A10. Wyznaczanie modułu sztywnoś ci metodą wahadła torsyjnego 1/3



Nr pary

Imię i nazwisko studenta

Wydział

grupa

data

Imię i nazwisko prowadzącego

Zaliczenie

A10. Wyznaczanie modułu sztywności za pomocą wahadła torsyjnego

Celem ć wiczenia jest poznanie własnoś ci spręż ystych ciał stałych, analiza ruchu obrotowego bryły sztywnej na przykładzie wahadła torsyjnego oraz doś wiadczalne wyznaczenie modułu sztywnoś ci.

Moduł sztywnoś ci G – to współczynnik sprężystości materiału, równy stosunkowi napręż enia

stycznego σs do kąta skręcenia α deformowanego ciała: G = σs/α [N/m2]. Występuje w odkształceniach postaciowych, przy zachowaniu stałej objętości ciała.

Wahadło torsyjne – jest rodzajem wahadła fizycznego. Stanowi je bryła sztywna – wibrator, umocowany do cienkiego drutu, jako elementu sprężystego. Po odchyleniu wahadła z położenia równowagi o kąt α i po jego uwolnieniu, powstają drgania pod wpływem momentu siły M, przy czym:

M = − D ⋅α (1)

Współczynnik D (zależny od rodzaju drutu) nazywa się momentem kierują cym i oznacza wartość momentu siły, powodującego skręcenie drutu o jednostkowy kąt w mierze łukowej, tzn. o 1 radian. Znak minus oznacza, że moment siły powoduje skręcenie drutu o kąt przeciwny do kąta α (tzn. zawsze ku położeniu równowagi).

Równanie ruchu wahadła torsyjnego jest analogiczne do równania wahadła fizycznego i jest jednocześnie równaniem ruchu obrotowego bryły sztywnej: M = I ⋅ γ (2) , gdzie I oznacza

moment bezwładnoś ci bryły, a γ = dω/dt jest przyś pieszeniem ką towym, równym pochodnej prędkości kątowej ω po czasie t. Uwzględniając (1) otrzymujemy więc równanie ruchu wahadła dω

w postaci:

I

= − D ⋅α (3), którego rozwiązanie: α = A sinω t oznacza, że jest to dt

ruch harmoniczny prosty o amplitudzie A.

Wzór na okres drgań wahadła torsyjnego T jest analogiczny jak dla wahadła fizycznego, I

mianowicie:

T = π

2

(4).

D

Moment bezwładności I wibratora, stosowanego w ćwiczeniu, obliczamy korzystając z twierdzenia Steinera*: I = Io + 2ma2 (5), gdzie m – oznacza masę jednego z dwóch walców umieszczonych na wibratorze po obu stronach drutu, a – ich odległość od osi obrotu wahadła.

*Mówi ono, że : moment bezwładnoś ci I bryły wzglę dem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładnoś ci Io wzglę dem osi równoległej przechodzą cej przez ś rodek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległoś ci a mię dzy obu osiami (I = Io + ma2).

Wstawiając (5) do równania (4) i podnosząc do kwadratu otrzymujemy:

( I + 2 ma 2 )

2

2

4π I

8π m

T 2

2

o

= 4π

o

2

=

+

a . (6)

D

D

D

Znajdując w eksperymencie zależność kwadratu okresu drgań wahadła (T2) od kwadratu odległości walców wibratora od osi obrotu (a2), można – korzystając z równania linii prostej –

A10. Wyznaczanie modułu sztywnoś ci metodą wahadła torsyjnego 2/3



znaleźć moment kierujący wahadła D, wyliczając współczynnik kierunkowy otrzymanej graficznie prostej.

Z drugiej strony wiadomo, że między momentem kierującym D a modułem sztywności G

r 4

π

zachodzi relacja:

D =

G (7) (r – promień drutu, L – jego długość). Korzystając 2 L

D ⋅ 2 L

z powyższej zależności, można wyliczyć moduł sztywności badanego drutu: G =

(8).

