
∆ = K( x + ) 1 − K ( x) ≈ K (
′ x)
koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki
towaru (przy poziomie produkcji x),
czyli koszt kra cowy
2
np. K = K ( x) = 3 x − x + 1;
x =
100
0
∆ K = K 1
( 0 )
1 − K 1
( 00) =
= 30503 − 29901 = 602 warto dokładna
K (
′ x) = 6 x −1
K ′
=
1
( 00)
599 warto przybli ona
∆ K
K
x
(
′ x)
⋅100 = E K( x) ≈
(w %)
x
K
K ( x)
elastyczno kosztu (o ile % wzro nie/spadnie
koszt, je li produkcja wzro nie o 1%,
∆ x
tzn.
= 0 0
, 1 )
x
2
np. K = K ( x) = 3 x − x + 1;
x =
50
0
∆ K
150,25
⋅100 =
⋅100 = 2,02 (w %) (w. dokł.)
K
7451
50 ⋅ K (
′ 50)
E K (50)
x
≈
= 2,01 (w %) (w. przybl.)
K (50)
- WŁASNO CI
E c
x
= 0
E x
x
= 1
2
E x
x
= 2
α
E x
x
= α
E e x = x
x
−
E e x = − x
x
1
E ln x =
x
ln x
E ( c ⋅ f ( x)) = E f ( x)
c >
x
x
0
E ( f ( x) ⋅ g( x)) = E f ( x) + E g( x)
x
x
x
f ( x)
E
= E f ( x) − E g( x)
x
x
x
g( x)
K
x ′( x)
K ′ x
koszt kra cowy
E K ( x)
x
=
=
( ) =
K ( x)
K ( x)
koszt przeci tny
p
E K ( x)
x
p
= E K( x)
x
−1
E U ( x) = 1 + E p( x)
x
x
U (
′ x) = p( x)⋅ E U( x)
x
(x0+h, f(x0+h))
tg α = f’(x0)
∆ y
(x0, f(x0))
α
∆ x
x0
x0+h
cena dobra A – 1 zł, cena dobra B – 3 zł
x – ilo dobra A, y – ilo dobra B
y
zbiór bud etowy:
B = {( x, y) : x, y ≥ , 0
x + 3 y ≤ 18 }
0
60
B
x
180
Wybór najlepszego koszyka dóbr
krzywe oboj tno ci:
y
x2 y = c
20
x
120
1
1
1
31
e = 2
e ≈1 + + +
= 1
= 6
,
1 46
2
8
48
48
z dokładno ci do 0,01
1
1
1
1
1
e = 2
e ≈1 + + +
+
=
2
8
48
384
249
= 1
= 6
,
1 48
384
z dokładno ci do 0,001
1
1
1
4241
sin1 ≈ 1 − +
−
=
= 0,841
6
120
5040
5040
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
ln 1
( + x) ≈ x −
+
−
+
−
+
2
3
4
5
6
y = f(x)
x2
x1
x0
X0
X1
X2
X3
x3 + x - 1 = 0
k
x(k)
g(x)
f(x)
k
x(k)
g(x)
f(x)
0
0,5
0,71429
-0,3750
0
-5
-3,2763
-131,0000
1
0,71429
0,68318
0,0787
1
-3,2763
-2,0883
-39,4451
2
0,68318
0,68233
0,0020
2
-2,0883
-1,2223
-12,1955
3
0,68233
0,68233
0,000001
3
-1,2223
-0,4839
-4,0487
4
0,68233
0,68233
0
4
-0,4839
0,45434
-1,5971
5
0,68233
0,68233
0
5
0,45434
0,7334
-0,4519
6
0,68233
0,68233
0
6
0,7334
0,68447
0,1279
7
0,68447
0,68233
0,0051
8
0,68233
0,68233
0,00001
9
0,68233
0,68233
0
10
0,68233
0,68233
0
11
0,68233
0,68233
0
12
0,68233
0,68233
0