A10. Wyznaczanie modułu sztywnoś ci metodą wahadła torsyjnego 1/3
Nr pary
Imię i nazwisko studenta
Wydział
grupa
data
Imię i nazwisko prowadzącego
Zaliczenie
A10. Wyznaczanie modułu sztywności za pomocą wahadła torsyjnego
Celem ć wiczenia jest poznanie własnoś ci spręŜ ystych ciał stałych, analiza ruchu obrotowego bryły sztywnej na przykładzie wahadła torsyjnego oraz doś wiadczalne wyznaczenie modułu sztywnoś ci.
Moduł sztywnoś ci G – to współczynnik spręŜystości materiału, równy stosunkowi napręŜ enia
stycznego σs do kąta skręcenia α deformowanego ciała: G = σs/α [N/m2]. Występuje w odkształceniach postaciowych, przy zachowaniu stałej objętości ciała.
Wahadło torsyjne – jest rodzajem wahadła fizycznego. Stanowi je bryła sztywna – wibrator, umocowany do cienkiego drutu, jako elementu spręŜystego. Po odchyleniu wahadła z połoŜenia równowagi o kąt α i po jego uwolnieniu, powstają drgania pod wpływem momentu siły M, przy czym:
M = − D ⋅α (1)
Współczynnik D (zaleŜny od rodzaju drutu) nazywa się momentem kierują cym i oznacza wartość momentu siły, powodującego skręcenie drutu o jednostkowy kąt w mierze łukowej, tzn. o 1 radian. Znak minus oznacza, Ŝe moment siły powoduje skręcenie drutu o kąt przeciwny do kąta α (tzn. zawsze ku połoŜeniu równowagi).
Równanie ruchu wahadła torsyjnego jest analogiczne do równania wahadła fizycznego i jest jednocześnie równaniem ruchu obrotowego bryły sztywnej: M = I ⋅ γ (2) , gdzie I oznacza
moment bezwładnoś ci bryły, a γ = dω/dt jest przyś pieszeniem ką towym, równym pochodnej prędkości kątowej ω po czasie t. Uwzględniając (1) otrzymujemy więc równanie ruchu wahadła dω
w postaci:
I
= − D ⋅α (3), którego rozwiązanie: α = A sinω t oznacza, Ŝe jest to dt
ruch harmoniczny prosty o amplitudzie A.
Wzór na okres drgań wahadła torsyjnego T jest analogiczny jak dla wahadła fizycznego, I
mianowicie:
T = π
2
(4).
D
Moment bezwładności I wibratora, stosowanego w ćwiczeniu, obliczamy korzystając z twierdzenia Steinera*: I = Io + 2ma2 (5), gdzie m – oznacza masę jednego z dwóch walców umieszczonych na wibratorze po obu stronach drutu, a – ich odległość od osi obrotu wahadła.
*Mówi ono, Ŝe : moment bezwładnoś ci I bryły wzglę dem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładnoś ci Io wzglę dem osi równoległej przechodzą cej przez ś rodek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległoś ci a mię dzy obu osiami (I = Io + ma2).
Wstawiając (5) do równania (4) i podnosząc do kwadratu otrzymujemy:
( I + 2 ma 2 )
2
2
4π I
8π m
T 2
2
o
= 4π
o
2
=
+
a . (6)
D
D
D
Znajdując w eksperymencie zaleŜność kwadratu okresu drgań wahadła (T2) od kwadratu odległości walców wibratora od osi obrotu (a2), moŜna – korzystając z równania linii prostej –
A10. Wyznaczanie modułu sztywnoś ci metodą wahadła torsyjnego 2/3
znaleźć moment kierujący wahadła D, wyliczając współczynnik kierunkowy otrzymanej graficznie prostej.
Z drugiej strony wiadomo, Ŝe między momentem kierującym D a modułem sztywności G
r 4
π
zachodzi relacja:
D =
G (7) (r – promień drutu, L – jego długość). Korzystając 2 L
D ⋅ 2 L
z powyŜszej zaleŜności, moŜna wyliczyć moduł sztywności badanego drutu: G =
(8).
