LISTA 5
Geometria analityczna
1. Obliczyć długości podanych wektorów:
−
→
−
−
→
a) a = [3 , − 4 , 12];
b) P Q, gdzie P = (2 , 3 , − 2) , Q = (3 , 4 , − 1).
2. Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów:
−
→
−
→
a) a = [1 , − 2 , 5] , b = [3 , − 1 , 0];
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
b) u = 3 i − 2 k ,
v = − i + 3 j + 7 k .
3. Obliczyć miarę kąta między danymi wektorami:
−
→
−
→
√
a) u = [1 , 0 , 0] ,
v = [1 ,
3 , 0];
−
→
−
→
b) u = [0 , 1 , 0] ,
v = [0 , 3 , 0].
4. Obliczyć iloczyny wektorowe podanych par wektorów:
−
→
−
→
a) a = [ − 3 , 2 , 0] ,
v = [1 , 5 , − 2];
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
b) u = 2 i − 3 k ,
v = i + j − 4 k .
5. Obliczyć pola podanych powierzchni:
−
→
−
→
a) równoległobok rozpięty na wektorach: a = [1 , 2 , 3] , b = [0 , − 2 , 5]; b) trójkąt o wierzchołkach A = (1 , − 1 , 3) , B = (0 , 2 , − 3) , C = (2 , 2 , 1).
−
−
→
−→
6. Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach AB = [1 , 5 , − 3] , AC = [ − 1 , 0 , 4]. Obliczyć wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka C.
7. Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:
−
→
−
→
−
→
a) a = [ − 3 , 2 , 1] , b = [0 , 1 , − 5] , c = [2 , 3 , − 4]
−
→
−
→
−
→
b) u = [2 , 4 , 5] , v = [ − 1 , 4 , 0] , w = [4 , 0 , 2].
8. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A = (1 , 1 , 1) , B = (1 , 2 , 3) , C = (2 , 3 , − 1) , D = ( − 1 , 3 , 5).
9. Sprawdzić, czy
−
→
−
→
−
→
a) wektory a = [ − 1 , 3 , − 5] , b = [1 , − 1 , 1] , c = [4 , − 2 , 0] są współpłaszczyznowe; b) punkty P = (0 , 0 , 0) , Q = ( − 1 , 2 , 3) , R = (2 , 3 , − 4) , S = (2 , − 1 , 5) są współpłaszczyznowe.
10. Napisać równania ogólne płaszczyzn spełniających podane warunki:
−
→
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1 , − 2 , 0) i jest prostopadła do wektora n = [0 , − 3 , 2]; b) płaszczyzna przechodzi przez punkty P 1 = (0 , 0 , 0) , P 2 = (1 , 2 , 3) , P 3 = ( − 1 , − 3 , 5); c) płaszczyzna przechodzi przez punkty P 1 = (1 , − 3 , 4) , P 2 = (2 , 0 , − 1) oraz jest prostopadła do płaszczyzny OXY ;
1
−
→
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1 , − 1 , 3) oraz jest równoległa do wektorów a = [1 , 1 , 0],
−
→
b = [0 , 1 , 1];
e) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0 , 3 , 0) i jest równoległa do płaszczyzny π : 3 x − y + 2 = 0; f) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2 , 1 , − 3) i jest prostopadła do płaszczyzn π 1 : x + y = 0, π 2 : y − z = 0.
11. Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:
−
→
a) prosta przechodzi przez punkt P = ( − 3 , 5 , 2) i jest równoległa do wektora v = [2 , − 1 , 3]; b) prosta przechodzi przez punkty P 1 = (1 , 0 , 6) , P 2 = ( − 2 , 2 , 4); c) prosta przechodzi przez punkt P = (0 , − 2 , 3) i jest prostopadła do płaszczyzny π : 3 x − y + 2 z − 6 = 0;
−
→
−
→
d) prosta przechodzi przez punkt P = (7 , 2 , 0) i jest prostopadła do wektorów v 1 = [2 , 0 , − 3] , v 2 = [ − 1 , 2 , 0].
12. Obliczyć odległość:
a) punktu P = (1 , − 2 , 3) od płaszczyzny π : x + y − 3 z + 5 = 0; b) prostych równoległych l 1 : x− 1 = y+1 = z , l
= y− 1 = z− 3 .
1
2
− 1
2 :
x
− 2
− 4
2
13. Znaleźć rzut prostokątny punktu P = ( − 3 , 2 , 0) na płaszczyznę π : x + y + z = 0.
14. Znaleźć równania płaszczyzn przechodzących przez punkt A = ( − 1 , 2 , 4) i równoległych do płaszczyzn układu współrzędnych.
x = 2 − t
15. Dana jest prosta l :
y = − 1 + 2 t
t ∈ R . Znaleźć punkty przebicia prostej l z płaszczyznami układu OXY Z.
z = 4 + 3 t
2