Kolokwium I
rok 2009/2010
Zadanie 5: Obliczyć krzywiznę i skręcenie krzywej L : 2
{
2
y x 3
,
3
z x }w punkcie P(0,0,0).
Co znaczy, że punkt M ( M
O
) r ( t )) jest punktem spłaszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma 0
0
punkty spłaszczenia?
Rozwiązanie:
a)
(1) Wzory na krzywiznę i skręcenie krzywej:
t
r ' t r '' t
- krzywizna krzywej L
r t 3
'
t
r' t r'' t r''' t
- skręcenie krzywej L
r ' t r ' t 2
'
(2) Parametryzacja krzywej L
x t
2
2
x
t
2 y 2
x y
y
2
2
3
3
x
t
gdzie t
1
;
0
3 z 3
x z
z
3
3
r t 2 3
t
t
t, ,
2 3
(3) Pochodne r t potrzebne do dalszych obliczeń:
r ' t ,
1 t, 2
t
- pochodna I rzędu z r t
r '' t
,
1
,
0 2 t
- pochodna II rzędu z r t
r ''' t
,
0
,
0
2
- pochodna III rzędu z r t
(4) Obliczenia dla t :
i
j
k
r ' t r '' t
2
1 t t 2
2
2 t t 0
, 2 t 1
, 0 2
t , 2
t
1
,
0
1
2 t
r ' t r '' t t 2
2
2 t2
2
4
2
1 t 4 t 1
r' t3 2 2
1 t t 3
2
2
2
1 t t 3
4
(5) Obliczenie t
i t
w punkcie P
0
,
0
,
0
(zatem t
0
0
0=0):
t r' t r'' t
4
t 4 2
t 1
3
r ' t
3
1
2
4
t t
t
0
1
1
13
t
r' t r'' t r''' t 2 t, 2
t
1
,
,0
,
0
2
2
2
2
4
2
r ' t r '' t
4
t t
t 4 2
t 1
4
1
t
0
2
2
1
b)
(1) Definicja punktu spłaszczenia:
Punkt M ( M
O
) r ( t )) jest punktem spłaszczenia krzywej L : r r t, jeżeli t 0 .
0
0
(2) Odp. Krzywa L z punktu a) nie posiada punktów spłaszczenia, ponieważ:
t
2
> 0 , gdyż
4
t 4 2
t 1
4 t 4 2 t 1 - zawsze będzie > 0 ,
zatem w tym przypadku nie są spełnione warunki występowania punktu spłaszczenia krzywej L.
Odpowiedź:
1
a) Krzywizna krzywej L w punkcie P(0,0,0) jest równa t
0
1
13
2
Skręcenie krzywej L w punkcie P(0,0,0) jest równe t
0
2
1
b) Krzywa L nie posiada punktów skręcenia.
Autor: Agata Czarnecka grupa 2
17.11.2013