4
r
π
Wykonanie ćwiczenia
Przyrządy: laboratoryjne wahadło torsyjne, śruba mikrometryczna, miara metrowa, licznik drgań.
1. Włączamy do sieci licznik drgań.
2. Umieszczamy walce wibratora w odległości a = 3cm (0.03m), licząc od osi obrotu do środka walców.
3. Uruchamiamy wahadło odchylając wibrator od połoŜenia równowagi o około 15o, a następnie przyciskiem „start” włączamy pomiar liczby drgań wahadła i czasu ich trwania.
4. Po zarejestrowaniu 9 drgań naciskamy przycisk „stop”, co automatycznie przerywa pomiar po dziesiątym pełnym drganiu. Czas odczytany na liczniku dzielimy przez 10 i zapisujemy w tabeli jako wartość zmierzonego okresu T. Pomiar powtarzamy 3 razy i obliczamy wartość średnią T .
5. Analogiczne pomiary wykonujemy dla kilku innych wartości a, zmieniając odległość walców od osi obrotu, co 1cm, aŜ do osiągnięcia odległości a=0.09 m.
6. Wyznaczamy średnicę drutu 2r za pomocą śruby mikrometrycznej oraz miarą metrową mierzymy długość drutu Lc jako sumę długości obu drutów (tj. części górnej Lg i części dolnej Ld) od punktu zaczepienia do punktów zawieszenia wibratora, czyli Lc = Lg + Ld.
Opracowanie wyników
1. Na arkuszu A4 papieru milimetrowego przedstawiamy graficznie zaleŜność T 2
2
i (oś y) od ai .
Relacja wiąŜąca wymienione wielkości opisana jest równaniem (6), czyli:
2
4π
2
8π m
T
2
i2 =
Io +
ai ,
D
D
które jest równaniem linii prostej, gdzie y = T2 zaś x = a2, wobec czego przez punkty naniesione na wykresie prowadzimy linię prostą.
2. Z wykresu wyznaczamy współczynnik kierunkowy otrzymanej prostej, czyli tgα (obliczamy go jako 8 2
π m
stosunek ∆T2/ ∆a2) i korzystając z następującej zaleŜności: tg α =
, obliczamy wartość
D
momentu kierującego D, przyjmując masę walców m = 0.194 kg.
3. Obliczamy moduł sztywności G materiału, z którego wykonano drut, korzystając z zaleŜności D ⋅ 2 L
L ⋅ L
G =
, gdzie L =
g
d (ze względu na fakt, Ŝe nasze wahadło jest umocowane w
4
r
π
Lc
dwóch punktach zaczepienia).
4. Rachunek błędów pomiarowych przeprowadzamy metodą logarytmiczną:
G
∆
D
∆
L
∆
4 r
∆
=
+
+
,
G
D
L
r
D
∆
t
∆ α
g
2
∆( T
∆ )
2
∆( a
∆ )
L
∆
L
∆
∆
2∆
g
L
L
gdzie:
=
=
+
,
d
c
=
+
+
.
D
t α
g
2
T
∆
2
a
∆
L
L
L
L
g
d
c
Obliczone następnie wielkości błędów bezwzględnych (tj. L
∆ , ∆ D i ∆ G ) zestawiamy na
końcu protokołu z otrzymanymi w doświadczeniu wartościami L , D i G .
A10. Wyznaczanie modułu sztywnoś ci metodą wahadła torsyjnego 3/3
Tabela
Odległość
Kwadrat
Okres
Kwadrat
L.p.
walców
odległości
drgań
okresu
a [m]
a2 [m2]
T [ s]
2
T [ 2
s ]
0.03
1
2
1
3
T =
0.04
1
2
2
3
T =
0.05
1
2
3
3
T =
0.06
1
2
4
3
T =
0.07
1
2
5
3
T =
0.08
1
2
6
3
T =
0.09
1
2
7
3
T =