4

r

π

Wykonanie ćwiczenia

Przyrządy: laboratoryjne wahadło torsyjne, śruba mikrometryczna, miara metrowa, licznik drgań.

1. Włączamy do sieci licznik drgań.

2. Umieszczamy walce wibratora w odległości a = 3cm (0.03m), licząc od osi obrotu do środka walców.

3. Uruchamiamy wahadło odchylając wibrator od położenia równowagi o około 15o, a następnie przyciskiem „start” włączamy pomiar liczby drgań wahadła i czasu ich trwania.

4. Po zarejestrowaniu 9 drgań naciskamy przycisk „stop”, co automatycznie przerywa pomiar po dziesiątym pełnym drganiu. Czas odczytany na liczniku dzielimy przez 10 i zapisujemy w tabeli jako wartość zmierzonego okresu T. Pomiar powtarzamy 3 razy i obliczamy wartość średnią T .

5. Analogiczne pomiary wykonujemy dla kilku innych wartości a, zmieniając odległość walców od osi obrotu, co 1cm, aż do osiągnięcia odległości a=0.09 m.

6. Wyznaczamy średnicę drutu 2r za pomocą śruby mikrometrycznej oraz miarą metrową mierzymy długość drutu Lc jako sumę długości obu drutów (tj. części górnej Lg i części dolnej Ld) od punktu zaczepienia do punktów zawieszenia wibratora, czyli Lc = Lg + Ld.

Opracowanie wyników

1. Na arkuszu A4 papieru milimetrowego przedstawiamy graficznie zależność T 2

2

i (oś y) od ai .

Relacja wiążąca wymienione wielkości opisana jest równaniem (6), czyli:

2

4π

2

8π m

T

2

i2 =

Io +

ai ,

D

D

które jest równaniem linii prostej, gdzie y = T2 zaś x = a2, wobec czego przez punkty naniesione na wykresie prowadzimy linię prostą.

2. Z wykresu wyznaczamy współczynnik kierunkowy otrzymanej prostej, czyli tgα (obliczamy go jako 8 2

π m

stosunek ∆T2/ ∆a2) i korzystając z następującej zależności: tg α =

, obliczamy wartość

D

momentu kierującego D, przyjmując masę walców m = 0.194 kg.

3. Obliczamy moduł sztywności G materiału, z którego wykonano drut, korzystając z zależności D ⋅ 2 L

L ⋅ L

G =

, gdzie L =

g

d (ze względu na fakt, że nasze wahadło jest umocowane w

4

r

π

Lc

dwóch punktach zaczepienia).

4. Rachunek błędów pomiarowych przeprowadzamy metodą logarytmiczną:

G

∆

D

∆

L

∆

4 r

∆

=

+

+

,

G

D

L

r

D

∆

t

∆ α

g

2

∆( T

∆ )

2

∆( a

∆ )

L

∆

L

∆

∆

2∆

g

L

L

gdzie:

=

=

+

,

d

c

=

+

+

.

D

t α

g

2

T

∆

2

a

∆

L

L

L

L

g

d

c

Obliczone następnie wielkości błędów bezwzględnych (tj. L

∆ , ∆ D i ∆ G ) zestawiamy na

końcu protokołu z otrzymanymi w doświadczeniu wartościami L , D i G .

A10. Wyznaczanie modułu sztywnoś ci metodą wahadła torsyjnego 3/3



Tabela

Odległość

Kwadrat

Okres

Kwadrat

L.p.

walców

odległości

drgań

okresu

a [m]

a2 [m2]

T [ s]

2

T [ 2

s ]

0.03

1

2

1

3

T =

0.04

1

2

2

3

T =

0.05

1

2

3

3

T =

0.06

1

2

4

3

T =

0.07

1

2

5

3

T =

0.08

1

2

6

3

T =

0.09

1

2

7

3

T =